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21.3 《二次函數(shù)與一元二次方程》小節(jié)復(fù)習(xí)題
【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)】
1.已知二次函數(shù)（a為常數(shù)且）．
(1)當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)若，判斷該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．
(3)若該函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)，其中，若，．求證：．
2.若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的值為 ．
3.已知二次函數(shù)為常數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4.二次函數(shù)（a為常數(shù)，）．
(1)若該二次函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求a的值；
(2)若該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)，滿足，求a的范圍；
(3)若該二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，求的取值范圍
【題型2 利用二次函數(shù)的圖象確定方程根的情況】
1.如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2．則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④點(diǎn)，在拋物線上，且，當(dāng)時(shí)，；⑤函數(shù)的最大值大于．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
2.已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，且二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，則此方程的另一個(gè)根為 ．
3.如圖，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則關(guān)于的方程的解為 ．
4.若二次函數(shù)與x軸交于和，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別是和，則 ．
【題型3 求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)】
1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．
(1)當(dāng)時(shí)，
①求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
②將拋物線向下平移個(gè)單位，若平移后的拋物線過點(diǎn)，且與軸兩交點(diǎn)之間的距離為6，求的值．
(2)已知點(diǎn)，在拋物線上，且，求的取值范圍．
2.設(shè)二次函數(shù) 的圖像與一次函數(shù) 的圖像交于點(diǎn) ，若函數(shù) 的圖像與 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則 的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
3.已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若拋物線與軸交于點(diǎn)，，且，求的值．
4.已知，是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)．
(1)若，兩點(diǎn)都在直線上，求線段的長(zhǎng)；
(2)若拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值；
(3)若點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，，為整數(shù)，且，證明：為正值．
【題型4 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
1.如圖是二次函數(shù) 的圖象，圖象上有兩點(diǎn)分別為，，則關(guān)于x的方程 的一個(gè)根可能是（ ）
A． B． C． D．
2.如表中列出了二次函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值，則一元二次方程的解的范圍是 ．（兩相鄰整數(shù)之間）
… 0 1 …
… 1 2 1 …
3.小明用探索方程（、、為常數(shù)）的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個(gè)近似根，則方程的另一個(gè)近似根（精確到）為（ ）
A． B． C． D．
4.在實(shí)際問題中往往需要求得方程的近似解，這個(gè)時(shí)候，我們通常利用函數(shù)的圖象來完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的實(shí)數(shù)根的近似解，觀察函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2的圖象，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量為2時(shí)，函數(shù)值小于0（點(diǎn)（2，﹣2）在x軸下方），當(dāng)自變量為3時(shí)，函數(shù)值大于0（點(diǎn)（3，1）在x軸上方）．因?yàn)閽佄锞€y＝x2﹣2x﹣2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3這一段經(jīng)過x軸，也就是說，當(dāng)x取2、3之間的某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值為0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之間有根．進(jìn)一步，我們?nèi)?和3的平均數(shù)2.5，計(jì)算可知，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為﹣0.75，與自變量為3的函數(shù)值異號(hào)，所以這個(gè)根在2.5與3之間任意一個(gè)數(shù)作為近似解，該近似解與真實(shí)值的差都不會(huì)大于3﹣2.5＝0.5．重復(fù)以上操作，隨著操作次數(shù)增加，根的近似值越來越接近真實(shí)值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解與真實(shí)值的差不超過0.3，該近似解為
【題型5 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的取值范圍】
1.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是 ．
2.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
3.二次函數(shù)的圖象如圖，根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)直接寫出方程的兩個(gè)根；
(2)直接寫出y隨x的增大而減小時(shí)自變量x的取值范圍；
(3)直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．
4.拋物線如圖所示，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型6 利用不等式求自變量或函數(shù)值的取值范圍】
1.拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為4．
(1)求的值；
(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)．
（i）若僅存在一個(gè)正數(shù)，使得，求的最大值；
（ii）若，且當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．
2.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，．若點(diǎn)，都在函數(shù)上，且，則的取值范圍是 ．
3.已知二次函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．則如下四個(gè)值中有可能為m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于點(diǎn)、，且，點(diǎn)是該拋物線上位于，兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)．
(1)當(dāng)，時(shí)，求拋物線的解析式；
(2)在（）的條件下，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)，且時(shí)，求證：．
【題型7 根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)確定不等式的解集】
1.已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，．
(1)求b，c值；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值總大于函數(shù)的函數(shù)值，且函數(shù)的函數(shù)值總小于函數(shù)的函數(shù)值，直接寫出滿足題意的n的取值范圍．
2.一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．或
3.已知二次函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4.定義：若函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則稱函數(shù)和關(guān)于直線互為“和睦函數(shù)”，函數(shù)和的圖象交點(diǎn)叫做“和睦點(diǎn)”．
例如：函數(shù)關(guān)于直線的“和睦函數(shù)”為，“和睦點(diǎn)”為．下列說法不正確的序號(hào)為 ．
①函數(shù)關(guān)于直線的“和睦函數(shù)”為，“和睦點(diǎn)”坐標(biāo)為；
②函數(shù)關(guān)于直線的“和睦點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是；
③函數(shù)關(guān)于直線的“和睦點(diǎn)”縱坐標(biāo)d滿足：，m的取值范圍是或
④已知，，函數(shù)關(guān)于直線的“和睦函數(shù)”為，將函數(shù)與的圖象組成的圖形記為，若與線段只有2個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是．
【題型8 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】
1.已知拋物線，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)(mA． B．
C． D．
2.已知拋物線的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別，，而的兩根為，則、、M、N的大小順序?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
3.在平面坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，其中．現(xiàn)將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線與軸交于C、D兩點(diǎn)，其中．若，則n的值為 ．
參考答案
【題型1 拋物線與x軸的交點(diǎn)】
1.（1）解：將代入，
得，
解得，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：該二次函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)．
證明：令，
∵，
∴，
∴方程無實(shí)數(shù)解，
∴該二次函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)．
（3）證明：∵該函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
2.
