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北京市順義區2024-2025學年高一下學期期末質量監測
數學試卷
一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）
1．在平面直角坐標系中，，，則向量（ ）
A． B． C． D．
2．在復平面內，與復數對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在中，，，，則（ ）
A．4 B．3 C． D．2
4．已知為第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
5．在直角中，斜邊，直角邊.若以該直角三角形的一條直角邊AB所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體.則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．設m，n為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
7．一艘海輪從港口A出發，沿著正東方向航行50n mile后到達海島B，然后從海島B出發，沿著北偏東30°方向航行70n mile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發到達C，那么這艘海輪需要航行的距離大約是（ ）
A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile
8．將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞增
C．在區間上單調遞減 D．在區間上單調遞增
9．設，為兩個非零向量，則“”是“存在實數，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．如圖，在棱長為a的正方體中，E是棱上的一個動點，給出下列三個結論：

①存在點E使得平面平面；
②的面積為定值；
③的最小值為.
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分.）
11．已知復數，則z的共軛復數 .
12．已知，則 .
13．在中，點P，Q滿足，.若，則 .
14．已知函數（，）部分圖象如圖所示.其中A，B是直線與曲線相鄰的兩個交點.若，則 ， .
15．如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形，矩形ABCD的面積S的最大值為 .
三、解答題（本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
16．已知向量，，，且向量與共線.
(1)證明：；
(2)求向量與的夾角；
(3)若，求實數m的值.
17．在中，，A為銳角，.
(1)求A.
(2)再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積.
條件①：；條件②：AB邊上的高為；條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分
18．如圖在四棱柱中，四邊形ABCD為梯形，，，E為中點.
(1)求證：平面；
(2)若平面，，且，
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）寫出二面角的正切值.（結論不要求證明）
19．已知函數（），且函數圖象的一個對稱中心為.
(1)求的值；
(2)求的單調遞增區間；
(3)若在區間上的值域是，求m的取值范圍.
20．如圖，在幾何體中，側面是正方形，，，，，且與平面所成角為.
(1)求證：平面平面；
(2)求四棱錐的體積；
(3)若平面與棱交于點，求四邊形的面積.
21．對于一個所有元素均為整數的非空集合A，和一個給定的正整數k，定義集合.
(1)若，直接寫出集合和；
(2)若，其中，，直接寫出使得集合中元素個數最少的一個k（用n表示）；
(3)若，p和k都是正整數，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并說明理由.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．A
2．D
3．D
4．B
5．A
6．B
7．C
8．A
9．B
10．C
11．
12．
13．
14．2； .
15．
16．（1）由向量與共線，得，得，
得，，
則，
故．
（2），
設向量與的夾角為，
則，
由，得，
故向量與的夾角為：．
（3），
由得，，
解得．
17．（1）由，得，得，
由正弦定理得，，
得，得，
因為A為銳角，所以
（2）若選條件①：，由正弦定理得，，得，
得，則角不存在，則不存在，所以條件①不符合要求，
故不選擇條件①；
若選條件②：AB邊上的高為，如圖：
當角為鈍角時，由，
得，而，
則不合題意，
故當角為銳角時，得，，，
得，
則的面積為：.
若選條件③：，由，得，得，
由余弦定理得，，
得，
得，得，
則的面積為：.
18．（1）
如圖，取的中點，連接，
因E為的中點，故，
又，，則，
故得，則，
因平面，平面，
故平面.
（2）（ⅰ）因平面，平面，則，
因，且平面，則平面，
因平面，故.
（ⅱ）如圖，在平面內，過點作于點，連接，
因平面，平面，則，
又平面，則平面，
因平面，則，故即二面角的平面角.
設，則，，
在中，由面積相等，，可得，
在中，，
即二面角的正切值為.
19．（1）
，
因函數圖象的一個對稱中心為，則，
則，即，
因，則當時，.
（2）由（1）可知，，
令，得，
故的單調遞增區間為；
（3），則，
因，結合函數圖象可知，
欲使在區間上的值域是，
則，即，
故的取值范圍為.
20．（1）由側面是正方形有，又,
又平面，所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）有平面，又，所以平面，
所以為與平面所成角，即，
又，所以，即，
所以梯形的面積為，
所以四棱錐的體積為；
（3）由側面是正方形，得，平面，平面，
所以平面，又，平面，平面，
所以平面，又，平面，所以平面平面，
連接，平面平面，平面平面，則，
由，所以，
又，，所以，，
由，，所以，
過點作交于，
由有，又，，，即，
所以，所以四邊形為等腰梯形，
如圖作，所以，
，所以，
所以等腰梯形的面積為：.
21．（1）由題意，集合，且，
當時，可得；
當時，可得.
（2）由題意，集合，
對于，其中，
當時，此時中的元素個數最少，
若時，中的元素個數最少；
（3）若時，可得，要使得且，
則，即.
若時，此時，顯然中有很多自然數空缺，所以不成立.
綜上可得： ，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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