資源簡介

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第4章
三角形
八年級數學湘教版·上冊
4.1 第3課時 三角形的內角與外角
授課人：XXXX
學習目標
1.三角形外角、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的概念；(重點)
2.三角形的內角和的性質．(難點)
新課導入
提出問題
在小學，我們通過對一個三角形進行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內角和是180°，你能說出這些方法的原理嗎？
上述兩種操作都是將三角形的三個內角拼到一起構成一個平角.
新課導入
銳角三角形
測量法
48°
72°
60°
60°＋48°＋72°＝180°
新知探究
三角形的三個內角和等于180°.
拼圖法
可裁下它的三個角，拼在一起構成平角180°.
驗證結論
三角形三個內角的和等于180°.
說明：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
方法1：過點A作l∥BC，
∴∠B=∠1， ∠C=∠2.
(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°.
1
2
新知探究
新知探究
方法2：延長BC到點D，過點C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(兩直線平行，內錯角相等)
∠B=∠2.
(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.
在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.
新知探究
例3 在△ABC 中， ∠A 的度數是∠B 的度數的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.
解 設∠B為x°，則∠A為（3x ）°，∠C為（x ＋ 15） °，
從而有
3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度數分別為99°， 33°， 48°.
新知探究
為了證明三角形的內角和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補,這種轉化思想是數學中的常用方法.
1.下列各組角是同一個三角形的內角嗎 為什么
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
2.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °則∠ C= .
3.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4.
則∠A = ∠ B= ∠ C= .
102 °
80 °
60 °
40 °
新知探究
4.已知：如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求證： ∠ADE=50°.
證明： ∵ DE ∥ BC （已知），
∴ ∠ AED= ∠ C（兩直線平行，同位角相等）.
∵ ∠ C=70°（已知），
∴ ∠ AED= 70° （等量代換）.
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=180°（三角形的內角和定理），
∠ A=60°（已知），
∴ ∠ ADE=180°-60°-70°=50°（等量代換），
即∠ ADE= 50°.
D
C
B
A
E
新知探究
新知探究
問題：一個三角形的三個內角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？
因為三角形的內角和等于180°，因此最多有一個直角或一個鈍角.
三個角都是銳角的三角形叫作銳角三角形；
銳角三角形
有一個角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形.
鈍角三角形
有一個角是直角的三角形叫作直角三角形；
直角三角形
直角邊
直角邊
斜邊
A
B
C
直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC；
三角形的外角的概念
如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一個外角.
C
B
A
D
新知探究
問題1 如圖，延長AC到點E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？
E
在三角形的每個頂點處都有兩個外角.
∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.
問題2 如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？
新知探究
A
B
C
畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢
每一個三角形都有6個外角．
每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.
新知探究
新知探究
三角形的外角應具備的條件：
①角的頂點是三角形的頂點;
②角的一邊是三角形的一邊；
③另一邊是三角形中一邊的延長線.
每一個三角形都有6個外角．
新知探究
在圖中， 外角∠ACD 和與它不相鄰的內角∠A， ∠B 之間有什么大小關系？
B
A
C
我覺得可以利用“三角形的內角和等于180° ” 的結論.
因為∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量減等量， 差相等）.
于是∠ACD =∠A +∠B.
D
由此得到:
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
D
A
C
B
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
∴∠ACD＞∠A
∠ACD＞ ∠B
三角形的一個外角與它不相鄰的任意一個內角有怎樣的大小關系
新知探究
三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.
新知探究
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.
新知探究
例： 如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度數.
∵ ∠BEC是△AEC的一個外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一個外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
新知探究
例： 如圖，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數．
解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數．
E
解：延長BP交AC于點E，
則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
例：如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=______°.
解析：
∵∠B=47°，
∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°，∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°.
又 AE和CE是角平分線，∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
∴∠E=180°–113.5°=66.5°.
66.5
A
B
C
F
E
D
新知探究
課堂小結
三角形的內角與外角
三角形內角和定理：三角形的內角和為180°.
三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
課堂小測
1.判斷題：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ）
2、三角形的外角和等于它內角和的2倍.（ ）
3、三角形的一個外角等于兩個內角的和.（ ）
4、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.（ ）
5、三角形的一個外角大于任何一個內角.（ ）
6、三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.（ ）
×
×
×
√
√
√
課堂小測
2.填空：
（1）在△ABC中，∠A=60° ,∠B=∠C,則∠B= .
（2）在△ABC中， ∠A-∠B=50° , ∠C-∠B=40° ,則∠B= .
60°
30°
解：(1)因為∠ADC是△ABD的外角，
3 .如圖，D是△ABC的BC邊上一點,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°. 求：
（1）∠B 的度數；（2）∠C的度數.
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因為∠B=∠BAD，
A
B
C
D
課堂小測
.
課堂小測
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
4.如圖，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數.

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