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第十四章《全等三角形》章節測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．能夠完全重合的兩個三角形全等
C．面積相等的兩個三角形全等 D．兩個等邊三角形全等
2．木工是古代社會中一種很重要的手工業，木工師傅積累的許多經驗可以用數學知識解釋．如畫角平分線：如圖，在已知的的兩邊分別取，將無彈性的繩子對折標記折痕（即繩子中點P），將繩子兩端分別固定在點M、N處，從折痕點P處拉直繩子，點P在平面內，則平分．原理是構造全等三角形，根據全等三角形對應角相等得出．這里三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，點C是的角平分線上的一點，于點D，，，動點P在射線OB上運動，它到點C的最小距離為（ ）
A．2 B．5 C．3 D．無法確定
4．據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術的發明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風箏”圖案中，、、．則可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，，垂足為，是上一點，且，連接、，．若，，則的長為（ ）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
6.如圖，在中，D是邊上的一點，交于點E，，，若，，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如圖，是等邊三角形，點D，E分別在邊上，添加下列條件后不能判定與全等的是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在中，于點，為邊上中線，與交于點，連接．若平分，，，則的面積為（ ）
A．30 B．15 C． D．
9．如圖，中，點為的中點．點是下方一點，連接，．平分， ，若，，則的長為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．如圖，E是的中點，平分．有下列結論：其中正確的是（ ）
A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．如圖，點在同一直線上，，且，已知，，則的長為 ．
12．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的 塊帶去，就能配一塊大小和形狀與原來都一樣的三角形．
13．已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么圖中共有 對全等三角形．
14．如圖，在中，，M、N、K分別是，，上的點，且，．若，則的度數為 ．

15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AEF，延長BC交EF于點D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝ ．

