資源簡介

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第5章
直角三角形
八年級數學湘教版·上冊
5.1 第1課時 直角三角形的性質和判定
授課人：XXXX
學習目標
1.理解和掌握直角三角形的性質和判定及斜邊上中線的性質;（重點）
2.會運用直角三角形的性質和判定解決基本問題．（難點）
新課導入
三角形頂點與對邊中點的連線段.
問題1 直角三角形的定義是什么？
問題2 三角形內角和的性質是什么？
有一個是直角的三角形叫直角三角形.
三角形內角和等于180°.
這節課我們一起探索直角三角形的判定與性質.
復習引入
問題3 三角形中線的定義是什么？
新知探究
如圖1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？
圖1-1
在Rt△ABC中，因為 ∠C=90°，由三角形內角和定理，可得∠A +∠B=90°.
新知探究
結論
直角三角形的兩個銳角互余.
由此得到：
新知探究
問題：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形嗎？
如圖1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形嗎？
在△ABC中，因為 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
圖1-2
有兩個銳角互余的三角形是直角三角形
二
新知探究
結論
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
由此得到：
新知探究
例 : 已知：如圖，CD是△ABC的AB邊上的中
線，且 .
求證：△ABC是直角三角形.
新知探究
證明：
因為 ，
所以 ∠1=∠A，(等邊對等角)
∠2=∠B .
根據三角形內角和性質，有
∠A+∠B+∠ACB =180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以 ∠A+∠B =90°.
根據直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形.
新知探究
問題： 如圖1-3，畫一個Rt△ABC， 并作出斜邊AB上的中線CD，比較線段CD 與線段AB 之間的數量關系，你能得出什么結論？
圖1-3
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
三
新知探究
我測量后發現CD = AB.
線段CD 比線段AB短.
圖1-3
新知探究
是否對于任意一個Rt△ABC，都有 CD = 成立呢？
圖1-4
如圖1-3， 如果中線CD = AB，則有∠DCA = ∠A .
由此受到啟發，在圖1-4 的Rt△ABC中，過直角頂點C作射線 交AB于點 ，使 ，
∠ = ∠A
則 .
圖1-3
CD與 重合，且
從而
新知探究
∠A +∠B=90° ，
又∵
，
∴
∴
故得
∴ 點 是斜邊上的中點，即 是斜邊 的中線.
圖1-4
新知探究
結論
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
由此得到：
課堂小結
直角三角形的兩個銳角互余.
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
直角三角形的性質和判定：
課堂小測
1.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm ，則斜邊 AB的長是多少？
解:
AB=2CD=2×2.5=5(cm).
課堂小測
2.如圖，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分線相交于H點，E為AC的中點，EH=2. 那么△AHC是直角三角形嗎？為什么？若是，求出AC的長.
解:
因為 AB∥CD，所以 ∠BAC+∠DCA=180°.
又 ， ，
所以 ，
所以△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH為斜邊上的中線，
所以有 ，
由EH=2易知AC=4.
課堂小測
3.如圖所示，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，且CD，BE交于一點P，若∠A=50°，求∠BPC的度數.
解：因為BE，CD是ABC的高，
所以∠BDP=90°，∠BEA=90°.
又∠A=50°，
所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°.
所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 40°+ 90°= 130°.
A
D
B
E
P
C

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