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第4章
三角形
八年級數(shù)學(xué)湘教版·上冊
4.3.5 全等三角形的應(yīng)用
授課人：XXXX
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.全面認(rèn)清條件，能正確地利用判定條件判定三角形全等；(重點)
2.運用全等三角形的判定定理解決線段相等與角相等的相關(guān)實際性問題．(難點)
新課導(dǎo)入
回顧舊知
如圖，要證明△ACE≌ △BDF,根據(jù)給定的條件和指明的依據(jù)，將應(yīng)當(dāng)添設(shè)的條件填在橫線上.
(1)AC∥BD，CE=DF， .(SAS)
(2) AC=BD， AC∥BD ，__________. (ASA)
(3) CE= DF， ， . (SSS)
C
B
A
E
F
D
AC=BD
∠A=∠B
AC=BD
AE=BF
新課導(dǎo)入
探究活動1：AAA 能否判定兩個三角形全等？
結(jié)論:三個內(nèi)角對應(yīng)相等的三角形不一定全等.
A
B
C
A′
B′
C′
新課導(dǎo)入
　想一想：
如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD滿足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.
探究活動2：SSA能否判定兩個三角形全等？
新課導(dǎo)入
畫△ABC 和△ABD，使∠A =30°， AB =5 cm ，
BC =BD =3 cm ．觀察所得的兩個三角形是否全等？
A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
結(jié)論：兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.
新知探究
例1 下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合.
C
新知探究
根據(jù)下列條件，分別畫△ABC 和△A'B’C’.
（1） AB＝A′Ｂ′＝3cm， AC＝A′C′＝2.5cm， ∠B=∠B′=45°；
新知探究
滿足上述條件畫出的△ABC 和△A'B'C' 一定全等嗎？由此你能得出什么結(jié)論？
滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等.
新知探究
（2） ∠A=∠A′= 80°，∠B=∠B ′= 30°，
∠C=∠C ′=70°.
滿足上述條件畫出的△ABC 和 △A'B'C' 一定全等嗎？由此你能得出什么結(jié)論？
滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：三角分別相等的兩個三角形不一定全等.
新知探究
判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．
新知探究
例2 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E為AC上的一動點(不與A重合)，在點E移動的過程中BE和DE是否相等？若相等，請寫出證明過程；若不相等，請說明理由．
解：相等．理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
新知探究
判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．本題要特別注意“SSA”不能作為全等三角形一種證明方法使用．
新知探究
例3 如圖，已知CA=CB,AD=BD，M，N分別是CA，CB的中點，
求證：DM=DN.
在△ACD與△BCD中
證明:
CA=CB (已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共邊）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
連接CD，如圖所示.
∴∠A=∠B
又∵M(jìn)，N分別是CA，CB的中點
∴AM=BN
新知探究
在△AMD與△BND中
AM=BN (已證）
∠A=∠B （已證）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN
新知探究
例4 某地在山區(qū)修建高速公路時需挖通一條隧道. 為估測這條隧
道的長度（如圖），需測出這座山A，B間的距離，結(jié)合所學(xué)
知識，你能給出什么好方法嗎？
解: 選擇某一合適的地點O，使得從O點能測出AO與BO的長度. 連接AO并延長至A′，使 OA′=OA；連接BO并延長至 B′，使 OB′=OB，連接 A′B′，這樣就構(gòu)造出兩個三角形.
新知探究
O
A′
B′
在△AOB 和△A′OB′中，
OA=OA′，
∠AOB=∠A′OB′，
OB=OB′，
∴ △AOB≌△A′OB′ （SAS），
∴ AB=A′B′.
因此只要測出A′B′的長度就能得到這座山A，Ｂ間的距離.
課堂小結(jié)
判斷三角形全等思路
已知一邊一角：邊為角的對邊，找任一角(AAS)；邊為角的一邊，找夾角的另一邊(SAS)；找邊的對角(AAS)，找夾角的另一角(ASA).
已知兩邊：找夾角(SAS)；找另一邊(SSS).
已知兩角：找夾邊(ASA)；找除夾邊外的任意一邊(AAS).
課堂小測
1.如圖，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，則有△ABC≌△ ，理由是 ，
且有∠ABC=∠ ，AB= .
A
B
C
D
DCB
SAS
DCB
DC
課堂小測
2. 如圖，CD⊥AB于D點，BE⊥AC于E點，BE，CD交于O點，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.
證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD和△AOE中，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴ OD=OE.
∠ADC=∠AEB，
∠1＝∠2，
OA=OA，
課堂小測
∠BDC=∠CEB，
∠BOD＝∠COE，
OD=OE，
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴ OB=OC.
課堂小測
3.如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求證：△ABE≌DCE；
（2）當(dāng)∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù).
（1）證明：∵在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS）.
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC，

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