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21.2《二次函數(shù)的圖象和性質》同步測試
【題型1 二次函數(shù)的圖象】
1.如圖是某隧道截面，由部分拋物線和矩形構成，以矩形的頂點為坐標原點，所在直線為軸，豎直方向為軸，建立平面直角坐標系，拋物線的解析式為，頂點為，且，則點的坐標為 ．

2.已知二次函數(shù)的圖象過點，，．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)補全表格，畫出二次函數(shù)的圖象；
x … …
y … …
(3)關于該二次函數(shù)，下列說法正確的有______．
①圖象開口朝下，頂點為；
②當時，y隨x增大而減小；
③當時，y的取值范圍為；
④圖象與兩坐標軸的交點所形成的三角形面積為6．
3.如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），其頂點P在線段MN上移動．若點M、N的坐標分別為、，點B的橫坐標的最大值為3，則點A的橫坐標的最小值為 ．
4.如圖，拋物線（m為常數(shù)）與x軸交于點，與y軸負半軸交于點C，若當時，，那么關于x的一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【題型2 二次函數(shù)的性質】
1.已知二次函數(shù)的圖象經過四個象限，則的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.已知點在二次函數(shù)的圖象上，且點到軸的距離小于，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.拋物線經過點．
（1）若，則該拋物線的對稱軸是直線 ．
（2）若對于，都有，則的取值范圍是 ．
4.已知拋物線（為常數(shù)，且）經過點和點，若，則的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．4
【題型3 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系】
1.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知圖象過點，對稱軸為直線，下列結論：①；②；③；④當時，y的值隨x值的增大而增大；⑤其中正確的結論有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知二次函數(shù)，其對稱軸為．現(xiàn)有以下五個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
3.函數(shù)，在同一平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像可能是（ ）
B．
C． D．
4.如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，以下4個結論：①；②；③若點在該拋物線上，且，則；④．其中正確結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【題型4 二次函數(shù)圖象的平移】
1.如圖，將拋物線平移到拋物線，點，分別在拋物線，上．下列結論：①無論取何值，都有；②若點平移后的對應點為，則；③當時，線段的長隨著的增大而減小．其中正確的結論為（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
2.二次函數(shù)向上平移5個單位，向右平移3個單位后拋物線的對稱軸為直線 ．
3.已知二次函數(shù)，將其圖象向右平移個單位，得到新的二次函數(shù)的圖象，使得當時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小．則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
4.已知拋物線，將拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度，得到拋物線．
（1）b的值為 ；
（2）點，分別在拋物線和上，過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，兩條垂線交于點．若，則的值為 ．
【題型5 用“一般式”求二次函數(shù)解析式】
1.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(3)當時，y的取值范圍為______．
2.已知一個二次函數(shù)的圖象過，，三點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)如何平移這個拋物線，使其頂點為坐標原點？寫出這個變換過程并寫出平移后所得二次函數(shù)解析式．
3.已知二次函數(shù)的圖象經過點，和．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求出函數(shù)y隨自變量的增大而減小的x的取值范圍；
(3)如圖，該二次函數(shù)圖象的頂點為M，與y軸相交于C，連接、、．求．
4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經過點，點．
(1)求此二次函數(shù)的解析式．
(2)當時，求二次函數(shù)的最大值和最小值．
(3)點為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標為，過點作軸，點的橫坐標為．已知點與點不重合．
①當線段的長度隨的增大而減小時，的取值范圍為________．
②當，線段與二次函數(shù)（）的圖象有1個交點時，直接寫出的取值范圍．
