資源簡介

北京市第十八中學 2025-2026 學年新高一入學檢測
數學試卷
一、單選題（每題 2分，共 16 分）
1．如圖所示，點 P到直線 l的距離是（ ）
A．線段 PA的長度 B．線段 PB的長度
C．線段 PC的長度 D．線段 PD的長度
2．內角和為540 的多邊形是（ ）
A． B．
C． D．
3．實數 a,b,c,d在數軸上的對應點的位置如圖所示.則正確的結論是（ ）
A． a 4 B．bd 0 C． a d D．b c 0
4．關于 x的一元二次方程 2x2 3x k 0有實數根，則實數 k的取值范圍是（ ）
A 9
9 9 9
．k B． k C． k D． k
8 8 8 8
5．不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其它差別．從
中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到白色小球的
概率為（ ）
3 1 1A B C D 1． ． ． ．
4 2 3 4
6．目前，中國國產 GPU 的運算性能在國際上已經具備較強的競爭力.某型號國產 GPU的運
算能力高達 320TFlops，TFlops是衡量計算機性能的一個重要單位，1TFlops 1012 Flops.將
這種型號國產 GPU的運算能力表示為m Flops.則m的值為（ ）
A．3.2 1013 B．3.2 1014 C．3.2 1015 D． 3.2 1016
試卷第 1頁，共 8頁
7．如圖，在紙上畫有 AOB，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點 P在 AOB的平分
線上，則（ ）
A．d1與 d2一定相等
B． d1與 d2一定不相等
C． l1與 l2一定相等
D． l1與 l2一定不相等
1 k k
8．反比例函數 y 和 y x （ k為大于 1的定值）在第一象限的圖象如圖所示，點 P在 y x x
1 1
上.過點 P作 PA y軸于點A，與 y x交于點C：過點 P作 PB x軸于點 B，與
y
x交于
點D，連接OP、OC、OD、 AB和CD .四邊形 PCOD的面積記為 S1， OCD的面積記為 S2 .
下列結論不正確的是（ ）
AP
A． S1為定值 B． kAC
C． S2不為定值 D．AB//CD
二、填空題（每題 2分，共 16 分）
9．如果二次根式 4x 4有意義，那么 x的取值范圍是 .
10．分解因式 2m2n 2n .
試卷第 2頁，共 8頁
3 2
11．方程 0的解為 .
2x x 3
12．垃圾分類是指按照垃圾的不同成分、屬性、利用價值以及對環境的影響，并根據不同處
置方式的要求，分成屬性不同的若干種類.某市試點區域的垃圾收集情況如扇形統計圖所示，
已知可回收垃圾共收集 60噸，且全市人口約為試點區域人口的 10倍，那么估計全市可收集
的干垃圾總量為 噸.
1 1
13．說明命題“若 x 2，則 ”是假命題的一個例子，則實數 x的取值可以是 .
x 2
14．如圖，在正方形 ABCD中，點 E在 BC上，連接 AE交對角線 BD于點 F 若 AB 3，BE 1，
則 BF .
15．如圖，在矩形 ABCD中， BC = 2AB，O為 BC中點，OE AB 4，則扇形 EOF的面
積為 .
16．為了進行藝術宣傳，20名畫師合作完成 100幅戶外宣傳板的繪畫工作，每幅宣傳板上
的 4個繪畫內容和每個內容的繪畫時長如下表：
內容 一個花瓶 一張桌子 一位人物 一把椅子
時長/分 3 7 15 7
試卷第 3頁，共 8頁
20名畫師同時開始工作，每位畫師只負責一個內容的繪畫工作.每幅作品的同一個內容只能
由一名畫師完成，繪畫不同內容的畫師可以同時在一張戶外宣傳板上進行繪畫.（1）若 2名
畫師負責繪畫花瓶，則繪畫人物的畫師最多為 人；（2）在（1）的條件下，繪畫桌子
的畫師人數與繪畫椅子的畫師人數相同，完成這兩項內容的畫師總人數小于繪畫人物的畫師
人數.完成這 100幅戶外宣傳板的繪畫工作，最少需要 分鐘.
三、解答題（第 17-19 題每題 5 分，第 20-21 題每題 6 分，第 22-23 題每題 5 分，第 24 題
6 分，第 25 題 5 分，第 26 題 6 分，第 27-28 題每題 7 分，共 68 分。）
0
17．計算： 3 4sin 45 0 8 1 3
3 x 1 x 1

18．解不等式組： x 9 .
2x 2
2
19 x x 2 2 x 4x 4 x 2．已知 ，求代數式
x x2
的值.
