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第五章二元一次方程組單元測試卷（一）北師大版2025—2026學年八年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．若是下列某二元一次方程組的解，則這個方程組為（ ）
A． B． C． D．
2．方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
3．我國明代《算法統宗》一書中有這樣一題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托 （一托按照 5 尺計算）．”大意是：現有一根竿子和一條繩索，如果用繩索去量竿子，繩索比竿長 5 尺； 如果將繩索對折后再去量竿子，就比竿短5尺．則繩索長幾尺？設竿子長 尺，繩索長 尺，根據題意可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
4．若關于的二元一次方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知關于x，y的方程組的解和的解相同，則的值為（ ）
A． B． C．2025 D．1
6．已知一次函數和在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于，的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，周長為的長方形中剛好鋪滿塊完全相同的小長方形木塊，則每塊小長方形木塊的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．已知是關于x，y的二元一次方程，則的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．1
9．已知關于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得到一個新的方程，當每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為（ ）
A． B． C． D．
10．已知方程組的解為，則方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．如圖，兩條直線和相交于點，兩直線與軸所圍成的的面積是 ．
12．已知實數a，b滿足方程組，則的值為 ．
13．若關于x，y的方程組的解滿足，則a的值為 ．
14．已知方程組的解是，則方程組的解 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．解方程組：
(1) (2)
16．已知，關于x，y的二元一次方程組 與方程組 有相同的解．
(1)求這兩個方程組的相同解；
(2)求的平方根．
17．2025年1月7日西藏定日縣發生6.8級地震，自治區應急、交通等部門給予大力幫助．針對災區房屋安全、電力供應、物資保障等方面進行全方位排查，現安排甲、乙兩種貨車從某醫藥公司倉庫運輸物資到地震災區，兩種貨車的情況如表：
甲種貨車/輛 乙種貨車/輛 總量/噸
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
(1)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？
(2)據了解，這次運輸中，每輛車都裝滿，甲種貨車拉每噸貨物耗費100元，乙種貨車拉每噸貨物耗費150元，有5輛車參與運貨，其中甲種貨車輛．求貨車所需總費用與之間的函數關系式；當所需總費用為2350元，該如何安排拉貨？
18．如圖，直線與y軸交于點A，直線與y軸交于點B，兩直線交于點C，且點C的橫坐標為2．
(1)關于x，y的方程組的解是______．
(2)求直線的關系式
(3)求的面積．
(4)在直線的圖像上存在異于點C的另一點P，使得與的面積相等，請求出點P的坐標．
19．換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數或變數稱為元．所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元．
例如解方程組，令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得．原方程組的解為．
(1)解方程組．
(2)解方程組
(3)已知關于x、y的方程組的解是，關于x、y的方程組的解是__________．
20．我們把關于、的兩個二元一次方程與叫作互為共軛二元一次方程；二元一次方程組，叫做關于、共軛二元一次方程組．例如：與互為共軛二元一次方程，二元一次方程組，叫做關于、共軛二元一次方程組；與互為共軛二元一次方程，二元一次方程組，叫做關于、的共軛二元一次方程組．
(1)若關于、的方程組，為共軛方程組，則______， ______；
(2)若二元一次方程中、的值滿足下列表格：
1 0
0 2
則這個方程的共軛二元一次方程是______；
(3)解下列方程組（直接寫出方程組的解即可）：的解為______．
(4)發現：若方程組是共軛方程組，且方程組的解是，請計算的值．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A D A C B C A
二、填空題
11．【解】解：兩條直線和相交于點，
解得
，
令，解得
由，令，解得，
．
故答案為：．
12．【解】解：，
得：，
∴，
故答案為：．
13．【解】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案為：2．
14．【解】解：∵方程組的解是，
∴方程組的解為，
解得：，
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得，
原方程組的解是；
（2）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，，
原方程組的解是．
16．【解】（1）解：∵關于x，y的二元一次方程組 與方程組 有相同的解，
∴可得方程組
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴這兩個方程組的相同解為；
（2）解：由（1）可得,
化簡得：，
由得，；
由得，，
解得：；
把代入式，則，
解得：；
∴，
∴的平方根為．
17．【解】（1）解：設甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨m噸、n噸，
由表格可得：，
解得．
答：甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨5噸、3噸．
（2）解：設甲種貨車a輛，則乙種貨車輛，
由題意可得：，
即貨車所需總費用w與a之間的函數關系是；
當時，由得，
，
故當所需總費用為2350元，安排甲種貨車2輛，乙種貨車3輛參與運貨．
18．【解】（1）解：∵點C的橫坐標為2，
∴把代入，解得：，
∴，
∴方程組的解是，
故答案為：；
（2）解：由（1）得：，
把代入，
即，
把代入，
即；
（3）解：對于直線，把代入得：，
∴，
對于直線，把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴通過觀察圖像可得以為底邊的高，
∴；
（4）解：由題意得：，
∵與的面積相等，
∴，
解得：，
∵點是異于點，
∴，
∴，
把代入，解得：，
∴；
19．【解】（1）解：，
移項整理得，，
令，，
原方程組化為，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程組的解為；
（2）解方程組，
移項整理得，，
令，，原方程組化為，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程組的解為；
（3）將關于x、y的方程組，
移項為，
整理得，
令，，原方程組化為，
根據題意得，
把代入，，
得，解得或，
原方程組的解為或．
20．【解】（1）解：由定義可得，
，
故答案為：；1．
（2）解：將代入，
得，
解得，
二元一次方程為，
這個方程的共軛二元一次方程是．
故答案為：．
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
將代入得，，
方程組得解為，
故答案為：．
（4）解：由定義可得，
，
方程組是共軛方程組，
得，，
，，
，
，
方程組的解是，
，
．
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