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第13章《三角形》章節測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．如圖，鈍角三角形的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如圖，小深在池塘一側選取了點，測得，，那么池塘兩岸，間的距離可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
3．如圖，等腰的周長為30，且，中線將這個三角形的周長分為兩部分，兩部分的差為6，則的長（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
4．如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，，，平分，點P為線段AD上一點，過點P作交的延長線于點E，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，D、E分別是邊上的點，，，設的面積為，的面積為，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．4
7．如圖，在長方形網格中，每個小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點在網格格點上，若點C也在網格格點上，以A、B、C為頂點的三角形面積為1，則滿足條件的點C個數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．現有長為的鐵絲，要截成小段（），每段的長度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則的最大值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如圖，在正方形中，點為邊的中點，將沿折疊，使點落在正方形的內部一點處，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，，平分，，下列結論：
①；②；③；④；⑤若，則，
其中正確結論的個數是（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．將一個三角板和圓規按如圖方式擺放在同一水平桌面上，圓規的兩腳恰好接觸三角板的一組鄰直角邊．已知，，則 度．
12．如圖，是的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，連接，．若的面積是，則陰影部分的面積是 ．
13．已知中的中線將的周長分為10和15兩部分，且，則 ．
14．在中，點D，E分別在上，，的平分線交于點F，的平分線交于點G，若，則的長是 ．
15．如圖，現有一張三角形紙片，點D，E分別是邊上的一點，將該紙片沿折疊，使得點A落在四邊形的外部點的位置，且點與點C在直線的異側．若，，且，則的度數為 ．
16．如圖，將一塊直角三角板放置在銳角上，使得該三角板的兩條直角邊，恰好分別經過點，．若時，點在內，則的值是 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）已知三角形的三邊長分別為3，8，．
(1)求的取值范圍；
(2)若為偶數，則組成的三角形的周長最小是多少？
18．（6分）如圖，是的高線，E為邊上的一點，連接交于點F，，．
(1)求的度數；
(2)若平分，求的度數．
19．（8分）把三角形紙片沿折疊．
(1)如圖1，點落在四邊形內部點A處時，與之間有一種數量關系始終保持不變，寫出這種關系并證明；
(2)如圖2，點落在四邊形外部點A處時，直接寫出與之間的數量關系．
20．（8分）如圖，為的中線，為的中線．
(1)已知，的周長為，求的周長；
(2)在中作邊上的高；
(3)若的面積為40，，則點到邊的距離為多少？
21．（10分）如圖，四邊形中，，平分，，交于點．

(1)如圖1，若，
①求證：；
②作平分，如圖2，求證：．
(2)如圖3，作平分，在銳角內部作射線，交于，若的大小為，試說明：平分．
22．（10分）如圖，等邊三角形紙片中，點在邊（不包含端點，）上運動，連接，將對折，點落在直線上的點處，得到折痕；將對折，點落在直線上的點處，得到折痕．

(1)若，求的度數；
(2)試問：的大小是否會隨著點的運動而變化？若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．
23．（12分）問題情境：綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：如圖①，直線 ，直線分別交于點的平分線交于點．試判斷和的數量關系，并說明理由．
(1)數學思考：請你解答上邊的問題；
(2)深入探究：有點是射線上不與、重合的一點，過點作交于點，連接．
①當點在點右側時（如圖②），為探究與之間的數量關系，小飛過點作，請根據他的思路，寫出與之間的數量關系，并說明理由；
②當時，的平分線交于點所在直線與直線交于點，若，試求的度數．
24．（12分）古希臘七賢之一，著名哲學家泰勒斯（Thales，公元前6世紀）最早從拼圖實踐中發現了“三角形內角和等于”，但這種發現完全是經驗性的，泰勒斯并沒有給出嚴格的證明．之后歐幾里得利用輔助平行線和延長線，通過一組同位角和內錯角證明了該定理．請同學們幫助歐幾里得將證明過程補充完整．
(1)已知：如圖1，在中，求證：
證明：延長線段至點，并過點作．
∵（已作），
