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第一章勾股定理單元測試卷北師大版2025—2026學年八年級上冊
總分：120分 時間：90分鐘
姓名：________ 班級：_____________成績：___________
一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）
題號 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．在下列各組數中，不能作為直角三角形的三邊長的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．直角三角形兩條邊的長度分別為，，那么第三條邊的長度是（ ）
A．5 B． C．5或 D．12
3．在中，的對邊分別是，則下列條件中不能說明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若5，a，12是一組勾股數，則a的值為（ ）
A．13 B． C．或13 D．11
5．如圖，正方形面積，，則正方形的邊長為（ ）
A．12 B．13 C．5 D．25
6．如圖，空心玻璃圓柱的底面圓的周長是24，高是5，內底面的點A處有一只小蟲，要吃到點B處的食物，需要爬行的最短路徑的長是（　　）
A．6 B．7 C．13 D．10
7．如圖，在中，，，且，，則的長是（ ）
A．4.8 B．8 C．9.6 D．10
8．如圖，在中，垂直平分斜邊，交于點 D，E為垂足，連接，若 ，，則的長是（ ）
A． B． C． D．4
9．如圖，過點P作且，得；再過點P1作且，得；又過點P2作且，得…依此法繼續作下去，得等于（ ）
A． B． C． D．
10．我國漢代數學家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該圖為“趙爽弦圖”．如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為49，小正方形面積為4，用，表示直角三角形的兩直角邊（），下列三個推斷：①；②；③．其中所有正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空題（每小題5分，滿分20分）
11．在中，，若，則的面積為 ．
12．在中，，點是的中點，則的長 ．
13．如圖，在中，，，，則陰影部分的面積是 ．
14．如圖，中，，，分別以、、為邊在的同側作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為，，則 ．
三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）
15．如圖，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均在格點上．
(1)求三角形的周長．
(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(3)求AB邊上的高h．
16．已知，，，，，求四邊形的面積．
17．如圖，一艘輪船從A港向南偏西方向航行到達B島，再從B島沿方向航行到達C島，A港到行線的距離是．
(1)若輪船的速度為，求輪船從C島沿返回A港所需要的時間；
(2)C島在A島的什么方向？
18．如圖，在中，，點P、點D分別在邊和上且，的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．
(1)證明：；
(2)若，，，求線段的長．
19．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．又到了放風箏的最佳時節．某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米；③牽線放風箏的小明的身高為米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想風箏沿方向下降米，則他應該往回收線多少米？
20．《整式的乘法》一章學習中，我們體驗了“以形助數，以數解形”的研究策略．這充分體現了數學中“數形結合”這一數學思想方法的重要性．民興七年級數學興趣小組通過面積恒等的方法對直角三角形三邊關系進行了探究．
【初步探究】

（1）如圖（1），直角三角形紙片三條邊長分別為a，b，c（），小組同學用四個這樣的紙片拼成了一個大正方形，中間空一個小正方形（陰影部分）．
①一個直角三角形紙片的面積為____，小正方形邊長為_____．（用含a，b的代數式表示）
②請用兩種不同的方法表示出陰影部分（小正方形）的面積，從而探究出a，b，c三者之間的關系．（需化簡）
【結論運用】
（2）如圖2，已知，是直角三角形，．請利用上面得到的結論求解．
①若，求的長．
②若，的長比的長大2，求的長．
【應用拓展】
（3）如圖3，已知，在中，，請求出的面積．

參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A C C C A D C
二、填空題
11．【解】解：，，
，
的面積為：，
故答案為：30．
12．【解】解：過點A作于點E，過點D作于點F，連接，
∵，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
13．【解】解：在中，，，，
，
．
故答案為： ．
14．【解】解：如圖，過點作于點，連接，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
同理可證：，
，
由得：，，
，，
，即，且，，
，又，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
同理可證：，，
，
，
，
，
，
，
解得：
故答案為：．
三、解答題
15．【解】（1）解：由題意得：，
，
，
，，，
三角形的周長；
（2）是直角三角形，
理由：，，
，
是直角三角形；
（3）是直角三角形，
的面積，
，
，
解得：．
16．【解】解：如圖，連接，
，，，
是直角三角形，
∴，，
∵，，，，即，
是直角三角形，，
∴，
，
，
四邊形的面積為．
17．【解】（1）解：由題意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵輪船的速度為，
∴輪船從C島沿返回A港所需要的時間為（小時）；
（2）解：∵，
∴，
∵一搜輪船從A港向南偏西方向航行到達B島，
∴，
故C島在A島的北偏西．
18．【解】（1）證明：∵，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如圖所示，連接，
∵，，，
∴，．
設，則．
在中，根據勾股定理得：．
在中，根據勾股定理得：，
∴，解得，
∴．
19．【解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（負值舍去），
所以，（米），
答：風箏的高度為米；
（2）解：由題意得，，
，
（米），
（米），
他應該往回收線米．
20【解】解：（1）①由題意得，一個直角三角形紙片的面積為，小正方形的邊長為；
②∵小正方形的邊長為，
∴小正方形的面積為；
∵小正方形的面積等于邊長為c的正方形面積減去4個直角三角形的面積，
∴小正方形的面積為，
∴，
∴，
∴；
（2）①由（1）可得，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
②∵的長比的長大2，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）如圖所示，過點A作于D，
設，則，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．

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