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南匯中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末
2025.6
一、填空題（本大題共有12題,滿分36分,每題3分）
1.已知事件，若，，則 .
2.已知集合,且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
3.已知，若冪函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則 .
4. 雙曲線的漸近線方程是 .
5. 方程的解集為 .
6. 設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則 .
7. 設(shè)，方程的解集是 .
8.已知隨機(jī)變量，a、b是正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
9.由表格數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，則此回歸方程在樣本點(diǎn)處的離差是 .
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
10. 如圖，、是橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，A、B分別是、在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是 .
11.我們把點(diǎn)到圖形上任意一點(diǎn)距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離，記作.若圖形的方程是，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積是 .
12. 有5個(gè)集合：，從每個(gè)集合中等可能地各取1個(gè)數(shù)，記5個(gè)數(shù)之和為，則 .
二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）
13.設(shè),則“”是
“”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
14. 某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，如下表所示．若去掉最后一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（ ）.
光照時(shí)長(zhǎng) 1 2 3 8 10
種子發(fā)芽數(shù)量y（顆） 4 6 5 11 2
A．相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值變小 B．相關(guān)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系
C．?dāng)M合誤差變大 D．解釋變量與反應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)
15. 盲盒中有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，隨機(jī)有放回的摸兩次球，記X為摸到黑球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)無放回的摸兩次球，記Y為摸到黑球的個(gè)數(shù)，則（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
16.設(shè)有一組圓，下列四個(gè)命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相切； ②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交； ④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)；
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）
17．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）
已知全集，集合，集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）設(shè)命題，，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）
已知函數(shù)，函數(shù)．
（1）函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，若函數(shù)的圖像恰好過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
（2）若時(shí)，設(shè)函數(shù)在時(shí)的值域分別為，求時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（本題滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）
某校橋牌社每個(gè)月要和兄弟學(xué)校的橋牌社進(jìn)行一次友誼賽，為此要從5名社員中隨機(jī)選擇3名參加友誼賽．新學(xué)年友誼賽從10月份開始，此時(shí)5名社員中有2名新社員沒有參加過此前的友誼賽．
（1）設(shè)10月份參加比賽的新社員的人數(shù)為，求的分布與期望；
（2）求11月份參加比賽的社員中，恰有1個(gè)沒有友誼賽經(jīng)驗(yàn)的概率．
20．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題4分, 第3小題4分）
已知雙曲線，其右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.
（1）求以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)直線過點(diǎn)，其法向量為，若在雙曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離均為，求的值.
21．（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分, 第3小題6分）
已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．
南匯中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末
2025.6
一、填空題（本大題共有12題,滿分36分,每題3分）
1.已知事件，若，，則 .
【答案】
2.已知集合,且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
3.已知，若冪函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則 .
【答案】
4. 雙曲線的漸近線方程是 .
【答案】
5. 方程的解集為 .
【答案】
6. 設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則 .
【答案】4050
7. 設(shè)，方程的解集是 .
【答案】
8.已知隨機(jī)變量，a、b是正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
9.由表格數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，則此回歸方程在樣本點(diǎn)處的離差是 .
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
【答案】
10. 如圖，、是橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，A、B分別是、在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是 .
【答案】
11.我們把點(diǎn)到圖形上任意一點(diǎn)距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離，記作.若圖形的方程是，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積是 .
【答案】
12. 有5個(gè)集合：，從每個(gè)集合中等可能地各取1個(gè)數(shù)，記5個(gè)數(shù)之和為，則 .
【答案】
二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）
13.設(shè),則“”是
“”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】B
14. 某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，如下表所示．若去掉最后一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（ ）.
光照時(shí)長(zhǎng) 1 2 3 8 10
種子發(fā)芽數(shù)量y（顆） 4 6 5 11 2
A．相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值變小 B．相關(guān)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系
C．?dāng)M合誤差變大 D．解釋變量與反應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)
【答案】D
15. 盲盒中有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，隨機(jī)有放回的摸兩次球，記X為摸到黑球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)無放回的摸兩次球，記Y為摸到黑球的個(gè)數(shù)，則（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
16.設(shè)有一組圓，下列四個(gè)命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相切； ②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交； ④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)；
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）
17．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）
已知全集，集合，集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）設(shè)命題，，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或. （2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
且，則或，
故或.
（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則是的真子集，
且，，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）
已知函數(shù)，函數(shù)．
（1）函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，若函數(shù)的圖像恰好過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
（2）若時(shí)，設(shè)函數(shù)在時(shí)的值域分別為，求時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）定點(diǎn)，則
（2）時(shí)，，∵為上的減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，
∴解得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
19．（本題滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）
某校橋牌社每個(gè)月要和兄弟學(xué)校的橋牌社進(jìn)行一次友誼賽，為此要從5名社員中隨機(jī)選擇3名參加友誼賽．新學(xué)年友誼賽從10月份開始，此時(shí)5名社員中有2名新社員沒有參加過此前的友誼賽．
（1）設(shè)10月份參加比賽的新社員的人數(shù)為，求的分布與期望；
（2）求11月份參加比賽的社員中，恰有1個(gè)沒有友誼賽經(jīng)驗(yàn)的概率．
【答案】（1）分布為，期望． （3）
【解析】（1）的可能取值是0、1、2，且，，，故的分布為，期望．
（2）設(shè)事件、、分別表示“10月份的友誼賽中恰有0、1、2名新社員參加比賽”．事件表示“11月參加比賽的社員中恰有1個(gè)沒有參加友誼賽經(jīng)驗(yàn)”．
由（1），可知，，．
發(fā)生時(shí)，5名社員中有2名沒有比賽經(jīng)驗(yàn)，故．
發(fā)生時(shí)，5名社員中有1名沒有比賽經(jīng)驗(yàn)，故．
發(fā)生時(shí)，7名社員中有0名沒有比賽經(jīng)驗(yàn)，故．
由全概率公式，得
．
20．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題4分, 第3小題4分）
已知雙曲線，其右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.
（1）求以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)直線過點(diǎn)，其法向量為，若在雙曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離均為，求的值.
【答案】（1） （2） （3）或．
【解析】（1）
（2）設(shè)，則 有，=，由，
當(dāng)時(shí)，.
（3）由題意，直線法向量為，可得直線的斜率為1，
設(shè)與直線平行的直線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，直線與的距離為；
當(dāng)時(shí)，直線與的距離為，
所以的值或．
21．（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分, 第3小題6分）
已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．
【答案】（1）極小值0，無極大值 （2） （3）證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，
令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在處取到極小值0，無極大值；
（2）方程，顯然當(dāng)時(shí)，方程不成立，則，，
若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與有2個(gè)交點(diǎn)，則，
當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，
并且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，嚴(yán)格增，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，（1），
作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：
與有2個(gè)交點(diǎn)，則，
即的取值范圍為；
（3）證明：，令，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由題意，則，，
要證，只需證，
而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故只需證，
又，所以只需證，即證，
令，
即，
，
由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)在上嚴(yán)格增，
由，可得，即，所以，
又函數(shù)在上嚴(yán)格減，所以，即得證．

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