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第三章概率的進一步認識單元測試卷北師大版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．為了看圖釘落地后釘尖著地的頻率有多大，小明做了大量重復試驗，發現釘尖著地的次數是試驗總次數的，下列說法錯誤的是（　　）
A．釘尖著地的頻率是0.4
B．隨著試驗次數的增加，釘尖著地的頻率逐漸穩定在某一個常數附近
C．前10次試驗結束后，釘尖著地的次數一定是4
D．前20次試驗結束后，釘尖著地的次數不一定是8
2．調查某班 名同學的跳高成績時，在收集到的數據中，不足 米的數出現的頻率是 ，則達到或超過 米的數出現的頻率是 （ ）
A． B． C． D．
3．某人將一枚質量均勻的硬幣連續拋10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列說法正確的是（ ）
A．出現反面的頻率是6 B．出現反面的頻率是4
C．出現反面的頻率是0.4 D．出現反面的頻率是0.6
4．“長城是中華民族的驕傲”的英文是“”．在這句英文中，字母“i”出現的頻率是（ ）
A． B． C． D．
5．一個小球（看作一點）在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外，其他完全相同，則小球最終停留在黑色方磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．一個口袋中裝著分別寫有“西安”“臨潼”字的小球共20個，它們除小球上的字不同外其他都相同．將口袋中的球攪拌均勻后從中隨機摸出一個球，記下上面的字后，再放回口袋中攪勻，不斷重復這一過程，發現摸到寫有“臨潼”的球的頻率穩定在，則估計這個口袋中寫有“臨潼”的球的個數為（ ）
A．15個 B．13個 C．7個 D．6個
7．下列說法正確的是（ ）
A．“明天降雨的概率是”表示明天有的時間都在降雨
B．“打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是必然事件
C．“彩票中獎的概率為”情況下買了一張彩票就能中獎是不可能事件
D．“拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為”這一事件發生的頻率穩定在附近
8．年春晚中的魔術節目備受矚目，劉謙老師利用“魔術公式”讓觀眾手中的碎牌合成完整的一張牌小明受此啟發，拿出兩張背面完全相同的撲克牌正面均不同，將這兩張撲克牌分別對折撕成兩部分，洗勻后將它們背面朝上放在桌面上，從中隨機抽取兩個半張，則小明抽到的兩個半張撲克牌恰好合成完整的一張牌的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．電影《哪吒之魔童鬧海》深受人們的喜愛．老師為激勵在學習中表現優異的同學，購買了2張哪吒卡片和2張敖丙卡片（除正面圖案外，背面完全相同）作為獎品，將這4張卡片洗勻背面朝上置于桌面上，小明隨機抽取2張，則抽取的2張卡片均是哪吒的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙兩人各有三張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片分別標有數字，，，乙的卡片分別標有數字，，，兩人進行輪比賽．每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得分，數字小的人得分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則三輪比賽后，甲能得分的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．如果三位數（表示百位數字為，十位數字為，個位數字為的三位數），且滿足或，則稱這個三位數為“凹數”．那么，從所有三位數中任意取出一個恰好是“凹數”的概率是 ．
12．某校為培養學生的數學素養，開設了“圖說數學史”“玩轉幾何”“數學建模”“數學實踐”四門數學趣味 課程，小琳和小玲從這四門課程中各隨機選擇一門學習，則她們選擇相同課程的概率是 ．
13．如圖，在空白網格內將某一個小正方形涂成陰影部分，且所涂的小正方形與原陰影圖形的小正方形至少有一邊重合，小紅按要求涂了一個正方形，所得到的陰影圖形恰好是軸對稱圖形的概率為 ．
14．“石頭、剪刀、布”是一種廣為流傳的小游戲，規則是兩人每次任意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢中的一種，剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀．小方和小袁比賽一局，他們出相同手勢的概率為 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．某玩具公司承接了第19屆杭州亞運會吉祥物公仔的生產任務，現對一批公仔進行抽檢，其結果統計如下，請根據表中數據，回答問題：
抽取的公仔數n 10 100 1000 2000 3000
優等品的頻數m 9 96 962 1920 2880
優等品的頻率 0.9 0.96 a 0.96 b
(1)a＝ ；b＝ ；
(2)估計從這批公仔中任意抽取1只公仔是優等品的概率是 ；（精確到0.01）
(3)若該公司這一批次生產了15000只公仔，估計這批公仔中優等品大約有多少只？
16．在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共只，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數
摸到白球的次數
摸到白球的頻率
(1)請估計：當 很大時，摸到白球的頻率將會接近______（精確到 ）；
(2)試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？
(3)在（）的條件下，若從中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，請用列表或樹狀圖的方法求兩次都摸到白球的概率．
17．現有4張形狀大小質地均相同的卡片，正面分別印有短道速滑、花樣滑冰、冰球、冰壺四種不同的卡通圖案，背面完全相同，現將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上．一次抽取一張卡片（不放回）．
(1)若從中抽取一張卡片，則這張卡片正面圖案是花樣滑冰的概率是______．
(2)用列表法或畫樹狀圖法，求從中隨機抽取的兩張卡片正面圖案恰好是冰球圖案和冰壺圖案的概率．