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，理解函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系列方程求解．
【詳解】解：由題意得：關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
故答案為：9．
3.A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，明確拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖象與x軸有交點(diǎn)，得出判別式，從而解得，然后求出拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合拋物線開口向上，且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，可得，從而得出選項(xiàng)．
【詳解】解：∵二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與x軸有交點(diǎn)，
∴，
解得：，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范圍是，
故選：A．
4.（1）解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴，
解得：；
（2）解：∵點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上，
∴，，
∵，
∴，
代入得 ，
∴
，
∵，，
∴．
【題型2 利用二次函數(shù)的圖象確定方程根的情況】
1.B
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題．根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，開口方向等來判斷結(jié)論①②，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來判斷結(jié)論③，根據(jù)函數(shù)的增減性，函數(shù)值判斷結(jié)論④⑤即可．
【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
，即，故①正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在2和3之間，
拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和0之間，
∴方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；
∵拋物線圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
，
，
，
令，得，
或，
，
，
∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；
拋物線的開口向下，
拋物線上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)y值越小，距離對(duì)稱軸越近y值越大，
，
，
，
，
，
點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是，
，故④正確；
如圖，當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的最大值大于，故⑤正確，
綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④⑤，共4個(gè)，
故選：B．
2.
【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，以及拋物線的對(duì)稱性，明確拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩根，根據(jù)對(duì)稱性建立關(guān)系式即可求解．
【詳解】解：設(shè)方程的另一根為，
∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，
∴，即，
解得，，
∴另一根為，
故答案為：．
3.，
【分析】本題考查拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用圖象法解決實(shí)際問題，利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于x的方程的解，就是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，的橫坐標(biāo)，
即，．
故答案為：，．
4.
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，，得到，，則方程可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，再將整理得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)與x軸交于和，
∴，，
∴，，
∴一元二次方程為，
即，
∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別是和，
∴，，
∴，
故答案為：．
【題型3 求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)】
1.（1）解：①∵，
∴
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
②∵將拋物線向下平移個(gè)單位，
∴平移后拋物線解析式為，
把代入，得，
∴
∴
設(shè)平移后的拋物線與軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，
則，，
∴
∴
∵平移后的拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離為6，
∴
∴
∴
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.A
【分析】此題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)問題，以及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，．
首先根據(jù)一次函數(shù) 的圖像交于點(diǎn) ，可得，然后根據(jù)函數(shù)的圖象與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，進(jìn)而可得，再結(jié)合求解即可．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，解得：，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
∵函數(shù) 的圖像與 軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，
的圖象與軸的交點(diǎn)為，
∴
又∵，
∴
，
∴，解得：
∴，
故選：A．
3.（1）解：∵
，
該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，且，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)為：，
解得：或．
4.（1）解：∵直線平行于軸，
∴令，即，
解得，
∴線段的長(zhǎng)度為．
（2）解：∵拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，
∴
∴拋物線
若直線落在軸上，
∴當(dāng)時(shí)，即
解得
∴
∴；
若直線不在軸上，
設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立方程，
得，
解得．
不妨設(shè)，
∴，，
∴．
（3）證明：
∵，且，為整數(shù)，
∴，即
∴，
又，
∴為正值．
【題型4 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
1.D
【分析】本題考查了拋物線和x軸交點(diǎn)，理解拋物線和一元二次方程的關(guān)系是解答關(guān)鍵．
觀察函數(shù)圖象可得的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)在和之間，進(jìn)而求解．
【詳解】解：從函數(shù)圖象看，的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)在和之間，
而在和之間被選項(xiàng)中的數(shù)為，
∴的方程的一個(gè)根可能為．
故選：D．
2.或
【分析】本題考查圖像法求一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)和方程的關(guān)系．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：∵，，
∴根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性可得在之間，存在一個(gè)數(shù)，使得，
∵和的函數(shù)值相等，
