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第14章《全等三角形》章節測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．如圖，在中，，根據尺規作圖的痕跡作射線交邊于點G，若，，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
2．如圖，已知點在上，點在上，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．已知媽媽與爸爸到的水平距離，分別為1.3和1.8，，爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8
4．題目：“在和中，，已知，求的度數．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
5．對于題目“如圖，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在射線上以的速度運動，它們運動的時間為（當點運動結束時，點運動也隨之結束）．在射線上取一點，在點M，N運動到某處時，存在與全等，求此時的值．”甲的結果是，乙的結果是1，丙的結果是，則下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙兩人的結果合起來才對
B．乙、丙兩人的結果合起來才對
C．甲、丙兩人的結果合起來才對
D．甲、乙、丙三人的結果合起來才對
6．如圖，中，點為的中點．點是下方一點，連接，．平分， ，若，，則的長為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
7．在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，正方形的邊長為1，、上各有一點P、Q，如果的周長為2，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
9．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為 邊上一動點，當的值最小時，的度數是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
10．在正方形中，直線經過對角線，的交點，過，兩點分別作直線的垂線，交直線于點，．若，，則長為（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．如圖，在中，、兩點分別在、邊上，且，現增加一個條件，使得一定成立，則該條件可以是下列中的 ．
①；②；③；④．
12．已知和，，，，已知，則 ．
13．如圖，已知，垂足分別為D、E，、交于點O，且，則圖中的全等三角形共有 對．

14．如圖，為銳角，，點在射線上（點與點不重合），點到射線的距離為，若取某一確定值時，的形狀、大小是唯一確定的，則的取值范圍是 ．

15．如圖，在的正方形網格中，點，，均在格點上，則 度．
16．如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點，，則 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）如圖，四邊形中，，平分，于點F，的延長線于點E．
(1)求證：．
(2)若，求的長．
18．（6分）如圖，在中，點D在上，點E在上，且．
(1)請你再添加一個條件，使得，并說明理由，你添加的條件是______；依據是______．
(2)根據你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形，并說明理由．
19．（8分）如圖，在四邊形中，，過點作于點，，在上截取，連接，平分交的延長線于點，連接．
【問題解決】（1）證明：；
【問題探究】（2）探索線段之間的數量關系并說明理由．
20．（8分）將兩塊全等的含角的直角三角板按圖1的方式放置，已知，．
(1)固定三角板，然后將三角板繞點C順時針方向旋轉至圖2的位置，與分別交于點D、E，與交于點F．
①填空：當旋轉角等于時， ___________度；
②當旋轉角等于多少度時，與垂直？請說明理由．
(2)將圖2中的三角板繞點C順時針方向旋轉至圖3的位置，使，與交于點D，試說明．
21．（10分）【新知】在中，若，則，即是等腰三角形．
【解決問題】如圖，已知正方形中點E為邊上異于點A、B的一動點，，交于點，連接．點為延長線上一定點，滿足．的延長線與交于點，連接．（備注：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）
(1)判斷的形狀；
(2)試說明：；
(3)探究是否為定值？如果是定值，請說明理由，并求出該定值；如果不是定值，請說明理由．
22．（10分）圖1是一個平分角的儀器，其中．
(1)如圖2，將儀器放置在上，使點與點重合，、分別在邊、上，沿畫射線交于．則是的平分線，說明理由．
(2)如圖3，在（1）的條件下，過點作于，若，，則_______．
23．（12分）問題提出：
（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”．如圖1，中，，，，P為上一點，思考當點P在什么位置時，與是偏等積三角形？并說明理由．
問題探究：
（2）如圖2，與是偏等積三角形，，且線段的長度為正整數，過點C作交的延長線于點E，求的長；
問題解決：
（3）如圖3，四邊形是一片綠色花園，是等腰直角三角 請問與是偏等積三角形嗎？說明理由．
24．（12分）【模型解讀】
角平分線在數學中都占據著重要的地位，需要掌握其各類模型及相應的輔助線作法．
【模型證明】
常見模型1
條件：如圖，為的角平分線，，垂足為點A，，垂足為點B．
結論：，．
常見模型2
條件：如圖，在中，，為的角平分線，過點，垂足為點E．
結論：，且（當是等腰直角三角形時，有）．
常見模型3
條件：如圖，是的角平分線，．
結論：．
根據模型3的條件，請證明上述結論．
【模型運用】
如圖，，分別為和的平分線，，則，，的數量關系是 ．
【解決問題】
如圖，是一個四邊形人工湖，，米，米，甲、乙兩人同時從點C出發，甲沿方向以2米/秒的速度前進，乙沿方向以1米/秒的速度前進，30秒后，甲、乙分別到達E，F處，此時測得，，此時甲、乙兩人的距離為 米．
參考答案
一．選擇題
1．A
【分析】此題考查了尺規作角平分線，角平分線的性質．熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵；
首先根據角平分線的性質得到，然后三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：由作圖痕跡得平分，
過G點作于H點，如圖，
∴，
∵，
∴的面積．
故選：A．
2．A
【分析】設，，由三角形內角和定理得到，由全等三角形的性質得，，得，由等邊對等角推出，求出，由鄰補角的性質得到，求出，由三角形的外角性質得．
【詳解】解：∵，
設，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度數為．
故選：．
3．C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，由可判定，由全等三角形的性質得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：
，，，
，
，，
，
，
在和中
，
，
，，
，
；
故選：C．
4．C
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，正確分三種情況討論是解題關鍵．分三種情況：①當和都是銳角時，②當和都是鈍角時，③當和中，有一個是銳角、一個是鈍角時；不妨設是銳角，是鈍角；過點作于點，過點作于點，證出，，根據全等三角形的性質即可得．
【詳解】解：①如圖，當和都是銳角時，
過點作于點，過點作于點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如圖，當和都是鈍角時，
過點作，交延長線于點，過點作，交延長線于點，
同理可證：，
∴，
即；
③如圖，當和中，有一個是銳角、一個是鈍角時；
不妨設是銳角，是鈍角，
過點作于點，過點作，交延長線于點，
同理可證：，
∴，
∵，
∴；
綜上，或，
所以正確的是甲、丙答案合在一起才完整，
故選：C．
5．B
【分析】本題主要考查全等三角形的性質，一元一次方程的運用，掌握全等三角形的性質正確列式是關鍵．
根據題意得到，，則，結合全等三角形的性質分類討論，并列式求解即可．
【詳解】解：點在線段上以的速度由點向點運動，
∴點從的時間為，
∵它們運動的時間為，
∴，，則，
當時，
∴，
∴，
解得，；
當時，
∴，
∴，
解得，．
綜上所述，乙、丙兩人的結果合起來才對．
故選：B．
6．B
【分析】連接并延長交于點F，在的延長線上取一點H，使，連接，證明，得，再證明得，進而得，由此即可得出的長．
此題主要考查了全等三角形的判定和性質，理解角平分線的定義，線段中點的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵，正確地添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．
【詳解】解：連接并延長交于點F，在的延長線上取一點H，使，連接，如圖，
∵點為的中點，，，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
7．B
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理的應用，熟練掌握是解題的關鍵．
延長到E，使，連接，證，推出，在中，根據三角形三邊關系定理得出，代入求出即可．
【詳解】解： 延長到E，使，連接，
∵是邊上的中線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴．
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，首先從的周長入手求出，延長至，使，連接，然后利用全等來解．
【詳解】解：如圖所示，延長至，使，連接，
的周長為2，即，
∵正方形的邊長是1，
∴，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
∴，
，
，
∴，
在與中，，，，
∴，
．
故選：B．
9．D
【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據三角形外角的性質可得答案．
【詳解】解：在上截取，連接，如圖：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖：
∵，，
∴．
故選：D．
10．D
【分析】依據已知條件求出，，根據證，推出，，即可得到的長．
【詳解】解：如圖，當直線與線段不相交時，
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
如圖，當直線與線段相交時，
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
故選D．
二．填空題
11． ①②③
【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判斷．關鍵是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根據全等三角形的判定方法結合添加的條件逐一分析即可．
【詳解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合題意；
②由，推出，而，可得，結合，由判定，故②符合題意；
③如圖，記交點為，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴由判定，故③符合題意；
④增加添加，不能判定，故④不符合題意．
增加一個條件，使得一定成立，則該條件可以是①②③．
故答案為：①②③．
12．或
【分析】本題考查了全等三角形的判定，解答關鍵是根據題意選擇適當方法證明全等，討論當時，可得，則，當時，由可得，則問題可解
【詳解】解：當時，，
∴，
當時，如圖，
∵，
∴，
∴，
故答案為：或

