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(共17張PPT)
第4章
三角形
八年級數學湘教版·上冊
4.6 第1課時 線段垂直平分線的性質和判定
授課人：XXXX
學習目標
1.探索線段垂直平分線的性質；(重點)
2.能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算.(難點)
新課導入
如圖，人字形屋頂的框架中，點A與點A′關于線段CD所在的直線l 對稱，問線段CD所在的直線l 與線段AA′有什么關系？
我發現AD=A′D,l⊥AA ′
新課導入
我們可以把人字形屋頂框架圖進行簡化得到下圖.
已知點A與點A′關于直線l 對稱，如果沿直線l折疊，則點A與點A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直線l 既平分線段AA′，又垂直線段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
新知探究
我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.
線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.
新知探究
如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l 上的點，請你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發現什么？請猜想點P1，P2，P3，… 到點A 與點B 的距離之間的數量關系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
新知探究
作關于直線l 的軸反射（即沿直線l 對折），由于l 是線段AB的垂直平分線，因此點A與點B重合. 從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點P，連接PA,PB,線段PA，PB之間有什么關系？
新知探究
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
新知探究
例1 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，
交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長是多少？
解：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，
DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35cm－20cm＝15(cm).
新知探究
想一想：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
記得要分點P在線段AB上及線段AB外兩種情況來討論.
新知探究
（1）當點P在線段AB上時，
因為PA=PB，
所以點P為線段AB的中點，
顯然此時點P在線段AB的垂直平分線上；
（2）當點P在線段AB外時，如右圖所示.
因為PA=PB，
所以△PAB是等腰三角形.
過頂點P作PC⊥AB，垂足為點C，
從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直線PC是線段AB的垂直平分線，
此時點P也在線段AB的垂直平分線上.
新知探究
線段垂直平分線的性質定理的逆定理：
到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
應用格式：
∵　PA =PB，
∴　點P 在AB 的垂直平分線上．
新知探究
例2 已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點O，連接OA，OB，OC.
求證：點O在AC的垂直平分線上.
證明 ： ∵點O在線段AB的垂直平分線上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 點O在AC的垂直平分線上.
結論： 三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.
課堂小結
線段垂直平分線的性質和判定
到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，見垂直平分線，得線段相等.
課堂小測
（1）如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（?。?br/>A．AB垂直平分CD
B ．CD垂直平分AB
C．AB與CD互相垂直平分
D．CD平分∠ ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
1.選擇題
（2）在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC ( )
A.三條角平分線的交點
B.三條中線的交點
C.三條高的交點
D.三邊垂直平分線的交點
D
課堂小測
（2）下列說法：
①若點P，E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；
③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；
④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．
其中說法正確的是 （填序號）.
① ② ③
（1）已知線段AB，在平面上找到三個點D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有　　　　種.
無數
2.填空題
課堂小測
3.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且AC =BC， AD=BD，AB與CD相交于點O.
求證：AO=BO.
證明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴
點C和點D在線段AB的垂直平分線上，
∴ CD為線段AB的垂直平分線.
∵AB與CD相交于點O，
∴
AO=BO.

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