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第二十一章一元二次方程單元測(cè)試卷（一）人教版2025—2026學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)
總分：120分 時(shí)間：90分鐘
姓名：________ 班級(jí)：_____________成績(jī)：___________
一．單項(xiàng)選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號(hào) 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可變形為（ ）
A． B．
C． D．
3．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a滿足（ ）
A． B． C． D．a(chǎn)為任意實(shí)數(shù)
4．一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列關(guān)于一元二次方程根的情況說(shuō)法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
6．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．某商場(chǎng)為了減少某品牌服裝老款的庫(kù)存，將原售價(jià)為625元的該品牌服裝降價(jià)，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后現(xiàn)售價(jià)為361元．若兩次的降價(jià)百分率均為，則下列方程中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則的值為（ ）
A． B．3或 C．3 D．0
9．已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（　）
A． B．4 C． D．2
10．已知是實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為 ．
12．已知m，n是方程的兩根，則＝ ．
13．若實(shí)數(shù)，滿足，，，且，則 ．
14．如圖，某農(nóng)家樂(lè)老板計(jì)劃在一塊長(zhǎng)，寬的空地開(kāi)挖兩塊形狀大小相同的垂釣魚(yú)塘，它們的面積之和為，兩塊垂釣魚(yú)塘之間及周邊留有寬度相等的垂釣通道，則垂釣通道的寬度為 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說(shuō)明和解答過(guò)程）
15．解方程：
(1)；
(2)．
16．交警部門(mén)提醒市民：“出門(mén)頭盔戴，放心平安歸”，某電動(dòng)車用品批發(fā)店準(zhǔn)備在11月和12月，分兩次購(gòu)入A、B兩款頭盔．11月購(gòu)入了第一批，購(gòu)入A款頭盔的數(shù)量為購(gòu)入B款頭盔數(shù)量的4倍還多300個(gè)，A、B兩種頭盔的購(gòu)入單價(jià)分別為20元和45元，共用去資金43500元．
(1)求第一批購(gòu)入A、B兩款頭盔的數(shù)量；
(2)12月2日，恰逢全國(guó)交通安全日，隨著人們交通安全意識(shí)不斷增強(qiáng)，頭盔需求量增加．A款頭盔單價(jià)有所上漲（漲價(jià)金額為正數(shù)）．批發(fā)店決定，若A款頭盔的單價(jià)每上漲1元，則購(gòu)入數(shù)量就比第一批A款頭盔的數(shù)量減少50個(gè)．因B款頭盔單價(jià)與第一批相同，所以B款頭盔的購(gòu)入數(shù)量在第一批B款頭盔數(shù)量的基礎(chǔ)上增加，最終花費(fèi)的總資金比第一批增加了9000元，求A款頭盔的單價(jià)上漲了多少元？
17．已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若，求的值．
18．已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
19．我們給出定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，分別以為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．
(1)若方程為，該方程的衍生點(diǎn)為_(kāi)_______．
(2)若關(guān)于的一元二次方程的衍生點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向軸和軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求的值．
(3)是否存在，使得不論為何值，關(guān)于的方程的衍生點(diǎn)始終在直線的圖象上，若有請(qǐng)求出的值，若沒(méi)有說(shuō)明理由．
20．閱讀下列材料：我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于x的一元二次方程，如果的值是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，一元二次方程的根不一定都為整數(shù)，但是如果一元二次方程的根都為整數(shù)，的值一定是一個(gè)完全平方數(shù)．
定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程稱為“友好方程”，代數(shù)式的值為該“友好方程”的“超強(qiáng)代碼”，用表示，即；若另一關(guān)于x的一元二次方程也為“友好方程”，其“超強(qiáng)代碼”記為，當(dāng)滿足時(shí)，則稱一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超強(qiáng)代碼”是________；
(2)關(guān)于x的一元二次方程（m為整數(shù)，且）是“友好方程”，請(qǐng)求出該方程的“超強(qiáng)代碼”；
(3)若關(guān)于x的一元二次方程是（m，n均為正整數(shù)，且）的“最佳搭子方程”，且的一個(gè)根是的一個(gè)根的2倍，求m和n的值
參考答案
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B A B B A A A
二、填空題
11．【解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴

故答案為：
12．【解】解：、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，，
，，
，，
．
故答案為：8．
13．【解】解：，
，
，
，
，
實(shí)數(shù)，可以看作方程的兩個(gè)根，
；
故答案為：．
14．【解】解：設(shè)垂釣通道的寬度為，把兩塊垂釣魚(yú)塘平移在一起所得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，
由題意得，，
整理得，，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，
∴，
∴垂釣通道的寬度為，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
或，
．
16．【解】（1）解：設(shè)第一批購(gòu)入B款頭盔的數(shù)量為x個(gè)，則第一批購(gòu)入A款頭盔的數(shù)量為個(gè)，
由題意得：，
解得：，
∴，
答：第一批購(gòu)入A款頭盔的數(shù)量為1500個(gè)，購(gòu)入B款頭盔的數(shù)量為300個(gè)；
（2）解：設(shè)A款頭盔的單價(jià)上漲了y元，則購(gòu)入數(shù)量為本，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：A款頭盔的單價(jià)上漲了10元．
17．【解】（1）解：，
∵原一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，，
∵，
∴．
∴．
解得，．
又∵，
∴．
18．【解】（1）解：，，
原式；
（2）解：．
．
19．【解】（1）解：解方程得，
故該方程的衍生點(diǎn)．
故答案為：．
（2）解：解關(guān)于的一元二次方程，
得，
則或，
由過(guò)點(diǎn)向軸和軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，
得或，
解得或．
（3）解：直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴直線過(guò)定點(diǎn)，
∵關(guān)于的方程的衍生點(diǎn)始終在直線的圖象上，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故方程的兩個(gè)根為，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得，，
∴，．
20．【解】（1）解：“友好方程”的“超強(qiáng)代碼”是：，
故答案為：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且為完全平方數(shù)，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵為整數(shù)，
∴，
將代入原方程，則，
∴，
∴方程的“超強(qiáng)代碼”為；
（3）解：方程的“超強(qiáng)代碼”為：
，
由得：
方程的“超強(qiáng)代碼”為：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均為正整數(shù)且，
∴，
∴，
即，
又∵的一個(gè)根是的一個(gè)根的2倍，
∴①當(dāng)時(shí)，得：，，
②當(dāng)時(shí)，，，（舍），
③當(dāng)時(shí)，得：（舍），
綜上所述：，．
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