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13.2.2 《三角形的中線、角平分線、高》小節復習題
【題型1 中線、角平分線、高概念辨析】
1.如圖，在中，關于高的說法正確的是（　　）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
2.下列說法中，正確的是（　　）
A．三角形的高、中線是線段，角平分線是射線
B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部
C．鈍角三角形的三條角平分線在三角形的外部
D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的直線叫作三角形的中線
3.如圖，根據下列圖形折疊后的情況，可以判定是的角平分線的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如圖，在中，，且，，分別是的高線，中線和角平分線，且與相交于點，下列結論不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用三角形的中線求長度】
1.在中，邊上的中線把的周長分成24和12的兩部分，則的長是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
2.如圖，是的中線，是的中線，若，則 ．

3.如圖，中，，為邊上的中線，若的周長為22，則的周長是 ．
4.如圖①是一張三角形紙片，將對折使點C與點B重合，如圖②所示，折痕與的交點記為D．
(1)請在圖②中畫出邊上的中線；
(2)若，，求與的周長差．
【題型3 利用三角形的中線求面積】
1.如圖，已知的面積為，點分別在邊，上，且，，與相交于點F，若的面積為3，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．
2.如圖所示，是的中線，是的中線．
(1)在中作邊上的高；
(2)若的面積為36，，則點到邊的距離是多少？
3.如圖，的面積為S，作的中線，取的中點，連接得到第一個；作的中線，取的中點，連接得到第一個…；重復這樣的操作，則第2024個的面積為 ．
4.【問題呈現】三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．
已知：如圖1，在中，點D是邊上的中點，連接．求證： ．
證明：過點A作于E，
∵點D是邊上的中點，
∴，
∵，
∴．
【拓展探究】
（1）如圖2，在中，點D是邊上的中點，若，則_____；
（2）如圖3，在中，點D是邊上的點，且，求的值；
【問題解決】
（3）現在有一塊四邊形土地，如圖4，甲、乙兩人要均分這塊土地，請通過作圖均分四邊形的面積．
（要求：用不超過三條的線段畫出平分方法，并對作法進行說明，可利用帶刻度的直尺．）
【題型4 依據高的位置分類討論求角度】
1.有一道題目“在中，是邊上的高，的平分線與邊交于點F．若，，求的度數．”對于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．則正確的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙
2.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度數．
3.在中，，是邊上的高且，則的度數是
4.已知：是的高，直線相交所成的角中有一個角為，則的度數為 ．（提示：四邊形內角和為360°）
【題型5 等積法求值】
1.如圖，直角三角形中，，，，，點D是邊上一動點，作直線經過點C、點D，分別過點A，B作與垂直，與垂直，垂足分別為點F，E．設線段，的長度分別為，，則的最大值為 ．
2.如圖，，垂足為，，，．是線段上的任意一點，連接，的長不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
3.如圖，在中，，點D，P分別在邊，上，且，，，垂足分別為點E．F．若，，則的值 ．

4.如圖，在中，，D為中點，過點D作，，E為上一點，過點E作，，，則 ．
【題型6 與角平分線有關的求值】
1.如圖，，則是的（ ）
A．高線 B．角平分線 C．中線 D．以上都不是
2.如圖△中，已知，平分，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3.填寫下列證明過程中的推理根據：已知：如圖所示，相交于，平分與相交于，平分與相交于，．
求證：．
證明：∵（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∵分別是和的平分線，
∴，，（ ）
∴（ ），
即．
4.如圖，在中，點為和的角平分線的交點，連接，作的一條角平分線．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 與角平分線有關的證明】
1.如圖，中，是角平分線，，垂足為．
(1)已知，，求的度數；
(2)若，求證：．
2.如圖，在中，，，平分交于點，點是邊上一點，若，求證：．