16．如圖，在長方形中，，延長到點E，使，連接，動點從點出發，以每秒3個單位的速度沿向終點運動，設點的運動時間為t秒，當t的值為 秒時，和全等．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）如圖，點在一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
18．（6分）如圖所示，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連接．
(1)求證：；
(2)若，，，求．
19．（8分）【主題】：軍事訓練中的距離測量問題：
【素材】：在某次重要的軍事訓練任務中，士兵小王肩負著一項關鍵使命：精準測量我方陣地（點）與對岸目標（點）之間的距離．然而，擺在小王面前的是諸多棘手難題，河流湍急無法直接過河，且身處野外環境沒有攜帶任何專業測量工具．但小王憑借著扎實的數學知識和冷靜的頭腦，巧妙地運用了以下方法來解決這一難題．
【實踐操作】：如圖所示：
步驟：面向點豎直站立，調整目視高度，使視線恰好經過帽檐到達點；
步驟：保持身體姿態不變，原地轉過一個角度，標記此時視線落在河岸的點；
步驟：步測得米，已知小王身高為，帽頂到眼睛的垂直距離為．
【問題解決】：
(1)由上面實踐操作可以知道距離是______米；
(2)請用你所學數學知識，說明（1）中所填結論的正確性．
20．（8分）如圖，在中，，是過點的直線，點、在的兩側，于，于點，且．
(1)求證：；
(2)若，，請求出的長．
21．（10分）如圖，已知中，點在上，連接，并延長至點，使．
(1)畫圖：作的平分線交于點（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，連接，求證：．
22．（10分）如圖，為的中線，為的角平分線，過點E作于點N，為的高．
(1)若，，求的度數；
(2)若，，的面積為64，求的長．
23．（12分）如圖，在中，，延長到點，連接，過點作，過點作，連接，點是的中點，連接，過點作，交的延長線于點．
(1)請說明線段與線段平行嗎？并說明理由．
(2)請說明與全等嗎？并說明理由．
(3)請說明線段與線段的關系？并說明理由．
24．（12分）定義：兩個不全等的三角形，若有一組公共邊和一個公共角，且公共角所對的邊相等，我們就稱這兩個三角形為“雙贏三角形”．例如，在圖1中，與有公共邊和公共角，且，則與是雙贏三角形．如圖2，在中，是邊上任意一點．
(1)若和是“雙贏三角形”，，則 ；
(2)如圖3，延長到點，連接和，，，．
①試說明：與是“雙贏三角形”；
②若，，求的長；
③若，，求的度數．
參考答案
一．選擇題
1．B
【分析】本題主要考查了全等三角形的定義等知識點，掌握全等三角形的概念是解題的關鍵．
根據全等三角形的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、形狀相同的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤，應該是形狀相同且大小也相同的兩個圖形全等，故不符合題意；
B、能夠完全重合的兩個三角形全等，說法正確，符合題意；
C、面積相等的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤，不符合題意；
D、兩個等邊三角形不一定全等，原說法錯誤，不符合題意．
故選：B．
2．A
【分析】根據題意，得，，結合即可證明，即可得證．
本題考查了三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，得，，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
3．C
【分析】本題考查了三角形全等、垂線段最短的性質．熟記全等三角形的判定是解題的關鍵．當時，根據三角形全等可得，再根據全等的性質解答即可．
【詳解】解：根據垂線段最短可知：當時距離最小，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
4．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據圖形分析利用手拉手模型解決是解題的關鍵．
根據已知條件，分析和，易得．
【詳解】解：,
,
在和中，
，
．
故選B．
5．A
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．證明，得到，，即可求解．
【詳解】解：，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故選：A．
6．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．利用“”證明，得到，即可求出的長．
【詳解】解：，
，，
，
，
，
，
，
故選：B．
7．D
【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判斷．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合題意；
B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合題意；
C、由ASA判定≌，故C不符合題意；
D、和分別是CD和AE的對角，不能判定≌，故D符合題意．
故選：D．
8．C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理．作于點，根據三角形的角平分線的性質定理求得，利用三角形的面積公式得到，再根據三角形的中線性質即可求解．
【詳解】解：作于點，
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
∵為邊上中線，
∴，
故選：C．
9．B
【分析】連接并延長交于點F，在的延長線上取一點H，使，連接，證明，得，再證明得，進而得，由此即可得出的長．
此題主要考查了全等三角形的判定和性質，理解角平分線的定義，線段中點的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵，正確地添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．
【詳解】解：連接并延長交于點F，在的延長線上取一點H，使，連接，如圖，
∵點為的中點，，，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
10．C
【分析】過E作于F，易證得，得到；而點E是BC的中點，得到，則可證得，得到，也可得到，，即可判斷出正確的結論．
【詳解】解：過E作于F，如圖，
∵，平分，
∴，，
∴，，
∴；
而點E是的中點，
∴，所以①錯誤；
∵，
∴，
∴，
∴，所以④正確；∴，所以③正確，
∴，
∴，所以②正確．
綜上：②③④正確．
故選C．
二．填空題
11．
【分析】本題考查平行線的性質，三角形全等的判定和性質，線段的和與差．掌握三角形全等的判定定理和性質定理是解題關鍵．根據平行線的性質結合題意易證明，得出，從而可證，結合，，即可求出，從而可求出．
【詳解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即
∵，，
∴，
∴．
故答案為：8.5．
12．2
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．
【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．
故答案為：2．
13．3
【分析】由已知條件，結合圖形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3對．找尋時要由易到難，逐個驗證．
【詳解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴圖中共有3對全等三角形．
故答案為3．
14．
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質及三角形內角和定理的運用，利用條件判定是解題的關鍵．由條件可證明，再結合外角的性質可求得，再利用三角形內角和定理即可求得．
【詳解】解：在和中，
，
，
．
，
，
．
故答案為：．
15．3
【分析】如圖，連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得結論．
【詳解】解：如圖，連接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案為：3．
16．1或
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．分兩種情況：當點P在上時，若；當點P在上時，若，結合全等三角形的判定解答即可．
【詳解】解：在長方形中，，，
∴，
當點P在上時，若，
∵，，，
∴，滿足條件，
此時；
當點P在上時，若，
∵，，，
∴，滿足條件，
此時；
綜上所述，當t的值為1或秒時，和全等．
故答案為：1或．
三．解答題
17．（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：由（）得，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
18．（1）證明：∵E為中點，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：由上面實踐操作可以知道距離是米；
故答案為：；
（2）解：在和中，
，
≌，
米．
20．（1）證明：，，
，
在和中，
，
．
，，
，
，即，
．
（2）解：由（1）得，，
，
．
而，，，
，
答：的長為3．
21．（1）解：如圖，即為所求：
；
（2）證明：，，
，，
由（1）知：平分，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（1）解：∵，，
∴，
∵為的角平分線，
∴．
（2）解：∵為的中線，的面積為64，
∴的面積為32，
∵為的角平分線，，為的高，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，解得：．
23．（1）線段與線段平行，理由：
∵，點D在的延長線上，
∴；
（2）與全等，理由：
∵，
∴，
∵點F是的中點，
∴，
在與中，
，
∴；
（3）線段與線段的關系是：，理由：
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
綜上可知，線段與線段的關系是：．
24．（1）∵和是“雙贏三角形”，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）①∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴與是“雙贏三角形”；
②由①得，
∴，
又∵，
∴；
③由①得，
∴，
∵，
∴，
由②得，
∴，
由由①得，
∴，
∴．

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