20．如圖，V ABC中， ACB 90 ，點D為 AB邊中點，過D點作 AB的垂線交 BC于點 E，
在直線DE上截取DF，使 DF ED，連接 AE、AF、BF .
(1)求證：四邊形 AEBF 是菱形；
3
(2)若 cos EBF ,BF 5，連接CD，求CD的長.
5
21．某科技公司正在研發兩款神經形態計算機，一款是基于傳統半導體工藝的A型計算機，
另一款是基于新興材料的 B型計算機.在一次圖像識別測試任務中，A型計算機處理 1000張
圖像需要的時間比 B型計算機處理同樣數量的圖像多 5分鐘.已知兩款計算機處理圖像的速
度恒定， B型計算機處理圖像的速度是A型計算機的 8倍.現有 20000張圖像要緊急處理，
若使用 B型計算機，判斷能否在 15分鐘內處理完，并說明理由.
22．在平面直角坐標系 xOy中，函數 y kx b k 0 與 y x k的圖象交于點 2,0
(1)求 k，b的值；
(2)當 x 1時，對于 x的每一個值，函數 y nx n 0 的值大于函數 y kx b k 0 的值，且
小于函數 y x k的值，直接寫出 n的取值范圍.
23．某社區舉辦“家園好聲音”歌唱比賽，分為初賽和復賽兩個階段.
試卷第 4頁，共 8頁
(1)初賽由 12名專業評委和 50名群眾評委給每位選手打分（百分制）.對評委給某位選手的
打分進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.a.專業評委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98 ；b.群眾評委打分的頻數分布直方圖如下
（數據分 6組：第 1組82 x 85，第 2組85 x 88，第 3組 88 x 91，第 4組91 x 94，
第 5組94 x 97，第 6組97 x 100）：
c.評委打分的平均數、中位數、眾數如下：
平均 中位 眾
數 數 數
專業評
91 m n
委
群眾評
90.2 p 91
委
根據以上信息，回答下列問題：
①寫出表中m，n的值；
②比賽規定初賽專業評委打分的平均分達到 90分及以上的選手可直接獲得復賽資格，則該
選手________（能/不能）直接進入復賽；
③比賽同時依據群眾評委打“來評估選手的受歡迎等級.當有一半及以上的評委打分超過 95
評為一級：當沒有達到一級，且有一半及以上的評委打分超過 90評為二級：當沒有達到二
級，且有一半及以上的評委打分超過 85評為三級.那么該選手的受歡迎等級為_______（一
級/二級/三級）；
(2)復賽由 5位專家評委打分（百分制）.如果某選手得分的 5個數據的方差越小，則認為評
委對該選手的評價越一致.5名評委給甲選手打分為 92，91，93，92，91.前 4名評委給乙選
手打分為 92，91，92，92，乙選手的平均得分高于甲選手的平均得分，且 5名評委對乙選
試卷第 5頁，共 8頁
手的評價更一致，則第五名評委給乙選手的打分是_______（打分為整數）.
24．如圖， AB是 O的直徑，弦CD AB于點 E，點 F 在 B C上， AF 與CD交于點G，點
H 在DC的延長線上，且HG HF，延長HF交 AB的延長線于點M .
(1)求證：HF是 O的切線；
(2)若 sinM
4
，BM 1，求 AF 的長.
5
25．如圖 1，利用噴水頭噴出的水對小區草坪進行噴灌作業是養護草坪的一種方法.如圖 2，
點O處有一個噴水頭，距離噴水頭8m的M 處有一棵高度是 2.3m的樹，距離這棵樹10m的 N
處有一面高 2.2m的圍墻.建立如圖所示的平面直角坐標系.已知某次澆灌時，噴水頭噴出的水
2
柱的豎直高度 y（單位：m）與水平距離 x（單位：m）近似滿足函數關系 y ax bx c a<0 .
(1)某次噴水澆灌時，測得 x與 y的幾組數據如下：
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
①根據上述數據.求這些數據滿足的函數關系；
②判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹，并請說明理由.
(2)某次噴水澆灌時，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度 y與水平距離 x近似滿足函數關系
y 0.04x2 bx .假設噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會澆到墻外，下面有四個關
于b的不等式：A． 0.04 82 8b 2.3 ；B． 0.04 182 18b 2.2 ；C． 0.04 182 18b 2.2；
b
D． 13 .其中正確的不等式是___________.（填上所有正確的選項）
2 0.04
26 2．在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線 y ax bx a 2 a 0 過點 1,4a 2
試卷第 6頁，共 8頁
(1)直接寫出該拋物線的頂點坐標；
(2)過拋物線與 y軸的交點作 y軸的垂線 l，將拋物線在 y軸右側的部分沿直線 l翻折，其余
部分保持不變，得到圖形G,M 1 a, y1 ,N 1 a, y2 是圖形G上的點，設 t y1 y2 .
