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第二十一章一元二次方程單元測試卷（A）人教版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．若b是方程的一個解，且，則等于（ ）
A． B．1 C． D．2
2．下列方程中，是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程的根的情況為（ ）
A．只有一個實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．沒有實數根
4．已知，是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．把方程化成的形式，則（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
6．若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
7．若，則的值為（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
8．某地計劃三年內投入1900萬元資金進行生態建設，以此帶動本地旅游業的發展，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，如果在今后的三年內（本年度為第一年）每年旅游業的收入比上年增長百分數相同，則三年內旅游業的總收入恰好等于投資總額，設旅游業的收入比上年增長的百分數為x，則下列方程正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若，是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A． B． C． D．
10．對于一元二次方程，下列說法：
①若方程的兩個根是和，則；
②若是方程的一個根，則一定有成立；
③若，則它有一個根是；
④若方程有一個根是，則方程一定有一個實數根．
其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為 ．
12．如圖，某單位準備在院內一塊長、寬的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的部分種植花草．如圖，要使種植花草的面積為，則小道進出口的寬度為 m．
13．已知a是方程的解，則代數式的值為 ．
14．關于的一元二次方程的兩根記為，．若，則 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．解方程：
(1)； (2)．
16．某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，標價為3000元．
(1)若商場連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率．
(2)市場調研表明：當每臺售價為2900 元時，平均每天能售出8臺，當每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應為多少元？
17．若關于的一元二次方程有兩個實數根，，且，那么稱這樣的方程為“鄰近根方程”，例如，一元二次方程的兩個根是，，，則方程是“鄰近根方程”．
(1)判斷方程是否為“鄰近根方程”并說明理由；
(2)若關于的方程（是常數）是“鄰近根方程”，求的值．
18．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程的兩個實數根分別為、，且，求的值．
19．已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若這個方程的兩根為，，且滿足，求k的值．
20．定義：若關于x的一元二次方程的兩個實數根為，，分別以，為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點M為該一元二次方程的衍生點．
(1)若方程為，求出該方程的衍生點M的坐標；
(2)若關于x的一元二次方程為的衍生點為M，且點M在直線上，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不論為何值，關于x的方程的衍生點M始終在直線的圖像上？若有，請求出b，c的值；若沒有，請說明理由．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A C D D A C
二、填空題
11．【解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，且
∴
故答案為：．
12．【解】解：設小道進出口的寬度為，
根據題意，得：，
整理，得：．
解得或34（舍去），
所以小道進出口的寬度為．
故答案為：1．
13．【解】解：∵a是方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案為：2024．
14．【解】解：∵，是方程的兩根，，
∴，
解得：，
當時，方程，
∴，
當時，方程，
，
∴方程無實數解，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，即或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
16．【解】（1）解：設每次降價的百分率為x，
依題意得 ，
解得 （不合題意，舍去）．
答：每次降價的百分率是．
（2）解：假設下調a個50元，
依題意得，
解得 ，則（元）
則每臺冰箱的定價應為元，
答：每臺冰箱的定價應為2750 元．
17．【解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，
，
該方程不是鄰近根方程；
（2）解：設該方程的兩個根分別為，，且，
該方程是鄰近根方程，
，
，
，
解得，
，
的值為2．
18．【解】（1）證明：∵關于的一元二次方程為，
∴，
∴此方程總有兩個不相等的實數根．
（2）解：∵方程的兩個實數根分別為、，
∴，，
∴，解得：，
∴，解得：．
19．【解】（1）證明：∵，
∴，
∴方程總有兩個實數根；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，．
20．【解】（1）解：解方程得，
，
， ，
，
該方程的衍生點M的坐標為；
（2）方程為，
，
，或，，
①當，即時，
衍生點M的坐標為．
∵點M在直線上，
代入得，
∴，符合題意；
②當，即時，
衍生點M的坐標為，
∵點M在直線上，
代入得，
，與矛盾，故舍去；
綜上，；
（3）存在b，c滿足條件，理由如下：
，
直線經過定點，
∴方程的衍生點M為，
即，，
，
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