13．4
【分析】根據垂直定義得出，根據全等三角形的判定定理推出，根據全等三角形的性質得出，，根據垂直定義得出，根據全等三角形的判定定理推出，根據全等三角形的性質得出，，易得，根據全等三角形的判定定理推出和即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
即全等三角形共4對．
故答案為：4．
14．或
【分析】先找出點D的位置，再畫出符合的所有情況即可．
【詳解】解：過B作于D，

∵點B到射線的距離為d，
∴，
①如圖，

當C點和D點重合時，，此時是一個直角三角形；
②如圖，

當時，此時C點的位置有兩個，即有兩個；
③如圖，

當時，此時是一個三角形；
所以x的范圍是或，
故答案為：或．
15．
【分析】連接，利用平行線的性質和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根據等腰直角三角形的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
和中，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
故答案為：．
16．
【分析】在CD上截取CG=CF，連接AG，可得，設AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，再證明，進而即可求解．
【詳解】解：在CD上截取CG=CF，連接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
設AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD -∠EAF=∠AGC -∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG -GD=4x，
∴ ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（1）證明：∵平分，，,
∴；
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：添加的條件是，依據是；
在和中，
；
故答案為：，；
（2）解：，理由如下：
，
，，
，
，即，
在和中，
．
19．證明：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
20．（1）解：∵將三角板繞點C順時針方向旋轉至圖2所示的位置，
∴，
∴，
∴；
故答案為：160；
②當旋轉角等于時，與垂直．理由如下：
當與垂直時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
即旋轉角等于時，與垂直；
（2）解：連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
21．（1）解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
（3）解：是定值，為，理由如下：
如圖，在取點M使，連接，
由（2）得：，
∴，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴為等腰直角三角形，
∴．
22．（1）解：是的平分線，理由如下：
在和中，
，
∴
∴，
∴平分．
（2）解：如圖，過作于，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴．
23．解：當點 P在中點時，與是偏等積三角形，理由如下：
設點 C到的距離為h，則
當點 P在中點時， ，
，
與不全等，
∴與是偏等積三角形
（2）設點A到的距離為n，則 ，
與是偏等積三角形，
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵線段的長度為正整數，
的長度為偶數，
在中，，
，
即：，
；
（3）①與是偏等積三角形，理由如下：
過A作于M， 過B作于N， 如圖3所示：
則，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
∴與不全等，
∴與是偏等積三角形
24．模型證明：證明：如圖，作于，于，
則，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
模型運用：如圖，在上截取點，使得，連接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：；
解決問題：由題意可得：米，米，米，米，
∴米，米，
如圖，延長至點，使得，連接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴米，
即此時甲、乙兩人的距離為米．
故答案為：50．

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