∴對(duì)稱軸為：，
∴根據(jù)對(duì)稱性可得：在之間，也存在一個(gè)數(shù)，使得，
∴一元二次方程的解的范圍是或，
故答案為：或．
3.C
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此即可求解，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴方程的另一個(gè)近似根為，
故選：．
4.﹣0.75
【分析】觀察函數(shù)y＝x2 2x 2的圖象，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量為0時(shí)，函數(shù)值小于0，當(dāng)自變量為 1時(shí)，函數(shù)值大于0，求得 1和0的平均數(shù) 0.5，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為 0.75，與自變量為 1的函數(shù)值異號(hào)，再求 1和 0.5的平均數(shù) 0.75，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為0.0625，即可求得這個(gè)根在 0.75與 0.5之間任意一個(gè)數(shù)作為近似解，由 0.5 （ 0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【詳解】解：觀察函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2的圖象，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量為0時(shí)，函數(shù)值小于0，當(dāng)自變量為﹣1時(shí)，函數(shù)值大于0，因?yàn)閽佄锞€y＝x2﹣2x﹣2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0這一段經(jīng)過x軸，也就是說，當(dāng)x取﹣1、0之間的某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值為0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之間有根．
我們?nèi)々?和0的平均數(shù)﹣0.5，計(jì)算可知，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為﹣0.75，與自變量為﹣1的函數(shù)值異號(hào)，所以這個(gè)根在﹣1與﹣0.5之間，取﹣1和﹣0.5的平均數(shù)﹣0.75，計(jì)算可知，對(duì)應(yīng)的數(shù)值為0.0625，與自變量為﹣0.5的函數(shù)值異號(hào)，所以這個(gè)根在﹣0.75與﹣0.5之間任意一個(gè)數(shù)作為近似解，該近似解與真實(shí)值的差都不會(huì)大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，該近似解為﹣0.75，
故答案為﹣0.75．
【題型5 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的取值范圍】
1.或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)對(duì)稱軸為直線，可求出當(dāng)時(shí)，或，再結(jié)合圖象即可求解，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，或，
∴通過圖象可知：不等式的解集是或，
故答案為：或．
2.D
【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．根據(jù)題意，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍，就是求當(dāng)函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x取值范圍，由此得到答案．
【詳解】觀察圖象知，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是或，
故選：D．
3.（1）解：由圖象看，
∵二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)，
∴方程的兩個(gè)根是，；
（2）解：從圖象看，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；
（3）解：從圖象看，
∵當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的圖象在x軸
∴不等式的解集是：或．
4.C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖象開口向上可知，與軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方可知，據(jù)此可判斷①；因?yàn)閽佄锞€與軸交于，對(duì)稱軸為直線，所以另一交點(diǎn)為，則、兩式相減可得，可判斷②；拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向下，則為最大值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，據(jù)此可判斷③；由圖象可得當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可判定④．
【詳解】解：∵拋物線的開口向上，
∴，
∵與軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方可，
∴，
∴，即①正確；
∵拋物線與軸交于，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴兩式相減可得，即②正確；
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向下，
∴為最大值，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，即③錯(cuò)誤；
④由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即④正確．
綜上，正確的有3個(gè)．
故選C．
【題型6 利用不等式求自變量或函數(shù)值的取值范圍】
1.（1）解：∵，，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為4，
∴，即；
（2）解：（i）由（1）知，
∴拋物線，
∵為拋物線上一點(diǎn)，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵僅存在一個(gè)正數(shù)，使得，
∴關(guān)于的一元二次方程，有兩個(gè)相等的正數(shù)根，
∴，即，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去，不符合題意）；
當(dāng)時(shí)，，解得：（符合題意）；
∴，
∴，
∵為拋物線上一點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
（ii）∵，，且為拋物線上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)題意得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，再由當(dāng)時(shí)，函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，，可得，且拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5和1，然后分兩種情況：若點(diǎn)，均在對(duì)稱軸的右側(cè)，若點(diǎn)，均在對(duì)稱軸的兩側(cè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴橫坐標(biāo)為5關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，，
∴，且拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5和1，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
若點(diǎn)，均在對(duì)稱軸的右側(cè)，
此時(shí)，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5和1，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴拋物線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為，
∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵，
∴，
即，
此時(shí)；
若點(diǎn)，均在對(duì)稱軸的兩側(cè)，則
，
即；
綜上所述，的取值范圍是．
故答案為：