【題型6 用“頂點式”求二次函數(shù)解析式】
1.如圖，拋物線過點，與軸交于點、，拋物線頂點坐標為，矩形的邊在線段上（點在點的左側），點，在拋物線上．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)求證：直線與該拋物線沒有交點；
(3)設，矩形的周長為，寫出與的函數(shù)關系式，并求的最大值；
2.已知二次函數(shù)圖象的頂點為，且與軸的一個交點坐標是．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)若二次函數(shù)圖象上有兩點、，直接寫出函數(shù)值、的大小關系．
3.某景觀公園計劃修建一個人工噴泉，從與地面成一定角度的噴水槍噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍出水口的水平距離為米，距地面的豎直高度為米，現(xiàn)測得與的幾組對應數(shù)據(jù)如下：
水平距離 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 …
小華根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小華的探究過程，請補充完整：
(1)在平面直角坐標系中，描出以表中各組對應數(shù)據(jù)為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；
(2)結合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，得出水柱最高點距離地面的垂直高度為___________米；
(3)求出關于的函數(shù)關系式；
(4)結合函數(shù)圖象，解決問題：該景觀公園準備在距噴水槍出水口的水平距離米處修建一個大理石雕塑，使噴水槍噴出的水流剛好落在雕塑頂端，則大理石雕塑的高度約為___________米．（結果精確到米）（注：忽略大理石雕塑寬度等其他因素）
4.如圖， 拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，頂點坐標為，點是拋物線上一點．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當且 時：
求的取值范圍；
若 ，直接寫出的值．
【題型7 用“交點式”求二次函數(shù)解析式】
1.已知關于的二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點兩點，且圖象過點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)求出該函數(shù)的最值，并說明是最大值還是最小值？
2.已知二次函數(shù)的圖象與經過，，．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)指出它的對稱軸和最值．
3.如圖，已知拋物線與x軸分別交于點，與y軸交于點C，點Q是拋物線上一點．
(1)求拋物線的解析式：
(2)若點Q在直線下方的拋物線上，過點Q作軸于點D，交直線于點E，作于點F，當時，求點Q的坐標．
4.如圖1和圖2，拋物線與x軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于點和點，其中．拋物線，與y軸分別交于點P，N．
(1)求A，B兩點的坐標；
(2)如圖1，當點P、N重合時，求拋物線的表達式及其頂點坐標；
(3)如圖2，連接，若拋物線的頂點落在由線段及拋物線圍成的封閉圖形內部（不含邊界），求m的取值范圍．
【題型8 求二次函數(shù)關于點或直線對稱的解析式】
1.定義：關于軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．
(1)拋物線的頂點坐標為 ，其“同軸對稱拋物線”的頂點坐標為 ；
(2)求拋物線的“同軸對稱拋物線”的解析式；
(3)如圖，在平面直角坐標系中，是拋物線上一點，點的橫坐標為1，過點作軸的垂線，交拋物線的“同軸對稱拋物線”于點，分別作點，關于拋物線對稱軸對稱的點，．依次連接點，，，．當四邊形為正方形時，求的值．
2.當兩條曲線關于某直線對稱時，我們把這兩條曲線叫做關于直線的對稱曲線，如果拋物線與拋物線關于直線的對稱曲線，那么拋物線的表達式為 ．
3.把二次函數(shù)的圖象作關于原點的對稱變化，所得到的圖象函數(shù)式為，若，則最小值是 ．
4.如圖，將拋物線：沿軸對稱后，向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到拋物線，若拋物線的頂點為，點是拋物線上一點，則的面積的最小值為

參考答案
【題型1 二次函數(shù)的圖象】
1.
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，掌握矩形的性質和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
根據(jù)矩形的性質和拋物線的對稱性求解．
【詳解】由題意得：，
設，
拋物線的對稱軸為：直線，
在矩形中，，
、關于對稱，
，，
解得，
．
故答案為：．
2.（1）解：由題意得：
，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
（2）解：取點補全表格為：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如圖，
（3）解：①，則圖象開口朝下，由表格數(shù)據(jù)知，頂點為，故①正確，符合題意；
②拋物線的對稱軸為直線，則當時，y隨x增大而增大，故②錯誤，不符合題意；
③從圖象看，當時，y的取值范圍為，故③錯誤，不符合題意；
④圖象與兩坐標軸的交點所形成的三角形面積，故④正確，符合題意；
故答案為：①④．
3.
