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第二十二章二次函數(shù)單元測試卷（B）卷人教版2025—2026學(xué)年九年級上冊
總分：120分 時(shí)間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項(xiàng)選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函數(shù)的圖象上有點(diǎn)，，，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
3．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
4．把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．在一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小，則二次函數(shù)的圖像大致是（　　）
A． B． C． D．
7．若二次函數(shù)的對稱軸是直線，則關(guān)于x的方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知二次函數(shù)，則的值為（ ）
A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不對
9．二次函數(shù)（，，為常數(shù)，且）中的與的部分對應(yīng)值如表：
… 0 1 3 …
… 3 5 3 …
下列結(jié)論：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小．（3）是方程的一個(gè)根；（4）當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
10．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，過其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
B．
C． D．或
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)（）的圖象上，則方程的解為 ．
12．如果拋物線與拋物線關(guān)于x軸對稱，那么 ， ．
13．已知二次函數(shù)，函數(shù)值與自變量之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：
…… 0 1 2 3 ……
…… ……
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最大值記為，最小值記為，則 ．
14．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，連接，M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．過點(diǎn)P作，垂足為N，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則的最大值 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖像經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求函數(shù)解析式．
(2)求拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)．
16．某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)天的銷售單價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過45元．
(1)求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？
(3)求商家銷售該商品每天獲得的最大利潤．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（，，是常數(shù)且）和直線，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)若該拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若拋物線與直線交于軸上同一點(diǎn)．
（ⅰ）用含的代數(shù)式表示，并說明理由；
（ⅱ）已知，當(dāng)時(shí)，若二次函數(shù)的最大值為，最小值為，求的最小值．
18．如圖為二次函數(shù)的圖象，試觀察圖象回答下列問題：
(1)寫出方程的解為_____，_____；
(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍為______；
(3)方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是_____；
(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍是_____；
(5)若不等式無解，則n的取值范圍是______．
19．已知拋物線（為常數(shù)，且）
(1)請直接寫出該拋物線的對稱軸：直線______．
(2)若對于任意實(shí)數(shù)x，拋物線始終在x軸下方，求a的取值范圍；
(3)若，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為．若直線l與拋物線相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在點(diǎn)M的上方，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D．若點(diǎn)D、M、B三點(diǎn)共線，那么直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．若是，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
20．如圖①，拋物線與軸交于和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②，點(diǎn)是在直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B D B C B C C
二、填空題
11．【解】解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∴二次函數(shù)為，
∵，在二次函數(shù)的圖象上，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，
由方程可得，，
∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，
∴是方程的一個(gè)解，
即為方程的一個(gè)解，
設(shè)方程的另一個(gè)解為，
由可得，，
∴方程的另一個(gè)解為，
∴方程的解為或，
故答案為：或．
12．【解】解：∵拋物線與拋物線關(guān)于x軸對稱，拋物線的頂點(diǎn)為，
∴兩拋物線開口大小不變，方向相反，頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，坐標(biāo)為，
∴，
故答案為：，．
13．【解】解：根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，如圖，
可得函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最大值；當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最小值；
∴，
故答案為：8．
14.【解】解：∵經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，解得或，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∵軸，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∵，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，解得，
所以拋物線解析式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
整理：，無實(shí)數(shù)解，
故拋物線與軸無交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
16．【解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：成本為元，，每天獲得的利潤是元，
∴，
解得：，．
∵物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過元，
∴不合題意，應(yīng)舍去．
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤是元．
（3）解：設(shè)商家銷售該商品每天獲得的利潤為元，
則，
∵，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值為（元）．
答：商家銷售該商品每天獲得的最大利潤為元．
17．【解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）把代入得：，
，
在中，令得，
∴直線交軸于，
把代入得：，
；
由知，拋物線解析式為，對稱軸為直線，
，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
，，
，
當(dāng)時(shí)，的值最小為；
的最小值為．
18．【解】（1）解：
∴，，
故答案為：，1；
（2）解：∵的根為，1，
∴二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，
由圖象可得，時(shí)，的取值范圍為，
故答案為：；
（3）∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
即：；
故答案為：；
（4）解：∵，
∴時(shí)，y的最大值為，
把代入得，，
把代入得，，
∴當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，
故答案為：；
（5）解： ，
∴，
令，
∴不等式無解，即無解，
∴問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象在軸上或軸上方時(shí)，求的取值范圍，
∴，
解得：，
故答案為：．
19．【解】（1）解：由題意得：，
故答案為：；
（2）解：由題意得：，且，
即，
解得：；
（3）解：時(shí)，拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為m，n，直線的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，
聯(lián)立拋物線和直線的表達(dá)式得：，即
則，，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，解得，
直線的表達(dá)式為：，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：，
整理得：，
即，
則直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
即直線過定點(diǎn)．
20．【解】（1）解：把，代入中得，
，
，
拋物線解析式為；
（2）解：在中，
當(dāng)時(shí)，
，
如圖，連接，
，，，
∴，
∵的面積是面積的，
∴的面積是，
設(shè)直線解析式為，
，
直線解析式為，
設(shè)，則，
．
∴，
解得：，
此時(shí)；
（3）解：如圖，設(shè)直線交軸于，
，，，
，
，
，
同理可得：直線解析式為．
聯(lián)立，
解得或（不符合題意舍去），
．
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