3.A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，或，且函數(shù)開口向上，即，則可求出對(duì)稱軸為直線，則可得到，把代入解析式得到，據(jù)此求出m的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或，
∴當(dāng)時(shí)，或，且函數(shù)開口向上，即，
∴，為拋物線上的點(diǎn)，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得，
將代入解析式得，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，m的可能取值為1，
故選：A．
4.（1）解：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
∴將，代入得
，解得，
∴；
（2）解：過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則，
∴，
∵
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
∴；
（3）解：當(dāng)，，且，
將，代入得：
，，
得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【題型7 根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)確定不等式的解集】
1.（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，．
∴
∴
（2）拋物線上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
函數(shù)的圖象上，當(dāng)，時(shí)，；
函數(shù)的圖象上，當(dāng)，時(shí)，
∵時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值總大于函數(shù)的函數(shù)值，且函數(shù)的函數(shù)值總小于函數(shù)的函數(shù)值．
∴．
2.C
【分析】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合．觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象位于一次函數(shù)圖象的上方，即可求解．
【詳解】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象位于一次函數(shù)圖象的上方，
∴不等式的解集為，
即不等式的解集為．
故選：C．
3.B
【分析】本題二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，理解并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．先構(gòu)造差函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)圖象與x軸的交點(diǎn)問題求解即可．
【詳解】解：設(shè)函數(shù)，
要使，只需恒成立，
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，顯然不恒成立，
當(dāng)即時(shí)，二次函數(shù)y的圖象開口向下，
∴不恒成立，故選項(xiàng)C、D不符合題意；
∴只需，且恒成立，
當(dāng)時(shí)，滿足，但b值不確定，當(dāng)b很大時(shí)，可能大于0，故選項(xiàng)A不符合題意；
當(dāng)時(shí)，滿足，，
∴恒成立，故選項(xiàng)B符合題意，
故選：B．
4.②④
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式、二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)交點(diǎn)問題等內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)“友好函數(shù)”的定義即可求解，②，再根據(jù)的取值范圍即可得到的范圍，③根據(jù)題意得出，解不等式，即可求解；④當(dāng)過“和睦點(diǎn)”時(shí)，為臨界點(diǎn)情況，當(dāng)過的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)與線段只有個(gè)公共點(diǎn)，找出臨界值代入求解即可．
【詳解】解：①，
頂點(diǎn)，它關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為，
“和睦函數(shù)”為，
兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
其交點(diǎn)必在直線 上，將代入中，，
“和睦點(diǎn)”坐標(biāo)為；故①正確；
②由題意得，
，
關(guān)于的函數(shù)圖象是一條拋物線，開口向上，頂點(diǎn)為，
當(dāng) 時(shí)，有最小值，
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
；故②錯(cuò)誤；
③依題意可得
∵，
∴
∴或
解得：或，故③正確
④如圖，
當(dāng)過“和睦點(diǎn)”時(shí)，為臨界點(diǎn)情況，
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：
則當(dāng)時(shí)，與線段只有個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)過的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)與線段只有個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：；
綜上，的取值范圍為：或，故④錯(cuò)誤，
故答案為：②④．
【題型8 拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問題】
1.B
【分析】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)，而，即函數(shù)向下平移3個(gè)單位得到函數(shù)y，通過畫出函數(shù)大致圖象即可求解．
【詳解】解：設(shè)，則、是函數(shù)和x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而，
即函數(shù)向下平移3個(gè)單位得到函數(shù)y，
則兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示（省略了y軸），
從圖象看，，
故選：B．
2.C
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，依題意畫出函數(shù)和的圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可直接求解．
【詳解】解：依題意，畫出函的圖象，如圖所示．
函數(shù)圖象為拋物線，開口向下，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
方程的兩根是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)．
由，可知對(duì)稱軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為M，右側(cè)為N．
由圖象可知，，
故選：C．
3.C
【分析】本題考查拋物線與軸交點(diǎn)問題，解答涉及交點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系，會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以拋物線向上平移，對(duì)稱軸不變，與軸的兩交點(diǎn)距離變長(zhǎng)解答即可．
【詳解】解：拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
拋物線向上平移對(duì)稱軸不變，
，
即，
拋物線開口向下，
將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸兩交點(diǎn)間距離會(huì)變長(zhǎng)，
，
故選：C．
4.3
【分析】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意用表示出，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．先求出拋物線與軸的交點(diǎn)，拋物線與軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)，得出，列出關(guān)于的方程，解方程即可．
【詳解】解：把代入得：，
解得：，，
把代入得：，
解得：，，
，
，
，即，
，
令，則，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
，
不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得：，
，
符合題意；
綜上分析可知，的值為3，
故答案為：3．

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