資源簡介

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第4章
三角形
八年級數學湘教版·上冊
4.5 第2課時 等腰（邊）三角形的判定
授課人：XXXX
學習目標
1.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定定理；(重點)
2.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定定理的運用．(難點)
新課導入
1、等腰三角形是怎樣定義的？
有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.
③等腰三角形是軸對稱圖形.
② 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合 (簡稱“三線合一”).
① 等腰三角形的兩個底角相等.(簡寫成“等邊對等角”)
2、等腰三角形有哪些性質？
D
A
B
C
復習
新課導入
把“等腰三角形的兩個底角相等”改寫成“如果------那么-----”的形式.
如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.
如果一個三角形是等腰三角形,那么這個三角形的兩個底角相等.
新知探究
已知：如圖，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數量關系
C
A
B
畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數量關系，你能得出什么結論？
AB=AC
你能驗證你的結論嗎？
新知探究
如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，
得∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形內角和的性質，得
∠ADB=∠ADC.
D
1
2
新知探究
沿AD所在直線折疊，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射線DB與射線DC重合，
射線AB與射線AC重合.
從而點B與點C重合，
于是AB=AC.
新知探究
等腰三角形的判定定理：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）.
幾何語言： ∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角對等邊)
A
B
C
新知探究
例1 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是 AB，AC上的點，且DE∥BC.
求證：△ADE為等腰三角形.
證明： ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴ ∠ADE=∠AED，
∴ △ADE為等腰三角形.
新知探究
例2 已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求證：AB=AD.
B
A
D
C
證明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
總結：角平分線+平行線=等腰三角形
例3 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE
是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F.
求證：△CEF是等腰三角形．
證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
新知探究
新知探究
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.
定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
新知探究
證明定理2： 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
證明:如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC
由三角形內角和定理得∠A+∠B+∠C= 180°.
如果頂角∠A=60°，
則∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等邊三角形.
如果底角∠B=60°（或∠C=60°）同樣可以證明△ABC是等邊三角形.
新知探究
根據條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
新知探究
例4 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC. 求證：△ADE是等邊三角形.
A
C
B
D
E
證明：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE∥BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
新知探究
變式1　若點D，E 在邊AB，AC 的反向延長線上，
且DE∥BC，結論依然成立嗎？
　　證明： ∵　△ABC 是等邊三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等邊三角形．
A
D
E
B
C
新知探究
變式2 上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE, △ADE還是等邊三角形嗎 試說明理由.
A
C
B
D
E
解：是等邊三角形.理由如下：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= 60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等邊三角形.
課堂小結
等腰（邊）三角形的判定
1.三個角都相等的三角形是等邊三角形.
2.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
等角對等邊，注意是指同一個三角形中.
課堂小測
1.如圖，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC,
△DBA,
△BCD
A
B
C
D
課堂小測
2.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC =2cm,則△ADE的周長是 cm.
A
C
B
D
E
12
3.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.
9
第2題圖
第3題圖
課堂小測
4.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求證：BC＝CD.
證明：連接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∠DBC=30°(等腰三角形三線合一)．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠DBC=∠DEC，
∴DB=DE (等角對等邊)．
課堂小測
5.如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．

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