①當 a 1時，直接寫出 t的值；
②若6 t 9，求 a的取值范圍.
27．已知正方形 ABCD ，將線段 BA繞點 B旋轉 0 90 ，得到線段 BE，連接 EA，EC .
(1)如圖 1，當點 E在正方形 ABCD的內部時，若 BE平分 ABC，AB 4，則 AEC ______ ，
四邊形 ABCE的面積為_______；
(2)當點 E在正方形 ABCD的外部時，
①在圖 2中依題意補全圖形，并求 AEC的度數；
②作 EBC的平分線 BF交 EC于點G，交 EA的延長線于點 F ，連接CF .用等式表示線段
AE，FB，FC之間的數量關系，并證明.
28．對于平面內的 C和 C外一點Q，給出如下定義：若過點Q的直線與 C存在公共點，
AQ BQ
記為點A， B，設 k CQ ，則稱點
A（或點 B）是 C的“ k相關依附點”.特別地，當
2AQ 2BQ
點A和點 B重合時，規定 AQ BQ， k （或 xOyCQ CQ ）.已知在平面直角坐標系 中，
Q 1,0 ，C 1,0 ， C的半徑為 r .
試卷第 7頁，共 8頁
（1）如圖 1，當 r 2時，
①若 A1 0,1 是 C的“ k相關依附點”，則 k的值為______；
② A2 1 2,0 是否為 C的“2相關依附點”？答：是______（選“是”或“否”）；
（2）若 C上存在“ k相關依附點”點M ，
①當 r 1，直線QM 與 C相切時，求 k的值；
②當 k 3時，求 r的取值范圍；
（3）若存在 r的值使得直線 y 3x b與 C有公共點，且公共點是 C的“ 3相關依附
點”，直接寫出b的取值范圍.
試卷第 8頁，共 8頁
參考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．A
8．C
9． x 1
10． 2n m 1 m 1
11．9
12．1500
13． 1（答案不唯一）
14 3 2
3
． / 2
4 4
15． 4π
16．16，175 .
0
17 0． 3 4sin45 8 1 3
1 2 4 2 2 3 12
3.
3 x 1 x 1
2x 4 x 2
18． x 9 ，即 ，即 ，解得 2 x 3 .
2x2
9 3x x 3

所以不等式的解集為 2,3 .
2 2
19 x 4x 4 x 2 x 2 x
2
． 2 x x 2 2 .x x x x 2
20．（1）∵點D為 AB邊中點，∴ AD BD，
∵DF ED，∴四邊形 AEBF 是平行四邊形，
∵ EF AB，∴四邊形 AEBF是菱形.
答案第 1頁，共 9頁
（2）如圖，
連接CD，過點 F 作FG BC于點G，得矩形 AFGC，
cos EBF BG 3∵ ,BF 5，∴ BG 3，∴
BF 5 FG AC 5
2 32 4，
∵四邊形 AEBF 是菱形，∴CG AF BF 5，∴ BC CG BG 5 3 8，
∴ AB AC2 BC2 42 82 4 5，
1
∵ ACB 90 ，點D為 AB邊中點，∴CD AB 2 5，故CD的長為 2 5 .
2
21．使用 B型計算機，能在 15分鐘內處理完，理由如下：
設 A型計算機處理圖像的速度是 x張/分鐘，則 B型計算機處理圖像的速度是8x張/分鐘，
因為 A型計算機 1000張圖像需要的時間比 B型計算機處理同樣數量的圖像多 5分鐘，
1000 1000
所以 5，即8000 1000 40x，解得 x 175，經檢驗 x 175是原方程的解，
x 8x
8x 1400 20000 100則 ，因為 15，所以使用 B型計算機，能在 15分鐘內處理完 20000
1400 7
張圖像.
22．（1）因為 y x k的圖象過點 2,0 ，所以0 2 k，解得 k 2，
將 2,0 代入 y kx b得 2 2 b 0，解得b 4．
（2） x 1時， y x 2 1，把 1,1 代入 y nx求得 n 1，
又 x 1時， y 2 1 4 2，把 1, 2 代入 y nx求得 n 2，
又當 x 1時，對于 x的每一個值，函數 y nx n 0 的值大于函數 y kx b k 0 的值，
且小于函數 y x k的值，畫圖
答案第 2頁，共 9頁
由圖可知， 1 n 1且 n 0，故 n的取值范圍為 1 n 1且 n 0 .
