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第四章圖形的相似單元測試卷北師大版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列各組線段中，能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，則a的值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．矩形都是相似圖形； B．菱形都是相似圖形
C．各邊對應成比例的多邊形是相似多邊形； D．等邊三角形都是相似三角形
6．如圖，點D是邊上一點，添加下列條件后，仍不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
7．兩個相似三角形的面積比是，那么它們的周長比是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點O為位似中心的位似圖形，已知點C的橫坐標為1，點F的橫坐標為3，點B的坐標為，則點E的坐標是（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，在中，，D是邊上一點，，若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．如圖，在菱形中，，點、分別是邊、上的點，連接，將菱形沿翻折，使點的對稱點落在對角線上，給出下面四個結論：
①；
②若，則；
③若菱形邊長為，是的中點，連接，則；
④若，，則．
上述結論中，正確結論有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．如圖，在中，，，點P是邊的中點，點Q是邊上一個動點，當 時，與相似．
12．如圖，在中，點D為邊的中點，點G為的重心，則的值為 ．
13．如圖，，如果，，，那么 ．
14．如圖，平行四邊形中，，如果，則 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．如圖，中，邊上的中線與的平分線交于F點，．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，求．
16．如圖，在矩形中，為邊上的一點，把沿翻折，使點恰好落在邊上的點處，且．
(1)求證：．
(2)若為的中點，求的長．
17．在中，，E是邊上一點，將沿著翻折到．如圖，若E、F、D三點共線．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
18．在四邊形中，點為的中點，分別連接．
(1)如圖1，若，．
①求證：；
②求證：平分；
(2)如圖2，若，，，，求的長．
19．在中，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，連接，，．
(1)猜想觀察：如圖1，當時，的值是______，直線與直線相交所成的較小角的度數是______．
(2)類比探究：如圖2，當時，
①求的值；②求直線與直線相交所成的較小角的度數．
(3)解決問題：如圖3，當時，若點E、F分別是、的中點，點P在的延長線上，P、D、C三點在同一直線上，與相交于點M．
①求證：；
②若，求的長．
20．如圖1，在中，，，，點D，E分別是，中點，連接．在同一平面內，將繞點A逆時針旋轉（D，E始終在直線同側），射線，相交于點P．
(1)證明：在旋轉過程中，；
(2)如圖2，考慮旋轉角度數大于時，的度數是否不變？若不變，請求出的度數；若變化，請說明理由；
(3)如圖3，當時，連接，設交于點Q．
①證明：；
②求線段的長度．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D A B A D C
二、填空題
11．【解】解：，點P是邊的中點，
，
當時，
則，
，
解得：；
當時，
則，
，
解得：；
綜上所述：當或4時，與相似．
故答案為：1或4．
12．【解】解：如圖，連接，并延長交于點E，連接，
∵點G為的重心，
∴點E為的中點，
∵為邊上的中線，
∴為的中位線，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2
13．【解】解：∵，
∴，
∴，即，解得：．
故答案為：
14．【解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：過E點作交于M點，如圖，
∵為中線，
∴，
∵，
∴1，
即，
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
即①，
∵，
∴，
即②，
得1，
解得．
16．【解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
把沿翻折，點落在邊上的點處，
，
，，
，
．
（2）解：為的中點，，
，
，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即
17．【解】（1）證明： 四邊形是平行四邊形，
，
，
將沿著翻折到，
，
，
；
（2）解： 將沿著翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，，
，，
由（1）知，
，
，
，
．
18．【解】（1）證明：①，，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴，
即；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如圖，過點作，連接，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
19．【解】（1）解：（1）如圖1中，延長交的延長線于E，設交于點O．
由題意，當時，、是等邊三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，線與直線相交所成的較小角的度數是，
故答案為1，．
（2）解：如圖2中，設交于點O，交于點E．
由題意，當時，、是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
直線與直線相交所成的較小角的度數為．
（3）①證明：∵點 E，F 分別是、 的中點，
∴，，
∴．
∵P，D，C三點在同一直線上，，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴．
②解：設，則，
在中，由勾股定理得，，
∴．由（2）知，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．解得，(不合題意，舍去)，
∴．
20．【解】（1）證明：如圖1中，∵點D，E分別是，中點，
∴，
∴，
如圖2中，由旋轉變換的性質可知，
∴；
（2）解：結論：，度數不變．理由如下：
如圖2中，設，交于點O，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）①證明：設，交于點O．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②解：如圖3中，過點E作交的延長線于點H，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
中小學教育資源及組卷應用平臺
∴．試卷第1頁，共3頁
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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