3.在中，，于，是的平分線，交于，交于，求證：．
4.【感知】（1）如圖①，，，，求的度數．小樂想到了以下方法，請幫忙完成推理過程．
解：如圖①，過點作．
【探究】（2）如圖②，，，，求的度數；
【應用】（3）如圖③，在（2）條件下，的平分線和的平分線交于點，求的度數．
參考答案
【題型1 中線、角平分線、高概念辨析】
1.B
【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．根據三角形的一個頂點到對邊的垂線段叫做三角形的高對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：于點，
中，是邊上的高，故A不符合題意，
，線段是邊上的高，B選項符合題意；
于點，
是邊上的高，故C選項不符合題意，D選項不符合題意．
故選：B．
2.B
【分析】本題考查與三角形有關的線段，解題的關鍵是理解三角形的高、中線、角平分線的定義，據此分析即可．
【詳解】解：A．三角形的高、中線、角平分線都是線段，故此選項不符合題意；
B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部，故引選項符合題意；
C．鈍角三角形的三條角平分線都在三角形的內部，故此選項不符合題意；
D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線，故此選項不符合題意．
故選：B．
3..B
【分析】本題考查了三角形的角平分線和翻折的性質，解題的關鍵在于觀察圖形，根據是的角平分線，可推出是 的角平分線，再根據翻折可知道 與 是對稱點，即可求出答案．
【詳解】解：由圖形可知，若是的角平分線，根據折疊關系可得 ，選項中符合這一條件只有B．
故選：B．
4.D
【分析】本題考查三角形的角平分線、中線和高，三角形的面積，三角形內角和定理，利用高線的定義得出，得出，再結合，即可判斷選項A；利用角平分線的定義判斷選項B；利用中線定義得出，即可判斷選項C；無法得出選項D．
【詳解】解：A、∵是的高線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴結論A正確，故該選項不符合題意；
B、∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴結論B正確，故該選項不符合題意；
C、∵是的中線，
∴，
∴，
即，
∴結論C正確，故該選項不符合題意；
D、∵，但不一定小于，
故選項D錯誤，符合題意，
故選：D．
【題型2 利用三角形的中線求長度】
1.A
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用、中線的定義、三角形的三邊關系等知識點，掌握分類討論思想是解題的關鍵．
設，，則，再分且和且兩種情況分別列出一元一次方程求解并運用三角形的三邊關系判斷即可解答．
【詳解】解：設，則，
當且時，即，解得：，
∴，，
∵，
∴能組成三角形，即符合題意；
當且時，即，解得：；
∴，，
∵，
∴三邊不能組成三角形，即不符合題意；
綜上，的長是16．
故選A．
2.12
【分析】根據是的中線，是的中線，得到，再根據，即可得到答案．
【詳解】解：∵是的中線，是的中線，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案為：12．
3.24
【分析】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據三角形的中線的概念得到，再根據三角形周長公式計算即可．
【詳解】解：∵為邊上的中線，
∴，
∵的周長為22，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的周長，
故答案為：24．
4.（1）解：連接，如圖所示，邊上的中線為所求；
（2）解：周長等于，周長等于，
由題意得，
與的周長差等于
與的周長差．
【題型3 利用三角形的中線求面積】
1.C
【分析】本題主要考查了三角形面積的計算，和三角形中線的性質，作出正確的輔助線是解此題的關鍵．連接，由與等高，，可得到．又因為與等底等高，故可得，從而，又與等底等高，即可得出陰影部分的面積．
【詳解】連接，
，的面積為3
，
，的面積為，
，
，
與等底等高，
，
圖中陰影部分的面積為9，
故選：C．
2.（1）解：如圖所示，為邊上的高；
（2）解：是的中線，是的中線，
，，
，
的面積為36，，
，
解得，
即點到邊的距離為3．
3.
【分析】本題主要考查了三角形的中線的性質，熟練掌握三角形中線平分三角形面積是關鍵．由三角形的中線平分三角形的面積得：的面積，同理中線得：的面積，重復這樣的過程，可得結論．
【詳解】解：∵的面積為，邊中線，
的面積，
取的中點，
的面積，
同理得的面積，
則個三角形的面積為；
故答案為：．
4.解：（1）∵點D是邊上的中點，
∴，
∴；
故答案為：3；
（2）取中點E，連接，則，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）連接，取中點E，連接，
則，
∴，
即，
∴四邊形被平均分．
【題型4 依據高的位置分類討論求角度】
1.B
【分析】本題主要考查三角形內角和，高的性質以及角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質即可得到答案．根據題意畫出圖形進行計算即可．
【詳解】解：① ，
是邊上的高，的平分線與邊交于點F，
，乙同學正確，
② ，
是邊上的高，的平分線與邊交于點F，
，丙同學正確．
故選B．
2.當高AD在△ABC的內部時，如圖1，
∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
當高AD在△ABC的外部時，如圖2，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°，
綜上，∠BAC的度數為90°或50°．
3.或
【分析】此題考查了三角形內角和，三角形的高的含義.根據題意分兩種情況：高在內部和高在外部，然后根據三角形的內角和，結合角的和差求解即可．
【詳解】解：如圖所示，當高在內部時，

