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第十三章《三角形》章節測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．如圖，三角形有一部分被遮擋，我們可以判定此三角形的類型為（　　）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
2．如圖，在矩形鏡框背面，安裝一根木條，使矩形鏡框不易變形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11
C．2，2，3 D．10，5，5
4．作的邊上的高，下列作法中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，若的面積為，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，直線，直角的頂點在直線上，已知，，邊，與直線分別相交于點，，若，則的度數為( )
A． B． C． D．
7．如圖，下面是三位同學的折紙示意圖，則依次是的（ ）
A．中線、角平分線、高線 B．高線、中線、角平分線
C．角平分線、高線、中線 D．角平分線、中線、高線
8．如圖，在中，點在邊上，若，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，在分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論：①；②；③；④，正確的序號是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如圖，，，平分交于點，點是射線上任一點，連結、，若，，則的大小為（ ）
A． B． C．或 D．或
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．圖中有 個三角形．
12．若的兩條邊分別長和，第三邊的長是一個奇數，則第三邊長 ．
13．如圖，已知，，，，，則點到邊的距離是 ．
14．如圖，在中，，是的中線，若的周長比的周長大，則 ．
15．如圖，，，相交于點G，若，，則的大小為 °．
16．如圖，，的角平分線相交于點，若，則的度數為 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）已知的三邊長分別為a，b，c．
(1)若，，且c為奇數，求c的值；
(2)化簡：．
18．（6分）如圖，在中，，AE，分別是的高、角平分線、中線．
(1)若的面積為6，則的面積為 ．
(2)當時，求的度數．
19．（8分）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，請利用格點解決下列問題：
(1)畫出的邊上的高；
(2)畫出的邊上的中線；
(3)過點B作的平行線；
(4)線段，直接寫出點C到直線的距離______．
20．（8分）如圖，在中，是邊上的中線，是邊上的高，點為的中點．
(1)若，，求的度數．
(2)若的面積為，，求的長．
21．（10分）如圖，點O，P，Q分別在上，與交于M點，連接，已知，．
(1)求證：；
(2)若是的平分線，，請判斷與的位置關系，并說明理由．
22．（10分）如圖，在折紙活動中，小李制作了一張的紙片，點D，E分別在邊，上，將沿著折疊壓平，A與重合．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
(3)猜想：與的關系，請直接寫出其關系式．
23．（12分）如圖1，在中，的角平分線與外角的角平分線相交于點，與相交于點．
(1)若，，求的度數；
(2)如圖2，平分，連接，當時，求證：．
24．（12分）已知直線于點，點在直線上，點在直線上．
(1)如圖1，射線分別是和的角平分線，問點運動過程中，的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求的大小；
(2)如圖2，延長至，是內的一條射線，與直線相交于點，若的平分線恰好交于點，過點作于，設，試探究和滿足的數量關系，并證明；
(3)如圖3，延長至，已知的角平分線與的角平分線所在直線分別相交于，在的三個內角中，若存在一個角是另一個角的3倍，請求出的度數．
參考答案
一．選擇題
1．D
【分析】本題主要考查了三角形的分類，根據直角三角形，銳角三角形以及鈍角單腳的定義分析即可．
【詳解】解∶ 已知此三角形露出的一個角是銳角．
對于銳角三角形，它的三個角都是銳角所以僅一個銳角不能確定它就是銳角三角形．
對于直角三角形，除了一個直角外，另外兩個角是銳角，所以僅一個銳角也不能排除它是直角三角形．
對于鈍角三角形，除了一個鈍角外，另外兩個角是銳角，所以僅一個銳角同樣不能排除它是鈍角三角形．
因此，僅根據露出的這一個銳角，這個三角形可能是銳角三角形，也可能是直角三角形，還可能是鈍角三角形，此三角形的類別無法確定．
故選：D
2．C
【分析】本題考查三角形穩定性的實際應用．根據三角形具有穩定性解答．
【詳解】解：根據三角形具有穩定性可知，使矩形鏡框不易變形的是C．
故選：C．
3．C
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，掌握三角形的三邊關系，在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，并不一定需要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．根據三角形的三邊關系進行分析判斷．
【詳解】解：A中，三條線段不能構成三角形，故不符合題意；
B中，三條線段不能構成三角形，故不符合題意；
C中，三條線段能構成三角形，故符合題意；
D中，三條線段不能構成三角形，故不符合題意；
故選：C．
4．D
【分析】本題考查畫三角形的高線，熟練掌握三角形的高的定義是解題的關鍵
根據三角形的高線的定義，進行判斷即可．
【詳解】解：作邊上的高，是從頂點出發，引對邊的垂線段，
據此，符合題意的是；
故選：D．
5．D
【分析】此題考查了三角形中線的性質，利用中線等分三角形的面積進行求解即可，解題的關鍵是熟練掌握三角形中線的性質及其應用．
【詳解】解：∵是邊上的中線，
∴，
∵是的中點，
∴，
故選：．
6．B
【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，利用三角形的內角和定理求解相關角的度數是解題的關鍵．根據三角形的內角和定理可求解的度數，的度數，再利用平行線的性質可求解．
【詳解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
7．C
