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第一章一元二次方程單元測試卷蘇科版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是關于x的一元二次方程的一個根，則的值為（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
3．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．
4．一元二次方程的解為：（　　）
A． B． C． D．無實數解
5．一元二次方程的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．有一個實數根
C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根
6．若一元二次方程的兩根為與，則的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．有4人患了流感，經過兩輪傳染后共有196人患了流感，設每輪傳染中平均一個人傳染的人數相同，則三輪傳染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
8．某超市2005年一月份的營業額為200萬元，三月份營業額為288萬元，如果每月比上月增長的百分數相同，則平均每月的增長率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，是一元二次方程的兩個實數根，求的值（ ）
A． B．2025 C． D．
10．對于一元二次方程，下列說法：
①若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；
②若是一元二次方程的根，則；
③存在實數，使得；
④若是方程的一個根，則一定有成立
其中正確的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．徐老師購買了1681張簽名卡，在畢業典禮上，他向每位同學贈送了一張簽名卡，每位同學間也互贈了一張簽名卡，簽名卡恰好用完，則班級共有 名學生．
12．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ．
13．關于的方程有一個根是，則方程的另一個根是 ．
14．設，是方程的兩實數根，則 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知關于x的方程．
(1)若這個方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一個根，求m的值．
17．若關于的方程，，均為常數，的解是，，求方程的解．
18．定義：如果關于的一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“有愛方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“有愛方程”，并說明理由；
(2)若關于的一元二次方程為“有愛方程”，證明：為“有愛方程”的根；
(3)已知是關于的“有愛方程”，若是該“有愛方程”的一個根，求的值．
19．某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高，在售價不變的基礎上，三月份的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．
(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；
(2)從四月份起，超市決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量在400件的基礎上增加5件，當商品降價多少元時，超市獲利4250元？
20．閱讀下面材料：我們在探究一元二次方程根與系數的關系中發現：如果關于的一元二次方程有兩個實數根分別為，，那么由求根公式可推出，．已知關于的方程有兩個實根，，請根據上述結論，解決下面問題：
(1)當方程的一個根時，求方程的另一個根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B D C A D B D
二、填空題
11．【解】解：設班級有名學生，
根據題意得：，
解得：，（舍去），
∴班級共有41名學生．
故答案為：．
12．【解】一元二次方程中，，，，
所以，
，
因為方程有兩個不相等的實數根，
所以，即，
解得．
的取值范圍是且；
故答案為：且．
13．【解】解：設方程的另一個根是，
由一元二次方程根和系數的關系得，，
∴，
即方程的另一個根是，
故答案為：．
14．【解】解：∵，是方程的兩實數根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）由得，
直接開平方得，，
或，
解得，；
（2）由題知，，，
，
由于，所以方程有兩個不相等的實數根，
，
，；
（3）由，
變形得，
即，
或，
解得，．
16．【解】（1）解：
∴
∵這個方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一個根，
∴
解得：，
當時，原方程為
解得：
∴或．
17．【解】解：，
，
解得：，
關于的方程的解是，，
，，
方程的解為，
，
，．
18．【解】（1）解：一元二次方程是“有愛方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有愛方程”．
（2）證明：關于的一元二次方程為“有愛方程”，
，
，
，
為“有愛方程”的根．
（3）是關于的“有愛方程”，
，
，
是該“有愛方程”的一個根，
，
，
或．
19．【解】（1）解：設二、三這兩個月的月平均增長率為，
根據題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：二、三這兩個月的月平均增長率為；
（2）解：設商品降價元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當商品降價5元時，超市獲利4250元．
20．【解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
當時，，
∴；
當時，，
∴；
綜上：或；
（2）∵方程有兩個實根，，
∴，
∴，
解得：或，
當，方程化為：，
∴，滿足條件；
當，方程化為：，此時，舍去；
故；
（3）∵方程有兩個實根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
當時，原方程化為：，
此時，滿足題意，
∴．
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