18．如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形(兩個轉盤除表面數字不同外，其它完全相同)，轉盤甲上的數字分別是，，，轉盤乙上的數字分別是，，(規定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次)．
(1)單獨轉動轉盤甲，轉盤甲指針指向正數的概率是 ．
(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數字記為，作為點的橫坐標，轉盤乙指針所指的數字記為，作為點的縱坐標，請用列表法或樹狀圖法求平面內點落在第二象限內的概率．
19．端午節是我國的傳統佳節，民間歷來有吃“粽子”的習俗．我市某食品廠為了了解市民對今年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽（以下分別用、、、表示）這四種不同口味的粽子的喜愛情況，在節前對某居民區市民進行了抽樣調查，并將調查情況繪制成如下兩幅不完整的統計圖：
請根據所給信息，解答以下問題：
(1)本次參加抽樣調查的居民有多少人？
(2)請將兩幅不完整的統計圖補充完整；
(3)若有外型完全相同的、、、粽各一個，煮熟后，小明吃了兩個．請用列表或畫樹狀圖的方法，求他第二個吃到的恰好是粽的概率．
20．某校組織學生觀看“天宮課堂”第二課直播，跟著空間站的翟志剛、王亞平、葉光富三位宇航員學習科學知識，他們相互配合，生動演示了四個實驗：（A）微重力環境下的太空“冰雪”實驗，（B）液橋演示實驗，（C）水油分離實驗，（D）太空拋物實驗．觀看完后，該校對部分學生對四個實驗的喜愛情況作了抽樣調查，將調查情況制成了如下的條形統計圖和扇形統計圖．
請根據圖中信息，回答下列問題：
(1)共調查了 名學生．
(2)請補全條形統計圖．
(3)若從兩名男生、兩名女生中隨機抽取2人參加學校組織的“我愛科學”演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的學生恰好是一男一女的概率．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A B D D A C
二、填空題
11．【解】解：∵若，a可從這9個數字中任取1個，有9種選擇，c可從這10個數字中任取1個，有10種選擇：此時，凹數個數小計90個：；
若，a可從這9個數字中任取1個，有9種選擇，c從這10個數字中任取1個，但要排除110、111這2個，此時，凹數個數小計88個：；
若，a可從這9個數字中任取1個，有9種選擇，c從這10個數字中任取1個，但要排除120、121、122、220、221、222這6個，此時，凹數個數小計84個：；
若b=3，a可從這9個數字中任取1個，有9種選擇，c從這10個數字中任取1個，但要排除130、131、132、133、230、231、232、233、330、331、332、333這12個，此時，凹數個數小計78個：；
…
若b=9，凹數個數小計0個：；
∴在100～999這900個三位數中，凹數總個數為；
所以從所有三位數中任意取出一個恰好是“凹數”的概率是：．
故答案為：．
12．【解】解：開設了“圖說數學史”“玩轉幾何”“數學建模”“數學實踐”四門數學趣味課程，分別用A、B、C、D表示，
根據題意列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由上表可知，共有16種等可能的結果，她們選擇相同課程有4種結果，則她們選擇相同課程的概率是．
故答案為．
13．【解】解：所涂的小正方形與原陰影圖形的小正方形至少有一邊重合的個數總共有7個，其中所得到的陰影圖形恰好是軸對稱圖形的情況有3種，如圖：
∴；
故答案為：．
14．【解】解：列表如下：
石頭 剪刀 布
石頭 （石頭，石頭） （石頭，剪刀） （石頭，布）
剪刀 （剪刀，石頭） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石頭） （布，剪刀） （布，布）
共有9種等可能的結果，其中他們出相同手勢的結果有3種，
∴他們出相同手勢的概率為．
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：，
，
故答案為：0.962，0.96；
（2）解：從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優等品的概率的估計值是0.96．
故答案為：0.96
（3）解：這批公仔中優等品大約有（只），
答：估計這批公仔中優等品大約有14400只．
16．【解】（1）解：根據題意可得當很大時，摸到白球的頻率將會接近，
故答案為：；
（2）解：∵當很大時，摸到白球的頻率將會接近，
∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
∴口袋中有白球（只），黑球（只），
答：口袋中黑色的球只，白色的球有只；
（3）解：畫樹狀圖如圖，
一共有種等可能結果，兩次都摸到白球的情況有種結果，
∴兩次都摸到白球的概率為．
17．【解】（1）解：從中抽取一張卡片，則這張卡片正面圖案是花樣滑冰的概率是；
（2）解：用表示短道速滑、花樣滑冰、冰球、冰壺四張卡片，列表如下：
/ (,) (,) (,)
(,) / (,) (,)
(,) (,) / (,)
(,) (,) (,) /
共12種等可能的結果，其中抽取的兩張卡片正面圖案恰好是冰球圖案和冰壺圖案的情況有2種，
∴．
18．【解】（1）解：轉盤甲被等分為3份，其中1份標有正數，所以轉動轉盤甲1次，指針指向正數的概率是，
故答案為：；
（2）解：同時轉動兩個轉盤，指針所指的數字所有可能出現的結果如下：
共有種可能出現的結果，其中平面內點落在第二象限內的有4種，所以同時轉動兩個轉盤，平面內點落在第二象限內的概率為．
19．【解】（1）解：（人，
答：本次參加抽樣調查的居民有600人；
（2）解：選擇粽的人數為：（人，
扇形統計圖中喜愛粽的居民所占的百分比為：，
喜愛的居民所占的百分比為：，
將兩幅不完整的統計圖補充完整如下：
（3）解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能性結果，其中小明第二個吃到的恰好是C粽的結果有3種，
小明第二個吃到的恰好是C粽的概率為．
20．【解】（1）解：共調查的學生人數為：（名），
故答案為：；
（2）解：的人數為：（人），
補全條形統計圖如下：
（3）解： 畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中抽到的學生恰好是一男一女的結果有 8 種，
∴抽到的學生恰好是一男一女的概率為．
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