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第4章
三角形
八年級數學湘教版·上冊
4.5 第1課時 等腰（邊）三角形的性質
授課人：XXXX
學習目標
1.等腰三角形的性質及其應用，等邊三角形的性質；(重點)
2.能運用等腰（邊）三角形的性質進行有關的證明和計算．(難點)
腰
新課導入
我們知道兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.如圖所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三解形.
等腰三角形中，相等的兩邊都叫作腰，另一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰和底邊的夾角叫作底角.
腰
底角
底角
C
B
A
頂角
底邊
新知探究
剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
新知探究
折一折：△ABC 是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直線是它的對稱軸.
新知探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.
重合的線段 重合的角
　
A
C
B
D
AB與AC
BD與CD
AD與AD
∠B 與∠C.
∠BAD 與∠CAD
∠ADB 與∠ADC
等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.
問題：由這些重合的角，你能發現等腰三角形的性質嗎？
新知探究
新知探究
等腰三角形的性質定理：
等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).
等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).
新知探究
例1 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E在邊BC 上，且AD=AE.求證：BD=CE.
證明 ： 作AF⊥BC，垂足為點F，
則AF是等腰△ABC和等腰△ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.
∴ BF=CF，
∴ BF-DF=CF-EF，
DF=EF，
即 BD=CE.
F
新知探究
在等腰三角形有關計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
（2）設∠A=x,請把△ ABC的內角和用含x的式子表示出來.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例2 如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數.
解析：（1）觀察∠BDC與∠A，∠ABD的關系，∠ABC，∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °,
∴x+2x+2x=180 °.
新知探究
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
設∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得 x=36 ° ，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
新知探究
新知探究
利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質可以得到角與角之間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未知數時，一般設較小的角的度數為x.
1.等腰三角形的頂角一定是銳角.
2.等腰三角形的底角可能是銳角、直角或者鈍角.
3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.
5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.
6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.
（×）
（×）
（×）
（×）
（√）
（√）
判斷題
新知探究
類比探究
A
B
C
A
B
C
等邊三角形的三個內角之間有什么關系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等邊三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C=60°
內角和為180°
新知探究
新知探究
如圖， △ABC 是等邊三角形， 那么∠A， ∠B，∠C 的大小之間有什么關系呢？
因為△ABC 是等邊三角形，
所以AB＝BC＝AC,
從而∠C ＝∠A＝∠B．
由三角形內角和定理，得
∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．
新知探究
等邊三角形的三個內角相等，且都等于60°.
A
B
C
A
B
C
等邊三角形有“三線合一”的性質嗎 等邊三角形有幾條對稱軸？
頂角的平分線、底邊上的高
底邊的中線
三線合一
一條對稱軸
三條對稱軸
新知探究
新知探究
等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”.
新知探究
例3 等腰三角形的一個內角是50°，求這個三角形的底角的度數.
解：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據三角形的內角和定理易得底角是65°.
方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
新知探究
例4 如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
新知探究
等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內角都是60°，這個性質常應用在求三角形角度的問題上，一般需結合”等邊對等角”、三角形的內角和與外角的性質.
課堂小結
等腰三角形的性質
三線合一，注意是指頂角的平分線、底邊上的高和中線才有這一性質.而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質.
等邊對等角，注意是指同一個三角形中.
推論，等邊三角形三個內角相等且均等于60°.
課堂小測
1. 選擇題
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC. 若 ∠1=70°，
則∠BAC的大小為（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
（1）等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角的度數分別是 （　　）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
課堂小測
(1)等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為 .
(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為 .
(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
2. 填空題
課堂小測
3.如圖，在△ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點，
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度數.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
= 60°.
課堂小測
課堂小結
4. 如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一點，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度數.
解：∵三角形ABC是等邊三角形，
∴C=60 ，
∵AD=AP，
∴∠APD= ∠ADP =80°，
∴∠DPC= ∠ADP - ∠C
=20 .

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