資源簡介

第四章圖形的相似單元測試卷（一）北師大版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．已知（，），下列變形錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果兩個相似多邊形的周長比為，則它們的面積比為（ ）
A． B． C． D．
3．下列命題中，假命題是（ ）
A．有兩邊及其中一條邊上的高對應成比例的兩個三角形相似
B．有兩邊及其中一邊上的中線對應成比例的兩個三角形相似
C．有一條直角邊及斜邊的中線對應成比例的兩個三角形相似
D．有兩邊及其第三條邊的中線對應成比例的兩個三角形相似
4．已知，求（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，直線，直線，與這組平行線依次交于點，，，，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖，點P在的邊上，若只添加一個條件，就可以判定，則添加的條件可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，，若，，則與的相似比是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，與是位似圖形，位似中心是點O，若，且的周長為6，則的周長為（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
9．如圖，在中，是上一點，與交于點，如果，，那么的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如圖，在中，D，E是邊的三等分點，是邊的中線，，分別與交于點G，H，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．如圖，中，E、D是邊上的三等分點，F是的中點，交、于G，H，則 ．
12．如圖，，，，則 ．
13．已知，那么代數式的值是 ．
14．如圖，在中，，正方形的頂點分別在的邊上，如果，則
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．如圖，E為上一點，．
(1)求證：；
(2)若平分，，，求的長．
16．在中，，兩條高，交于點H，F是的中點，連接并延長交邊于點G．
(1)如圖1，若是等邊三角形．
①求證：；
②求的長．
(2)如圖2，若，，求的面積．
17．如圖，在矩形中，點E為的中點，點G為的中點，點F為上的一個動點，且，連接，．
(1)求的度數；
(2)求證：；
(3)若，，求線段的長．
18．如圖，在中，點，，，分別在，，，邊上，連接，．已知四邊形是平行四邊形，．
(1)若，求的長；
(2)若的面積為，求的面積；
(3)【拓展提升】若的面積為，求的面積．
19．如圖，在矩形中，，，連接，點分別在邊，上，連接，，分別交于，∠
(1)若，求的長；
(2)在點由點運動到點的過程中，設，．
①求與的關系式；
②連接，求面積的最大值．
20．如圖，是正方形的對角線，點，分別是和延長線上的點，是等腰直角三角形，，與，分別交于點，，與交于點．
(1)求證：；
(2)若，求證：平分；
(3)若，，求的值．
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試卷第1頁，共3頁
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參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A D B D C C
二、填空題
11．【解】解：如圖，過點作交延長線于點，
∵F是的中點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵E、D是邊上的三等分點，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴．
故答案為：．
12．【解】解：∵，，，
∴，，
∴
故答案為：．
13．【解】解：設，
∴，
∴，
故答案為：．
14．【解】解：四邊形為正方形，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）證明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）知，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，即 ，
∴．
16．【解】（1）①證明：，是等邊三角形的高，
，，，分別平分和，
，
，，
；
②解：過點作交于點，
，，
，，
，是的中點，
，，
，，
，
，等邊三角形的邊長為8，
，
；
（2）解：過點作交于點，
，，
，，
∵是的中點，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
17．【解】（1）解：∵點G為的中點，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即．
（2）證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：∵點E為的中點，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
設，則，
∴，
解得，．
經檢驗，，是原方程的解且符合題意．
∴線段的長為2或4．
18．【解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故．
（2）解：由（1）可得，，
∴和的相似比是，
∴，
∵的面積為，
∴，
∴，
即的面積為．
（3）解：由（2）可得，
∵的面積為，
故，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即和的相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故的面積．
19．【解】（1）解：在矩形中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（2）①延長到，使，延長到，使，連接，延長交于點，連接，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是正方形，
過點作交的延長線于，
，即，
，
，
，即，
，
，
又，，
，
，
，
，即是的中位線，
，
，
在中，，，，
，
整理，得，，
②如圖，過點作于，則四邊形為矩形，
，，，
,
,
由①，；
，
，
，
，
，
當時，面積的最大值為16．
20．【解】（1）證明：是正方形的對角線，
，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，即，
；
（2）證明：，
，
又∵，
，
，
在和中，，，
，
平分；
（3）解：如圖，過點作交于點，
，
∴，
，，
易知是等腰直角三角形，
，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
是斜邊上的高線，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，
，
在中，，，
∴，
在中，，
解得，
．

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