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第一章特殊平行四邊形單元測(cè)試卷北師大版2025—2026學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)
總分：120分 時(shí)間：90分鐘
姓名：________ 班級(jí)：_____________成績(jī)：___________
一．單項(xiàng)選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號(hào) 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形
D．一組鄰邊相等且對(duì)角線也相等的四邊形是正方形
2．如圖，在中，，是邊上的中線，且，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B．5 C． D．10
3．一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是，則這個(gè)菱形的面積S等于（ ）．
A．48 B．24 C．12 D．18
4．下列有關(guān)菱形、矩形、正方形具有的共同性質(zhì)是（ ）
A．鄰邊相等 B．對(duì)角相等
C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線相等
5．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，連接．若，則（ ）
A．4 B． C． D．6
6．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C．8 D．4
7．如圖，正方形，，E為的中點(diǎn)，將沿BE折疊到，延長(zhǎng)EF交于點(diǎn)G．連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．的周長(zhǎng)為4 B．的周長(zhǎng)為
C．的面積為 D．的面積為
8．如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上，若平分，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，P是上任一點(diǎn)，于E，于F，若，，則的值為（ ）
A． B．5 C． D．10
10．如圖，中，．點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)、連接，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．4 D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．如圖，在矩形 紙片中，E 為上一點(diǎn)，將 沿 翻折至，若點(diǎn) F 恰好落在上， ， ，則 ．
12．如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，，若菱形的面積為24，則的長(zhǎng)為 ．
13．如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一點(diǎn)且，連接，若，則線段的長(zhǎng)為 ．
14．如圖．在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)分別在上，相交于點(diǎn)P，O是正方形的中心，連接，則的長(zhǎng)度為 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．如圖，在平行四邊形中，，，垂足分別為，且．
(1)求證：平行四邊形是菱形；
(2)若，，求四邊形的面積．
(3)連接，若，，則四邊形的周長(zhǎng)___________．
16．如圖，中，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，連接、．
(1)求證：四邊形是菱形．
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
17．如圖1，將長(zhǎng)方形紙片的一邊沿著向下折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．
(1)試判斷線段與的關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求的長(zhǎng)；
(3)如圖2，取的中點(diǎn)，連接，，若，求證：．
18．如圖，長(zhǎng)方形紙片中，，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊上的E點(diǎn)處，折痕的一端G點(diǎn)在邊上．
(1)如圖（1），當(dāng)折痕的另一端F在邊上且時(shí)，求的長(zhǎng)．
(2)如圖（2），當(dāng)折痕的另一端F在邊上且時(shí)，
①求證：．
②求的長(zhǎng)．
19．如圖，在矩形中，四邊形，四邊形分別是面積為6，2的正方形，點(diǎn)在上．
(1)求四邊形（陰影部分）的面積；
(2)連接，，分別求，的長(zhǎng)；
(3)在中，求邊上中線的長(zhǎng)．
20．已知如圖1，E是正方形邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明；
(2)如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，其他條件不變，連接，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)如圖3，將邊長(zhǎng)為的正方形沿折疊，使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求折痕的長(zhǎng)．
參考答案
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B C D B B C B
二、填空題
11【解】解：∵在矩形紙片中，E為上一點(diǎn)，將沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
∴；
故答案為：．
12．【解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：5．
13．【解】解：∵，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴,
∴，
∵點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
，
故答案為：12．
14．【解】解：∵四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，
∴；
如圖所示，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
∴，
∵O是正方形的中心，
∴O是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，，
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴平行四邊形是菱形；
（2）解：如圖，連接交于點(diǎn)O，
∵四邊形是菱形，，
，，，
，，
∴，
，
；
（3）解：連接，
由（1）可知，平行四邊形是菱形，
，，
，
，
即，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∴四邊形的周長(zhǎng)，
故答案為：16．
16．【解】（1）證明：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，即垂直平分，
，
平行四邊形是菱形．
（2）解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，
由（1）知四邊形是菱形，
，，
，，
，
，
在中，，
，，
在中，，
，
，
．
17．【解】（1）解：，理由如下：
如圖，
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴是的垂直平分線，
∴；
（2）解：∵長(zhǎng)方形紙片，
∴，，，
由折疊的性質(zhì)得，，，
∴在中，，
∴，
設(shè)，則，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴；
（3）證明：由折疊的性質(zhì)得，，
∵的中點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：∵紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊上的E點(diǎn)處，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
（2）解：①∵紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊上的E點(diǎn)處，
∴，
∵長(zhǎng)方形紙片的邊，
∴，
∴，
∴；
②∵紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊上的E點(diǎn)處，
∴，，，
∴，
在中，，
∴．
19．【解】（1）解：∵四邊形，四邊形分別是面積為6，2的正方形，
∴，，
∴，
∵四邊形是矩形；
∴四邊形是矩形，
∴四邊形（陰影部分）的面積為．
（2）解：∵四邊形，四邊形分別是面積為6，2的正方形，
∴，，，
∴，．
（3）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，
∵四邊形，四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．【解】（1）解：．
證明：如圖1，
四邊形是正方形，
，，．
又，
，
，
，
；
（2）．
證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
同（1）可得，
．
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，．
，
．
又，
，
又，
(，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，連接，過點(diǎn)作交于，
四邊形是正方形，
，，，
，
將邊長(zhǎng)為的正方形沿折疊，使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，
，
，
，
，
()，
，
為的中點(diǎn)，
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