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象對稱軸的特點，此題難度一般．根據(jù)頂點在線段上移動，又知點、的坐標分別為、，分別求出對稱軸過點和時的情況，即可判斷出點坐標的最小值．
【詳解】解：根據(jù)題意知，點的橫坐標的最大值為3，
即可知當對稱軸過點時，點的橫坐標最大，
此時的點坐標為，
當可知當對稱軸過點時，點的橫坐標最小，此時的點坐標為，
此時點的坐標最小為，
故點的橫坐標的最小值為，
故答案為：．
4.C
【分析】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．
根據(jù)題意分析出的正負，然后根據(jù)當時，，求出的正負，即可得出答案．
【詳解】解：由二次函數(shù)圖像可知，對稱軸，
∴，
∵拋物線（m為常數(shù)）與x軸交于點，
∴點B的橫坐標大于-1，小于0；
∵點關于對稱，
∴點A的橫坐標大于-2，小于-1．
∵當時，，
∴．
即．
∴一次函數(shù)圖像經過一、二、四象限．
∴C符合題意．．
故選C．
【題型2 二次函數(shù)的性質】
1.A
【分析】求出二次函數(shù)的頂點坐標為，對稱軸為，與y軸的交點坐標為，又由開口向上可知，圖象要經過四個象限，則，結合可得，由此即可得解．本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，利用數(shù)形結合是解題的關鍵．
【詳解】解：，
∵，
∴開口向上，
頂點坐標為，對稱軸為，與y軸交點為，
∵二次函數(shù)的圖象經過四個象限，
∴，
解得，
又∵
∴，
∴的值可以是2．
故選：A
2.D
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)點在二次函數(shù)的圖象上，可得：，根據(jù)點到軸的距離小于，可得：，根據(jù)平方的非負性可得：，從而可得的取值范圍．
【詳解】解：點在二次函數(shù)的圖象上，
，
點到軸的距離小于，
，
，
，
，
．
故選：D．
3. 1
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）由題意可知拋物線過點，，利用拋物線的對稱性即可求解；
（2）先求出拋物線的對稱軸是直線，再分兩種情況：當時；當時；分別結合二次函數(shù)的性質求解即可．
【詳解】解：（1）當時，，
若，則拋物線過點，，
該拋物線的對稱軸是直線，
故答案為：1；
（2）拋物線經過點，，，，
，
，
，
拋物線的對稱軸為直線，
①當時，此時拋物線開口向上，
當時，隨著的增大而增大，
對于，，都有，
，
，不合題意，舍去；
②當時，拋物線開口向下，對稱軸為直線，
關于對稱軸的對稱點為，
對于，，都有，
，
解得，
綜上，當時，都有．
故答案為：．
4.B
【分析】本題考查拋物線的性質，比較自變量大小，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
先求出拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)，則當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大 ，分兩種情況：當時 ， 當時，依據(jù)，求出t的范圍，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大 ，
當時 ，
∵，
∴，
當時 ，
∵，
∴
∴，
∴或，
∴的值可能是．
故選：B．
【題型3 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系】
1.B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，具有一定的綜合性，運用了數(shù)形結合的思想．
根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸和與y軸交點可知，從而易判斷①②；由圖知，當時，函數(shù)值為0，即有，從而易判斷③；由圖象易判斷④；由于函數(shù)在時取得最大值，對任意的實數(shù)m，其函數(shù)值不超過函數(shù)的最大值，從而易判斷⑤．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，，
即，故②正確；
∵拋物線與y軸交于坐標軸正半軸，
∴，
∴，故①錯誤；
當時，函數(shù)值為0，即有，
∵，
∴，即，故③正確；
觀察圖象知，當時，隨自變量的增加，函數(shù)值有增有減，故④錯誤；
∵函數(shù)在時取得最大值，
∴對任意的實數(shù)m，都有，
即，故⑤錯誤；
故選：B．
2.B
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線與x軸的交點，對稱軸的兩種表示方法，拋物線的增減性，最值等解答即可.
【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向上，
∴，
∵拋物線的圖象與y軸的交點在負半軸上，
∴；
∵對稱軸為直線，
∴,
∴,
∴,
故①正確；
∵，，
∴,，
∴，
故②錯誤；
∵拋物線的頂點在第四象限，
∴，
故③正確；
∵對稱軸為直線，
∴,
∵，
∴，
∴，
故④正確；
∵對稱軸為直線，
∴,
∴,
∴,
故⑤正確，
故選：B．
3.A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與軸的交點位置以及對稱軸的位置進行判斷即可．
【詳解】解：設，，
由圖像知，，，，，，，，
∴，
∵函數(shù)的圖像開口大于函數(shù)的圖像開口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函數(shù)的圖像是拋物線，開口向下，對稱軸在軸的右側，與軸的交點在軸的正半軸上，
A．圖像開口向下，對稱軸在軸的右側，與軸的交點在軸的正半軸上，故此選項符合題意；
B．圖像開口向上，故此選項不符合題意；
C．圖像對稱軸在軸的左側，故此選項不符合題意；
D．圖像開口向上，故此選項不符合題意．
故選：A．
4.C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質，熟悉函數(shù)的圖像和性質是解題關鍵．
利用二次函數(shù)的開口方向，對稱軸的位置和與y軸的交點坐標即可求出①；令即可判斷②；利用時函數(shù)值最大，即可判斷③；令即可判斷④．
【詳解】①由圖象可知：，
，故①正確；
②當時，，對稱軸為直線，
∴當時，，
∴，故②正確；
③當時，y的值最大，此時，，
而當時，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③正確；
④當時，，對稱軸為直線
∴當時，，
∴，
∴，故④錯誤；
故選：C．
【題型4 二次函數(shù)圖象的平移】
1.A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．
求得拋物線的頂點即可判斷①對；由拋物線的解析式可知將拋物線向右平移3個單位，向下平移3個單位得到拋物線，即可求得平移后的對應點為的最短路程為，即可判斷②對；由可知當時，，根據(jù)一次函數(shù)的性質即可判斷③對．
【詳解】解：拋物線開口向下，頂點為，
無論取何值，都有，故①對；
將拋物線的頂點為，拋物線開口向下，頂點為，
將拋物線向右平移3個單位，向下平移3個單位得到拋物線，
點平移后的對應點為的最短路程為，故②對；
，當時，，隨著的增大而減小，
當時，隨著的增大，線段變短，故③對．
故選：A．
2.
