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第二十一章一元二次方程單元測試卷（二）人教版2025—2026學(xué)年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．將方程配方后，原方程變形為（ ）
A． B． C． D．
3．若等腰三角形的三邊長均滿足方程，則此三角形的周長為（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能確定
4．某品牌襯衣為了促進(jìn)消費(fèi)，擬對該品牌襯衣進(jìn)行降價處理，決定將原價為元每件的該襯衣經(jīng)過兩次降價降為每件元，且兩次降價的百分比相同．若設(shè)每次降價的百分比為x，則下列所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
6．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為（ ）
A． B．1 C．0 D．2
8．關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和4，則b、c的值分別為（ ）
A．2、 B．2、8 C．、 D．、
9．關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，，且．下列說法正確的是（ ）
；；；關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，．
A． B． C． D．
10．已知方程的三個互不相等的實數(shù)根可作為三角形的三邊邊長，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．已知關(guān)于x 的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍為 ．
12．如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，，那么代數(shù)式： ．
13．已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則 ．
14．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，則分別從同時出發(fā)，經(jīng)過 秒鐘，使的面積等于．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．解方程：
(1) (2)
16．已知關(guān)于x的方程．
(1)若這個方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一個根，求m的值．
17．某商場準(zhǔn)備對去年購進(jìn)的一批進(jìn)價為每件40元的T恤進(jìn)行過季處理，若每件T恤的售價定為30元虧本銷售時，可售出50件，若每件T恤的售價每降低1元，銷售量相應(yīng)增加5件，現(xiàn)在倉庫還有剩余100件T恤需要處理．
(1)若想將剩余的100件T恤全部清倉，至少需要降價多少元？
(2)商場將100件T恤進(jìn)行降價處理，處理不了的積壓在倉庫，一共虧損了2080元，求每件T恤的售價為多少元？
18．已知：關(guān)于的一元二次方程（是整數(shù)）．
(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，（其中），設(shè)，判斷是否為變量的函數(shù)？如果是，請寫出函數(shù)解析式；若不是，請說明理由．
19．閱讀材料：已知實數(shù)滿足，且，求的值．
解：由題意知是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
根據(jù)上述材料解決以下問題：
(1)已知實數(shù)滿足，，且，求的值．
(2)已知實數(shù)分別滿足，，且．求的值．
20．約定：當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)時，稱這個點(diǎn)為整點(diǎn)，若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根分別是，，則點(diǎn)稱為該方程的“”點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線稱為該方程的一條“”線．
(1)若關(guān)于x的一元二次方程：的“”點(diǎn)為，求b，c的值；
(2)關(guān)于x的一元二次方程的兩實根為．該方程是否存在一條“”線為，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由；
(3)關(guān)于x的一元二次方程的兩實根為．若該方程的“”點(diǎn)為整點(diǎn)，請求出所有滿足條件的m的值．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B C B C B C
二、填空題
11．【解】解：當(dāng)時，原方程化為：，解得：，符合題意；
當(dāng)時，方程為一元二次方程，
∵方程有實數(shù)根，
∴，解得：；
∴且；
綜上：．
故答案為：．
12．【解】解：∵m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，，
∴m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
13．【解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，
∴且，解得：．
故答案為：1．
14．【解】解：設(shè)經(jīng)過秒鐘，的面積等于，由題意得，
，
，，
∴經(jīng)過秒或秒時，的面積等于，
故答案為：秒或秒．
三、解答題
15．【解】（1）解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
16．【解】（1）解：
∴
∵這個方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一個根，
∴
解得：，
當(dāng)時，原方程為
解得：
∴或．
17．【解】（1）解：若想將剩余的100件T恤全部清倉，設(shè)至少需要降價元，
根據(jù)題意得，
解得，
答：若想將剩余的100件T恤全部清倉，至少需要降價10元；
（2）解：設(shè)每件T恤的售價為元，則銷量為，
根據(jù)題意得，，
整理得：，
解得：或，
當(dāng)，，不符合題意，舍去，
答：每件T恤的售價為24元．
18．【解】（1）解：是一元二次方程，
，
，
化簡得：，
是整數(shù)，
，
，
，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：是
在方程中，
，
當(dāng)取正號時，，
當(dāng)取負(fù)號時，，
是整數(shù)，
，則，
，
，，
，
是變量的函數(shù)，函數(shù)解析式為：．
19．【解】（1）解：由題意知是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
故答案為：．
（2）解：把兩邊同時除以，得
．
又，
實數(shù)和可看作方程的兩個不相等的實數(shù)根，
．
故答案為：．
20．【解】（1）解：根據(jù)題意：，
∴；
（2）解：存在，
∵關(guān)于x的一元二次方程的兩實根為，
∴，
∴；
∵，
∴，
根據(jù)題意得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，
當(dāng)時，，則，
∵，
∴，符合題意；
當(dāng)時，，則，
∵，
∴，不符合題意；
綜上，；
（3）解：解關(guān)于x的一元二次方程，
，
解得：或，
∵，即，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵該方程的“”點(diǎn)為整點(diǎn)，
∴，都是整數(shù)，
∵，，
∴，都是整數(shù)，
令（為整數(shù)，且）且（為整數(shù)，且），
∴（為整數(shù)，且）且（為整數(shù)，且），
∴且，
∴的值為：，或，
∴或或，
∴或或（舍去），
當(dāng)時，，，且，符合題意；
當(dāng)時，，，且，符合題意；
綜上，滿足條件的m的值為或．
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