【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，軸對稱的性質等知識點，熟知三角形角平分線、中線和高線的定義是解題的關鍵．根據三位同學的折紙示意圖，結合三角形角平分線、中線和高線的定義求解．
【詳解】解：由圖①的折疊方式可知，，
所以是的角平分線．
由圖②的折疊方式可知，，
因為，
所以，
所以，
所以是的高線．
由圖③的折疊方式可知，，
所以是的中線．
故選：．
8．C
【分析】本題考查了三角形的外角性質，三角形內角和定理，由外角性質可得，然后通過三角形內角和定理即可求解，掌握三角形的外角性質與三角形內角和定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故選：．
9．D
【分析】本題考查了余角性質，三角形的角平分線和高，三角形外角的性質，根據等角的余角相等可證明結論①；根據角平分線的定義可證明結論②；證明，再結合①的結論可證明結論③；證明，再由，，可以證明結論④，正確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，設交于點，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正確；
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，，
∴，故③正確；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正確；
∴正確的序號是①②③④，
故選：．
10．C
【分析】分兩種情況討論：①當點F在線段上時，由平行線的性質和角平分線的定義可得，則可得，進而可得，再結合即可求出的度數．②當點F在線段的延長線上時，延長線段交于G點，由平行線的性質和角平分線的定義可得，再根據三角形內角和定理可得，，再結合即可求出的度數．
本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義以及三角形內角和定理，熟練掌握以上知識，并且分類討論是解題的關鍵．
【詳解】解：①如圖，當點F在線段上時，
，
，
∵平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
②如圖，當點F在線段的延長線上時，延長線段交于G點，
，
，
又，，
，
∵平分，
，
，
，
，
中，，
中，，
又，
解得．
故選：C．
二．填空題
11．14
【分析】本題考查了三角形．分層計算即可求解．
【詳解】解：單獨的小三角形有8個，
兩層小三角形有4個，
三層小三角形有2個，
共有個，
故答案為：14．
12．3
【分析】本題主要考查了三角形三邊的關系，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據此求出第三邊長的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：∵的兩條邊分別長和，
∴第三邊長，
∵第三邊的長是一個奇數，
∴第三邊長，
故答案為：3．
13．
【分析】本題考查點到直線的距離，根據面積相等即可求出點C到的距離．
【詳解】解：如圖，作于點D，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴點C到邊的距離是．
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了三角形中線以及周長，屬于基礎題，熟練掌握三角形中線性質是解題關鍵．
根據三角形中線得定義可得，根據三角形周長公式即可求解．
【詳解】解：∵是的中線，
∴，
∵的周長比的周長大，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：
15．
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握相關知識．延長至點，交于點，由，，可得，推出，最后根據三角形的外角性質求解即可．
【詳解】解：如圖，延長至點，交于點，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了角的平分線，三角形外角性質，三角形內角和定理，對頂角相等，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．設的交點為M，延長交于點N，根據，得，代入解答即可．
【詳解】解：設的交點為M，延長交于點N，
∵，的角平分線相交于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
三．解答題
17．（1）解：∵的三邊長分別為a，b，c，，，
∴，
∴，即，
∵c為奇數，
∴；
（2）解：的三邊長分別為a，b，c，
∴，
∴，
∴
．
18．（1）解：∵是的中線，且的面積為6，
∴的面積為；
（2）解：∵，，
∴.
∵平分，
∴.
∵，，
∴，
∴.
19．（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：過點B作的平行線，如圖所示：
（4）解：依題意，，
∵線段，
∴點C到直線的距離．
故答案為：．
20．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵點E為的中點，的面積為10，
∴，則，
∵是邊上的中線，
∴．
則，
∵，
∴．
∵是邊上的高線，
∴，
∴．
21．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
22．（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵將沿著折疊壓平，與重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵將沿著折疊壓平，與重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：設，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
24．（1）解：不發生變化，理由如下：
∵
∴，
在中，，
∵射線分別是和的角平分線，
∴，，
∴，
在中，，
∴大小不發生變化，為；
（2）∵的平分線恰好交于點，
設，，．
∴
∴
即
∴
∴，
，
，
∵
∴，
∴
∴．
（3）∵平分，平分，
∴
∵平分，，
∴．
分情況討論
情況一：若，，
則，，
∵
∴
．
情況二：若，，則，，
而，不合題意，舍去
情況三：若，則，
∴
而，不合題意，舍去
情況四：若，，
∵
∴
．
綜上所述，為或．

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