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移是解題的關鍵．將二次函數(shù)化為頂點式，再根據(jù)平移的特點得到平移后的函數(shù)解析式，即可得到答案．
【詳解】解：，
上平移5個單位，向右平移3個單位后拋物線為：，
故對稱軸為直線．
故答案為：．
3.B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換及二次函數(shù)的性質，熟知“左加右減”的平移法則及二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)“左加右減”的平移法則，表示出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意得出關于的不等式，據(jù)此可解決問題．
【詳解】解： ∵，
∴，
∵時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
4. 4 1
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與平移，掌握這些知識是解題的關鍵．
（1）由得頂點為，它向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度后的頂點為，即拋物線．則可求得b的值；
（2）由（1）得c的值；由題意知，拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度，得到拋物線，因而當點A右平移1個單位長度到點C，再向上平移3個單位長度到點B，則，故，即．
【詳解】解：（1）∵，
∴拋物線的頂點為，
∴它向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度后的頂點為，
即拋物線．
即，
∴；
故答案為：4；
（2）由（1）知，，
即；
也即拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度，得到拋物線，
∴點A右平移1個單位長度到點C，再向上平移3個單位長度到點B，則，
∴；
∵，
∴
即．
故答案為：1．
【題型5 用“一般式”求二次函數(shù)解析式】
1.（1）解：設二次函數(shù)的解析式為，由表格可得：
，
解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：由題意可得函數(shù)圖象如下：
（3）解：當時，，
當時，，
當時，函數(shù)有最小值，最小值為：，
∴當時，y的取值范圍為；
故答案為：．
2.（1）設二次函數(shù)的解析式為，
根據(jù)題意得，
解得
∴；
（2）∵
∴頂點坐標為
∴拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位得到，頂點坐標為原點．
3.（1）∵二次函數(shù)的圖象經過點，和
∴ ，
∴解得：
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）由（1）可知拋物線解析式為
∴拋物線開口向下，對稱軸為
∴當時，y隨x的增大而減小；
（3）如圖所示，過點A作軸于D，過點M作于N，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）解：將點，點代入
得
解得
此二次函數(shù)的解析式為．
（2）解：，
拋物線開口向上，對稱軸為直線．
當時，取最小值為．
，
當時，取最大值．
（3）解：①∵點橫坐標為，點的橫坐標為．
∴．
當時，，的長度隨的增大而增大．
當時，，的長度隨增大而減小．
滿足題意，解得．
故答案為：；
② ，
，
解得．
如圖，當時，線段與二次函數(shù)的圖象1個交點．
如圖，當時，線段與二次函數(shù)的圖象1個交點．
【題型6 用“頂點式”求二次函數(shù)解析式】
1.（1）解：由題意可設拋物線的函數(shù)解析式為，
將點代入解析式可得，解得，
拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）證明：將直線與拋物線聯(lián)立可得，
整理得；
∴，
直線與拋物線沒有交點；
（3）解：由題意得，則
∵四邊形是矩形，
∴，
∴點G和點D關于拋物線對稱軸對稱，
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，
由（1）可得拋物線對稱軸為直線，
，
，．
，即與的函數(shù)關系式是
當時，的值最大，的最大值是20．
2.（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點為，
設拋物線的解析式為，
把代入，得，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：當時，，當時，，
．