∴ （兩直線平行，內錯角相等）
（兩直線平行，同位角相等）
∵（平角的定義），
∴（等量代換）．
同時發現，外角 ．
于是得到性質：三角形的一個外角等于和 的兩個內角的和．
【實踐運用】
(2)如圖2，線段、相交于點，連接、，試證明：．
【拓展提升】
(3)如圖3，、分別平分、，若，則的度數為 ．
(4)如圖4，是一個不規則的五角星，則圖中五個角的度數和為 ．
參考答案
一．選擇題
1．D
【分析】本題主要考查了三角形的分類、鈍角三角形的定義等知識點，確定各個鈍角三角形成為解題的關鍵．
先列舉出所有鈍角三角形，然后再統計即可解答．
【詳解】解：如圖：鈍角三角形有：、、、、，共5個．
故選D．
2．C
【分析】本題考查了三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊的知識，掌握以上知識是解答本題的關鍵；
本題根據三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊的知識，進行作答，即可求解；
【詳解】解：根據三角形的三邊關系可得：，
即，
逐一核對選項，只有選項C符合，
故選：C
3．C
【分析】本題考查了三角形中線的性質及三角形三邊關系，設，，由是邊上的中線，得到，分兩種情況：當的周長比的周長大6時，當的周長比的周長大6時，建立二元一次方程組求解，再利用三角形三邊關系檢驗即可求解，掌握三角形三邊關系，利用分類討論的思想解決問題是解題的關鍵．
【詳解】解：設，，是邊上的中線，
，
分兩種情況：
當的周長比的周長大6時，
，
解得：，
的三邊長分別為12，12，6，
，
能組成三角形；
當的周長比的周長大6時，
即，
解得：，
的三邊長分別為8，8，14；
，
能組成三角形；
綜上所述：的長為6或14．
故選：C．
4．A
【分析】此題考查了翻折的性質，三角形內角和定理，一元一次方程，設，由翻折得，根據三角形內角和得到，求出的值，再利用三角形內角和求出的度數．
【詳解】解：設,
由翻折的性質可得,, ,
∴,
∵,
，
在中,,
在中，，
，
∴,
∴,
故選: A．
5．B
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，解答的關鍵是結合圖形分析清楚角與角之間的關系．
先根據三角形的內角和定理求得的度數，再根據角平分線的定義求得的度數，從而根據三角形外角的性質即可求出度數，進一步求得的度數．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
6．D
【分析】本題主要考查了三角形的面積、三角形的中線等知識點，能靈活運用三角形的中線以及等分線求面積成為解題的關鍵．
由、、可以求出的面積和的面積，再結合圖形可得即可解答．
【詳解】解：∵，
，
∵，
，
∵，
∴，，
，
．
故選：D．
7．B
【分析】據三角形ABC的面積為1，可知三角形的底邊長為2，高為1，或者底邊為1，高為2，可通過在正方形網格中畫圖得出結果．
【詳解】解：C點所有的情況如圖所示：
由圖可得共有6個，
故選：B．
8．B
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，即三角形的兩邊之和大于第三邊，理解題意、列出每段鐵絲的長度是解題關鍵．
根據三角形的三邊關系，設最小的長度為，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段長度是，，，，，，，，，，，依此類推，總和不大于即可求解．
【詳解】解： 段之和為，
若要盡可能的大，則每段的長度盡可能的小，
每段的長度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
這些小段的長度只可能分別是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的長度分別為，，，，，，，，，，
的最大值為．
故選：B．
9．D
【分析】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，解題關鍵是利用折疊的性質求解．
根據正方形的性質和折疊的性質可得，，由此得，．設，，由三角形內角和定理可得，又由，即可求出的度數．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
，，
∵E為邊的中點，
，
∵沿折疊后得到，
，，，
，，
，．
設，，
，
，
∵中，，
∴，
又∵，
，
，
，
故選：D．
10．C
【分析】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解題的關鍵是注意：兩直線平行，內錯角相等．由，可得，根據，可得，再根據平行線的性質以及角的和差關系進行計算，即可得出正確結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正確；
∵與不一定相等，
∴不一定成立，故③錯誤；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正確；
∵
，
∴為定值，故⑤正確．
綜上所述，正確的選項①②④⑤共4個，
故選：C．
二．填空題
11．43
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理的應用，連接，由三角形內角和定理可得出，根據角的和差關系即可得出，最后根據三角形內角和定理即可求出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意可知，，
在中，，
∴，