∵是邊上的高，
∴，
∴，
∵，，
∴．
如圖所示，當高在外部時，

∵是邊上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
綜上所述，或．
故答案為：或．
4.或
【分析】本題考查了三角形高的定義、四邊形的內角和等知識，正確分類并畫出圖形是解題的關鍵；
分兩種情況：為銳角與為鈍角，分別畫出圖形，利用四邊形的內角和求解即可．
【詳解】解：當為銳角時，如圖，設三角形的兩條高交于點O，
則，，
∴，
∴；
當為鈍角時，如圖，設三角形的兩條高所在的直線交于點O，
則，，
∴；
故答案為：或．
【題型5 等積法求值】
1.10
【分析】此題考查了三角形面積的求解，垂線段最短，解題的關鍵是得出，確定取最大值時，取最小值，并掌握垂線段最短的性質．
根據，即得到，則的最大值就是的最小值，由垂線段最短可得當時，最小，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：，即
化簡可得：
解得，
則取最大值時，取最小值，
由垂線段最短可得當時，最小，
由可得，
∴的最大值為．
故答案為：10．
2.A
【分析】本題考查了垂線段的性質，三角形中的等面積法，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據垂線段最短可知，當時，取得最小值，利用等面積法求出的最小值，即可從選項中找出答案．
【詳解】解：作于點，
如圖，
，垂足為，，，，
，即，
，
是線段上的任意一點，連接，
當點與點重疊時取得最小值，最小值為12，
的長不可能是11，
故選：A．
3.6
【分析】本題主要考查了三角形的面積．根據三角形面積公式得出，再根據，得出，即可得出．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，則，
故答案為：6．
4.
【分析】本題考查了與三角形的高有關的面積計算，添加適當的輔助線，根據題意得出是解此題的關鍵．連接，，根據D為中點，得出，從而得出，根據三角形面積得出，從而得出，代入數據計算即可．
【詳解】解：如圖，連接，，
，D為中點，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案為：．
【題型6 與角平分線有關的求值】
1.B
【分析】該題考查了三角形的角平分線，根據題意得出，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴是的角平分線．
故選：B．
2.B
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線，三角形其中一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線．
根據三角形角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：∵，平分，
∴．
故選：B．
3.證明：∵（已知），
∴（內錯角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∵分別是和的平分線，
∴，，（角平分線的定義）
∴（等量代換），
即，
故答案為：已知；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；角平分線的定義；等量代換．
4.A
【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義等知識，根據角平分線定義可得，，從而可求出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是和平分線，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴,
故選：A．
【題型7 與角平分線有關的證明】
1.（1）解：，，
，
是角平分線，
，
；
（2）證明：設，則，
，
是角平分線，
，
又，
，
，
，
．
2.證明：∵在中，，，
∴．
∵平分，
∴．
∵．
∴．
3.證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.解（1）如圖①，過點作，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）過點作，
，
，
，
，
；
（3） 的平分線和的平分線交于點，
，
，
過點作，
，
，
，
，
．

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