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第4章
三角形
八年級數學湘教版·上冊
4.2.2 證明、舉反例
授課人：XXXX
學習目標
1.了解證明的基本步驟和書寫格式；(重點)
2.理解反證法的推理依據及方法．(難點)
新課導入
采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.
觀察、操作、實驗是人們認識事物的重要手段，而且人們可以從中猜測發現出一些結論.
從剪拼或度量可以猜測三角形的三個外角之和等于360°，但是剪拼時難以真正拼成一個周角，只是接近周角；分別度量這三個角后再相加，結果可能接近360°，但不能很準確地都得到360°.
另外，由于不同形狀的三角形有無數個，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗證，因此，我們只能猜測任何一個三角形的外角和都為360°.
像此例的第(2)題那樣，從一個命題的條件出發，運用定義、基本事實以及已經判斷其成立的真命題，進行邏輯推理、計算，得出這個命題的結論成立，這一過程就是通常所說的證明.
像此例的第(1)題那樣，找出一個例子，使之符合命題的條件，但不滿足命題的結論，從而判斷這個命題為假命題，這種做法稱為舉反例.
（2）如果a是整數，那么a是有理數；
解 如果a是整數，
根據有理數的定義：“整數和分數統稱為有理數”
得出a是有理.因此命題(2)真．
（1）如果a是有理數，那么a是整數.
解 0.5是有理數，
因此命題(1)為假．
但是0.5不是整數.
新知探究
新知探究
我們把正確的命題稱為真命題，把錯誤的命題稱為假命題.
新知探究
在分析出這一命題的條件和結論后，我們就可以按如下步驟進行：
已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個外角.
求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.
證明:
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
(等式的性質).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
新知探究
證明與圖形有關的命題時，一般有以下步驟：
第一步：根據題意，畫出圖形.
第二步：根據命題的條件和結論，結合圖形，寫
出已知、求證.
第三步：通過分析，找出證明的途徑，寫出證明
的過程.
例1 已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D在線段BA
的延長線上，射線AE平分∠DAC.
求證：AE∥BC.
證明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性質）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義），
∴∠DAE=∠B（等量代換），
∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.
新知探究
解析：這個命題的結論是“至少有一個”，也就是說可能出現“有一個” “有兩個” “有三個”這三種情況. 如果直接來證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個角度來證明.
新知探究
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內角.
求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.
證明：假設∠A，∠B，∠C 中沒有一個角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
則∠A+∠B+∠C＜180°.
這與“三角形的內角和等于180°”矛盾，
所以假設不正確.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一個角大于或等于60°.
新知探究
像這樣，先假設命題不成立，從這樣的假設出發，經過推理得出與已知條件、定義、基本事實、真命題等產生矛盾，得出假設不成立，從而判斷所求證命題正確.這種證明方法叫作反證法.
反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結為“否定結論，導出矛盾，肯定結論”.
新知探究
應用反證法的情形：
(1) 直接證明困難;
(2) 需分成很多類進行討論;
(3) 結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”
的一類命題；
(4) 結論為 “唯一”類命題.
新知探究
用反正法證明時，導出矛盾的幾種可能：
（1）與原命題的條件矛盾；
（3）與定義、公理、定理、性質矛盾；
（2）與假設矛盾;
（4）與客觀事實矛盾.
課堂小結
命題的證明
反證法：反設結論，推理，導出矛盾，證得結論.
直接證明：（畫圖）寫出已知、求證，寫出證明過程.
課堂小測
(1)證明命題：一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且方向相同，則這兩個角相等.
已知：如圖，AB∥A′B′,BC∥B′C′.
求證：∠B= ∠B′
證明：∵ AB∥A′B′ （ ）
∴ ∠ B′= ∠α（ ）
∵ BC∥B′C′ （ ）
∴ ∠ B = ∠α（ ）
∴ ∠ B = ∠B′ ( )
已 知
兩直線平行，同位角相等
已 知
兩直線平行，同位角相等
等量代換
1. 填空
.
課堂小測
(2) 已知：如圖，∠A+∠B= 180°.
求證：∠C+∠D= 180°.
證明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ），
∴ ∠C+∠D= 180（ ）.
同旁內角互補，兩直線平行
兩直線平行，同旁內角互補
課堂小測
2. 已知：如圖，AB與CD 相交于點E.
求證：∠A+∠C=∠B+∠D.
證明： ∵ AB與CD 相交于點E ，
∴ ∠AEC=∠BED （對頂角相等）.
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形內角和等于180°），
∴
∠A+∠C=∠B+∠D.
課堂小測
3.求證：△ABC中不能有兩個鈍角．
證明：假設△ABC中能有兩個鈍角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
與三角形的內角和為180°矛盾，
所以假設不成立，因此原命題正確，
即△ABC中不能有兩個鈍角．
課堂小測
4.已知：如圖有a,b,c三條直線，且a//c,b//c.
求證：a//b.
A
a
b
c
證明：假設a與b不平行，則可設它們相交于點A.
那么過點A 就有兩條直線a，b分別與直線c平行，
這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直
線平行”矛盾,故假設不成立. ∴a//b.
課堂小測
（3）兩條直線被第三條直線所截,同位角相等;
兩條相交的直線a,b被第三條直線l所截（如圖），它們的同位角不相等.
-1和-3的積是-1×(-3)>0，-1和-3不是正數.
5.舉反例說明下列命題是假命題：
（1）兩個銳角的和是鈍角；
（2）如果數a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數；
直角三角形的兩個銳角和不是鈍角.
a
b
l

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