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第二十一章一元二次方程單元測試卷人教版2025—2026學年九年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．不能判定
3．用配方法解方程，下列配方正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
5．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年2月份售價為25萬元，4月份售價為萬元，設該款汽車這兩個月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．關于x的一元二次方程 有兩個相等實數根，則a的值為（ ）
A．0 B．0或 C． D．8
7．若是關于x的一元二次方程的解，則（ ）．
A． B． C．27 D．18
8．已知α，β是方程的兩個根，則代數式的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．關于x的方程的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．無實數解
10．已知m是關于x的一元二次方程的一個實數根，且滿足，則a的值為（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．已知關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是 ．
12．若實數滿足 ，則的值為 ．
13．已知方程的兩根分別為和，則的值為 ．
14．方程的較大的根為p，方程的較小的根為q， ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．用適當的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
16．已知關于的一元二次方程，如果，，滿足，我們就稱這個一元二次方程為美妙方程．
(1)判斷方程是否為美妙方程，并說明理由．
(2)已知關于的美妙方程的一個根是，求這個美妙方程．
17．已知關于x的一元二次方程．
(1)當m為何值時，方程有實數解；
(2)當該方程的一個根為時，求m的值及方程的另一根．
18．已知關于的一元二次方程有實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)方程的兩個實數根、滿足，求實數的值．
19．“荔枝”是深圳地方名優特產，深受消費者喜愛．某超市購進一批“荔枝”，進價為每千克24元．調查發現，當銷售單價為每千克40元時，平均每天能售出20千克，而當銷售單價每降價1元時，平均每天能多售出2千克，設每千克降價x元．
(1)當每千克荔枝降價5元時，每天銷量可達________千克，每天盈利________元；
(2)若超市要使這種“荔枝”的銷售利潤每天達到336元，且讓顧客得到實惠，則每千克應降價多少元？
20．若關于的一元二次方程的根均為整數，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發現，任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數．現規定為該“快樂方程”的“快樂數”，例如“快樂方程”的兩根均為整數，其“快樂數”．
(1)“快樂方程”的“快樂數”為________；
(2)若關于的一元二次方程（為整數，且）是“快樂方程，求的值；
(3)若關于的一元二次方程與都是“快樂方程”，且其“快樂數”相等，設，求的最小值．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A C B C B A
二、填空題
11．【解】解：由題意得，
解得：．
故答案為：．
12．【解】解：設，則，
，即，
解得：，
，
．
故答案為：1．
13．【解】解：∵方程的兩根分別為和，
∴，
則
故答案為：16
14．【解】解：，
，
，
∴，
解得，，
∵較大根為p，
∴，
由方程，
，
解得：，，
∵較小根為q，
∴，
∴，
故答案為：2025．
三、解答題
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
16．【解】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵中，，，，
∴，
故該方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程的一個根是，
∴，
解得：，
∴這個美妙方程是．
17．【解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有實數解，
∴，
∴；
（2）解：∵是方程的一個根，
∴，
解得：，
設方程的另一個根為，
∵，
∴．
∴，方程的另一個根為．
18．【解】（1）解： 關于的一元二次方程有實數根，
，
解得：．
（2）解：方程的兩個實數根、，
∴，，
原式
∴
∴
∴
∴（與相矛盾，故舍去），．
19．【解】（1）解：當每千克荔枝降價5元時，銷量為（千克），
每天盈利為：（元）
所以，每天銷量可達千克，每天盈利330元，
故答案為：30，330；
（2）解：設應降價元，根據題意得，
，
解得或，
為讓顧客得到實惠，取，
所以，每千克應降價4元．
20．【解】（1）解：中，，，，
，
故答案為：；
（2）解：關于的一元二次方程是“快樂方程，
，
其中是完全平方數，且為整數，且，
或，
當時，，
當時，，
是完全平方數，不是完全平方數，
；
（3）解：一元二次方程的快樂數為：
，
一元二次方程的快樂數為：
，
兩個方程的快樂數相等，
，
整理得：，
左邊分解因式得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
當時，
解得：，
要取最小值，
當，時有最小值，最小值為，
此時，，
，
不符合題意，
當，或，時，有最小值，
最小值為，
當，時，
方程中，
方程中，
是完全平方數，
符合題意；
當，時，
方程中，
方程中
是完全平方數，
符合題意．
的最小值是．
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