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第二章一元二次方程單元測試卷北師大版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．關于的方程的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．不能確定
3．二次方程的兩根為1和5，則一次函數不經過第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．某村2022年糧食產量為8000噸，2024年達9800噸，設年增長率為，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一元二次方程有一根為，則代數式的值為（　　）
A． B． C． D．0
6．若關于x的方程有兩個實數根，則k的取值范圍是（ ）
A． B． 且 C． D．
7．將方程配方后，原方程變形為（ ）
A． B． C． D．
8．若方程的兩根為，，則的值為（ ）
A． B．1 C．5 D．7
9．若關于x的一元二次方程一個根為，則下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若關于的一元二次方程的兩個根為，，且．下列說法正確的個數為（　　）
①；
②，；
③；
④關于的一元二次方程的兩個根為，．
A． B． C． D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．在小華的某個微信群中，若每人給其他成員都發一個紅包，該微信群共發了72個紅包，那么這個微信群共有 人．
12．若關于x的一元二次方程的兩個實數根互為倒數，則a的值為 ．
13．已知關于x的一元二次方程．如果方程的兩個實數根與滿足，則m的值是 ．
14．對實數定義一種新運算“”：，若，則實數x的值為 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．解方程：
(1) (2)
16．已知一元二次方程有一個根為2
(1)求c的值；
(2)求該方程的另一個根．
17．某水果商場經銷一種水果，原價每千克50元．
(1)若連續兩次降價后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，經調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當的漲價措施，但商場規定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少40千克，現該商場要求每天盈利12000元，那么每千克應漲價多少元？
18．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：無論為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程的兩個實數根滿足，求的值．
19．一元二次方程兩根分別為且（）
(1)若此方程一根為1，則__________；
(2)當，時，求a，b的值；
(3)若，，且時，求證：．
20．閱讀材料，解答問題：
【材料1】
為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經過運算，原方程的解為．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
【材料2】
已知實數m，n滿足，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數根，由一元二次方程根與系數的關系可知：，．
根據上述材料，解決以下問題：
(1)直接應用：
材料1解題過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現了 的數學思想方法，若實數a，b滿足，則的值為 ；
用換元法解方程：．
(2)間接應用：
已知實數m，n滿足：，則的值
(3)拓展應用：
已知實數x，y滿足：，求的值
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A A B C D B C
二、填空題
11．【解】解：設這個微信群共有人，
依題意得：，
解得，（舍去），
故答案為：．
12．【解】解：設方程的兩根為，
∵關于x的一元二次方程的兩個實數根互為倒數，
∴，解得：或，
當時，原方程變形為，該方程無實數根；
當時，原方程變形為，，故該方程有兩個不等實數根，符合題意．
故答案為：．
13．【解】解：∵方程有兩個實數根，
∴．
∴符合條件的m的值為任意實數．
∵與是一元二次方程的兩個實數根，
∴，．
∴．
∵，
∴．
解得．
經檢驗，是分式方程的解．
∴m的值為．
故答案為：．
14．【解】解：∵，
∴當時，
，
即，
解得：，，
當時，
，
即，
解得：（舍去），，
綜上，實數x的值為或0或1．
故答案為：或0或1．
三、解答題
15．【解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2）解:
，
，
∴，
∴．
16．【解】（1）解：把代入，
得，
解得，
故c的值為8．
（2）解：設該方程的另一個根為，根據題意，得，2是一元二次方程的兩個根，
故，
解得，
故方程的另一個根是4．
17．【解】（1）解：設每次下降的百分率為x．
第一次降價后的價格為元，第二次降價后的價格為元．
已知兩次降價后每千克32元，可得方程．
解得
當時，；
當時，（舍去）．
所以每次下降的百分率是．
（2）解：設每千克應漲價y元．
每千克盈利變為元，日銷售量變為千克．
要保證每天盈利12000元，可列方程．
，
解得，．
因為每千克漲價不能超過8元，所以．
每千克應漲價5元．
18．【解】（1）證明：整理原方程得，，
，
無論為何實數，總有，從而，
即．
無論為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：由（1）得方程整理得，
方程的兩個實數根、，
，，，
，
解得．
19．【解】（1）解：∵一元二次方程兩根分別為，其中一根為，
∴將代入，則，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
解得：，；
（3）解：當，且，
①
②
①－②得：
即
因，
∴，
∴
由題知：
∴即，故．
20．【解】（1）解：材料1解題過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現了整體的數學思想方法，
令，則，
，
解得，（舍），
，
故的值為5；
，
，
令，則，
，
解得，（舍），
，
解得；
（2）實數m，n滿足：，
當時，，
當實數m，n是方程的兩個不相等的實數根，
，
，
的值為2或；
（3）設，
，
，
，
整理得，
，
，
，
，
，
，
．
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