23．（1）①由題目中的數據已經按照從小到大的順序排列好，共12的個數，
90 91
所以中位數為第6,7位的平均數，所以中位數m 90.5；
2
由題意專業評委打分中 90出現的次數最多，所以眾數 n 90；
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
②專業評委打分的平均分為 91，
12
因為91 90，所以該選手能直接進入復賽；
③總的群眾評委數為 50人，一級：超過 95分，需第 6組（97 x 100），
13
因為第 5,6組的頻數和為 13，占比 50%，不滿足；二級：超過 90分，需第 4、5、6組，
50
31
因為第 4、5、6組頻數為18 10 3 31，占比 50 00，滿足；所以等級為二級.50
x 1（2）甲選手的平均分為： 甲 92 91 93 92 91 91.8，甲選手的方差為：5
s2 1甲 92 91.8
2
91 91.8 2 93 91.8 2 92 91.8 2 91 91.8 2 0.56，5
設乙選手第五名得分為 x，且乙選手平均分更高，則92 91 92 92 x 91.8 5，
解得 x 92，所以 x 93，當 x 93時，
1
乙選手的平均分為： x乙 92 91 92 92 93 92，乙選手的方差為：5
s2 1 2乙 92 92 91 92
2
92 92 2 92 92 2 93 92 2 0.4 0.56，5
當 x 94及以上時方差增大，由 5名評委對乙選手的評價更一致，故 x 93，
即第五名評委給乙選手的打分是93 .
24．（1）連接OF，
∵CD AB，∴ AEG 90 ，∴ A AGE 90 ，∵HG HF，∴ HFG HGF ，
∵ HGF AGE，∴ HFG AGE，∵OA OF，∴ A OFA，
∴ OFA HFG 90 ，即 OFH 90 ，∴HF是 O的切線．
（2）連接 BF，
答案第 3頁，共 9頁
由（1）得， OFM 90 ，∴ BFO BFM 90 ，∵ AB是 O的直徑，
∴ AFB 90 ，∴ A ABF 90 ，∵OB OF，∴ ABF BFO，
BF FM 4
∴ BFM A，∵ M M ，∴△BFM∽△FAM ，∴ ，∵ sinM ，
AF AM 5
OF 4
∴ ，∵
OM 5 BM 1
OF 4
，OB OF，∴ ，∴OF 4，OB 1 5
BF FM 1
∴OM 5, AM 9, AB 8，∴FN OM 2 OF 2 3，∴ ，AF AM 3
1 2
∴ BF AF ，∵ AF 2
1 12 10
BF 2 AB2 ，∴ AF 2 AF

8
2 ，解得 AF .
3 3 5
25．（1）①根據拋物線過原點，則拋物線解析式為 y ax2 bx a<0 ，
4a 2b 0.88
把 x 2, y 0.88和 x 6, y 2.16代入 y ax2 bx得 36a ， 6b 2.16
a 0.02
解得 ，所以拋物線解析式為 y 0.02x 2 0.48x ；
b 0.48
②當 x 8時， y 0.02 82 0.48 8 2.56，
因為 2.56 2.3，所以噴水頭噴出的水柱能越過這棵樹；
（2）因為噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，
所以當 x 8時 y 2.3，即 0.04 82 b 8 2.3，故 A正確；
又噴水頭噴出的水柱不會澆到墻外，所以當 x 18時 y 2.2，
即 0.04 182 18b 2.2，故 B錯誤，C正確；
y b b拋物線 0.04x2 bx的對稱軸為 x 2 0.04 2 0.04，
由題意，噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會澆到墻外，
b 18 b 243
所以 9，又由 A可知 0.04 82 b 8 2.3，所以 ，
2 0.04 2 2 0.04 32
故 D不正確；所以正確的不等式是 A、C.
答案第 4頁，共 9頁
26 2．（1）把 1,4a 2 代入 y ax bx a 2 a 0 ，
得： a b a 2 4a 2，化簡得：b 2a，
y ax 2 2ax a 2 a x 1 2 2 ，
所以該拋物線的頂點坐標為 1,2 .
（2）①當 a 1時， y x2 2x 3 x 1 2 2，與 y軸交點為 0,3 ，故 l : y 3，
又M 2,y1 ,N 0, y2 ，
原拋物線中， x 2時， y 2 1 2 2 3； x 0時， y 0 1 2 2 3；
M ,N 恰在 l上，
t y1 y2 6 .