3.（1）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知在圖像上的點坐標分別為：，
將以上坐標在下圖中找出，并連接成光滑的曲線：
（2）解：通過表中數(shù)據(jù)得知，當時水流最高，此時水流到達地面距離為米，
（3）解：設二次函數(shù)解析式為，
由（2）知，對稱軸為，最高點為，
∴頂點坐標為，
∴，
∴把代入中得：
，解得：，
∴拋物線表達式為：．
（4）解：根據(jù)題意把代入中得：
米．
∴大理石雕塑的高度約為．
4.（1）解：∵頂點坐標為，
∴設該拋物線的解析式為，
∵與軸交于點，
∴，解得：，
∴該拋物線的解析式為，
（2）解：由（）得拋物線的解析式為，
∴當時，的最大值為，當時，的最小值為，
∴的取值范圍；
由拋物線的解析式，
當時，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵點是拋物線上一點，
∴，
當時，
解得或（舍去），
當時，
解得或（舍去），
∴的值為或．
【題型7 用“交點式”求二次函數(shù)解析式】
1.（1）解：∵二次函數(shù)的圖象交軸于，
∴設該二次函數(shù)的解析式為：
∵二次函數(shù)圖象過點
∴將代入，得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
即．
（2）解：∵，
∴這個函數(shù)的圖象的開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，
∴最值為4，為最大值．
2.（1）解：二次函數(shù)圖象經過點，，
設二次函數(shù)表達式為，
二次函數(shù)圖象經過點，
，
解得，
二次函數(shù)表達式為；
（2）解：由（1）可知二次函數(shù)表達式為，
該拋物線的對稱軸為直線，
∵，拋物線開口向上，
∴函數(shù)有最小值為．
3.（1）解：由已知可設：，
則，得：
進而有
所以拋物線的解析式為：
（2）解：由（1）知：，
當時，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為：，
則，
解得：
∴的解析式為：，
設點，則點，
則，
而，
∵，
即，
解得：（舍去）或，
即點；
4.（1）解：∵拋物線的表達式為，
∴令，則．
解得，．
∴A點坐標是，B點坐標是；
（2）解：令，則，
∴點P坐標是．
∵拋物線與x軸交于點和點．
∴設拋物線的表達式為．
當點P，N重合時，將點代入，得，
解得．
∴拋物線的表達式為，即．
當時，．
∴拋物線的頂點坐標是；
（3）解：∵拋物線的表達式為，
∴其頂點坐標是．
當點在拋物線上時，，
解得．
令，則．
∴，
設直線的表達式為，
將，代入函數(shù)解析式可得，
解得：，
∴直線的表達式為．
當點在線段上時，，
解得．
∵拋物線的頂點落在由線段及拋物線圍成的封閉圖形內部（不含邊界），
∴m的取值范圍是．
【題型8 求二次函數(shù)關于點或直線對稱的解析式】
1.（1）解：由知頂點坐標為，由知頂點坐標為，
故答案為：，
（2）解：，
∴頂點為，
∵關于x軸的對稱點為，
∴拋物線的“同軸對稱拋物線”的解析式為：；
（3）解：當時，，
∴，
∴，
∴，
∵拋物線L的對稱軸為直線，
∴點，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
∴．
2.
【分析】先把原拋物線的解析式寫成頂點式，得到頂點坐標，根據(jù)對稱的關系得到新拋物線的頂點坐標，從而得到新拋物線的解析式．
【詳解】解：，
∴頂點坐標是，
點關于直線對稱的點是，
∴．
故答案為：．
3.
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象關于原點的對稱變化規(guī)律是解題的關鍵．
把函數(shù)的圖象作關于原點的對稱變化，所得到的圖象函數(shù)式為，從而可得，，再代入可得，由此即可得到答案．
【詳解】解：把函數(shù)的圖象作關于原點的對稱變化，所得到的圖象函數(shù)式為，
則，，
代入得：，
，
，
則最小值是，
故答案為：．
4.
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及解直角三角形，根據(jù)平移的性質得出平移后的拋物線的解析式以及求得點的坐標是解答本題的關鍵．
首先求得平移后的解析式，進而求得頂點的坐標和點的坐標，解直角三角形求得點到直線的距離，然后根據(jù)三角形面積得到結果．
【詳解】解：將拋物線：沿軸對稱后，向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到拋物線：，
，
，
直線為，
要使的面積最小，則點在平行于直線，且與拋物線相切的直線上，

設平行于直線，且拋物線相切的直線為，
解，
整理得，
，
，
，
切線為，
解，得，
，
．
故答案為．

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