又 ，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案為：43．
12．
【分析】此題考查了三角形中線的性質，利用中線等分三角形的面積進行求解即可，解題的關鍵是熟練掌握三角形中線的性質及其應用．
【詳解】解：∵是的邊上的中線，
∴，
∵是的邊上的中線，即有是的邊上的中線，
∴，，
∴，
∵是的邊上的中線，即有是的邊上的中線，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積是，
故答案為：．
13．11或4
【分析】本題考查三角形的中線，根據中線的定義，得到，分兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：∵為的中線，
∴，
∵，
∴，
將的周長分為10和15兩部分，分2種情況：
①，
則：，
∴，
∴，
∴；
②，
則：，
∴，
∴，
∴；
故答案為：11或4．
14．4或6
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線，等角對等邊．分情況求解是解題的關鍵．
由題意知，分在左側，在右側兩種情況求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，分在左側，在右側兩種情況求解；
當在左側時，如圖1，
∵，是的平分線，是的平分線，
∴，，
∴，
∴；
當在右側時，如圖2，
同理，，
∴；
綜上所述，的長為4或6，
故答案為：4或6
15．
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，折疊的性質，三角形外角的性質．連接，根據三角形內角和定理可得的度數，再由折疊的性質可得，從而得到，，然后根據三角形外角的性質可得，再由平行線的性質可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，，
∴
由折疊的性質得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
16．
【分析】本題考查三角形外角的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線．
根據三角形外角的性質，結合角的和差運算，即可得的值．
【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，則，，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案為： ．
三．解答題
17．（1）解：由題意可得，
即
則的取值范圍為；
（2）由（1）得
為偶數
為6，8，10
要組成三角形的周長最小，
只能為6，
三角形的周長最小為，
則三角形的周長最小為17
18．（1）解：是的高線，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
．
19．（1）解：．
證明：∵三角形紙片沿折疊得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形紙片沿折疊得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
20．（1）解： 為的中線，
，
，
，
的周長，
，
的周長；
（2）解：如圖，即為中邊上的高，
（3）解：設點到邊的距離為
為的中線， 為的中線，
，
，
，
，
點到邊的距離為．
21．（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延長，交于點，如圖所示：

∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
22．（1）解：∵將對折，得到折痕，
∴，
∵將對折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不變．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不隨點的運動而變化．
23．（1）解：．
理由：因為，
所以.
因為平分，
所以，
所以；
（2）①解：．
理由：因為，
所以，
所以，
所以．
②解：當點在點右側時因為，
所以，，
所以.
因為平分，
所以.
因為，
所以；
當點在點和A之間時，
因為，
所以，
所以.
因為平分，
所以，
因為，
所以．
24．（1）證明：延長線段至點，并過點作．
∵（已作），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
（兩直線平行，同位角相等）
∵（平角的定義），
∴（等量代換）．
同時發現，外角．
于是得到性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
故答案為：；；；它不相鄰．
（2）證明：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
（3）解：設與交點為點E，如圖，
∵，
由（2）中的結論可知，
在和中，，
在和中，，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
，
兩式相減可得，，
∴解得．
故答案為：．
（4）解：設與相交于點O，連接，如圖，
由（2）中結論可知，在和中，，
在中，，
即，
∴圖中五個角的度數和為．
故答案為：．

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