② y a x 1 2 2，與 y軸交點 0，a 2 ，直線 l : y = a + 2
（I）當 1 a 0，即 a 1時，
y a 1 a 2 21 1 2 a 3 2 ， y2 a 1 a 1 2 a3 2，
t y 31 y2 2a 4，
6 t 9，
6 2a3 4 9，解得：1 5 a 3 （與 a 1不符），
2
此時，無解；
（II）當 1 a 0，即 a 1 y a 2時， 1 1 a 1 2 a 3 2 ，
y2是翻折后的函數值，翻折后 y 2(a 2) a(x 1)
2 2 ，
y2 2(a 2) a( 1 a 1)
2 2 a
3 2a 2 ，
t y1 y2 2a 4，
6 t 9， 6 2a 4 9 5，解得：1≤ a≤ （與 a 12 相符）
5
此時，1≤ a≤ 2 ；
5
綜上所述， a的取值范圍是 1, . 2
27．（1）因為四邊形 ABCD是正方形， BE平分 ABC，AB 4，
答案第 5頁，共 9頁
所以 BA BE BC 4， ABE CBE
1
ABC 45 ，
2
1
于是有 AEB CEB 180 ABE 67.5 ，即2 AEC 2 67.5
135 .
顯然 ABE ≌△CBE，過 E作 EM BC，垂足為M ，
sin CBE EM EM 2 4 2 2，
BE 2
因此四邊形 ABCE
1
的面積為 2 4 2 2 8 2 ；
2
（2）①當點 E在正方形 ABCD的外部時， ABE ，
因為四邊形 ABCD是正方形，所以 BA BE BC ，
于是有 AEB BAE
1
180 ABE 90 1 ，2 2
BEC 1 ECB 180 CBE 1 180 90 45 1 ，2 2 2
AEC AEB CEB 90 1 45 1因此
45 ；
2 2
② BF 2CF 2 AE，證明如下：
2
過 B作EH AE，垂足為 H ，即 BHE 90 ，
1
而 BA BE，所以 AH HE AE，
2
因為 BE BC， EBC的平分線 BF交 EC于點G，交 EA的延長線于點 F ，
所以 BG CE, FBE FBC， EGF 90 ，
又因為 BF BF，所以 FBE≌ FBC，于是有 EF CF，
由①， AEC 45 ，故 EFG FEG 45 ，而 BHF 90 ，
所以 EFG HBF 45 ，即 FBH 是等腰直角三角形，
1
因此有 BF 2HF 2 EF EH 2 CF AE ，
2
2
即 BF 2CF AE.
2
答案第 6頁，共 9頁
28．解：（1）①如圖 1中，連接CA1、QA1
由題意：OC OQ OA1 1，
QA1C是直角三角形，即 A1C QA1 ，
QA1是 C的切線，
k 2A1Q 2 2 2 ；
CQ 2
② A2 1 2,0 在 C上，
k 2 2 1 2 1 2
2
A2 1 2,0 是 C的“2相關依附點”，
故答案為：（1）① 2；②是；
（2）①如圖 2，當 r 1時，不妨設直線QM 與 C相切的切點M 在 x軸上方（切點M 在 x軸
下方時同理），連接CM，則QM CM .
答案第 7頁，共 9頁
∵Q 1,0 ，C 1,0 ， r 1，
∴CQ 2，CM 1 .
∴MQ 3 .
k 2MQ 2 3此時 3；
CQ 2
②如圖 3中，
若直線QM 與 C不相切，
設直線QM 與 C的另一個交點為 N（不妨設QN QM ，點 N，M 在 x軸下方時同理）.
作CD QM 于點D，則MD ND .
∴MQ NQ MN NQ NQ 2ND 2NQ 2DQ .
MQ NQ 2DQ
∵CQ 2，∴ k DQCQ CQ .
∴當 k 3時，DQ 3 .
此時CD CQ2 DQ2 1 .
又∵點Q在 C外，則 r < 2
∴ r的取值范圍是1 r 2 .
（3）如圖 4中
答案第 8頁，共 9頁
3 3
由（2）可知， C的“ 3相關依附點”， 在直線 QM： y 3x 或 y 3x 上，且
3 3
r的取值范圍是 1≤r＜2，
當 r＝2 3時，易知直線 y 3x 與 C（大圓）的交點 E 2, 3 ，
3
r 1 y 3x 3
1
當 ＝ 時，易知直線 與 C（小圓）的交點 F ,
3
，
3 2 2


當直線 y 3x b與線段 QE，線段 QF有交點時（線段端點除外），滿足條件．
當直線 y 3x b經過點 E 2, 3 時，可得b 3 3，
當直線 y 3x b經過點Q 1,0 時，可得b 3，
觀察圖像可知滿足條件的b的取值范圍 3 b 3 3 .
答案第 9頁，共 9頁

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