資源簡介

21.4《二次函數(shù)的應用》小節(jié)復習題
【題型1 銷售問題】
1.某公司生產(chǎn)的商品的市場指導價為每件150元，公司的實際銷售價格可以浮動個百分點（即銷售價格），經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，這種商品的日銷售量（單位：件）與銷售價格浮動的百分點之間的函數(shù)關系為．若該公司按浮動個百分點的價格出售，每件商品仍可獲利．
(1)求該公司生產(chǎn)銷售每件商品的成本為多少元；
(2)當實際銷售價格定為多少元時，日銷售利潤為660元？（說明：日銷售利潤=（銷售價格-成本）日銷售量．）
(3)該公司決定每銷售一件商品就捐贈元利潤（）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當價格浮動的百分點大于時，扣除捐贈后的日銷售利潤隨的增大而減小，直接寫出的取值范圍．
2.2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．
(1)求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？
(2)根據(jù)網(wǎng)上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？
(3)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值．
3.為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．
(1)設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是_______件；
(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；
(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
4.現(xiàn)有一個小果園種植甲、乙兩種果樹，種植棵甲果樹（為正整數(shù)），每年所獲得的利潤（元）與之間的函數(shù)關系式為，且當時，；種植棵乙果樹（為正整數(shù)），已知乙果樹每年成本由人工成本、物資成本和其他成本三部分組成，人工成本與的平方成正比，物資成本與成正比，其他成本不變?yōu)?0元．若乙果樹每棵每年可收入800元，種植乙果樹每年所獲得的利潤為（元），經(jīng)過統(tǒng)計獲得如下數(shù)據(jù)：
（棵） 10 40
（元） 4920 7920
(1)求出關于，關于的函數(shù)關系式；
(2)若這個小果園計劃種植甲果樹的數(shù)量是乙果樹數(shù)量的一半，求當種植多少棵甲果樹時，兩種果樹所獲得的年總利潤最大？最大是多少？
【題型2 拱門問題】
1.中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設的重要標志．如圖1是某高鐵站的一個檢票口，其大致示意圖如圖2所示，檢票口大門可看成是拋物線（點O與點Q關于拋物線的對稱軸對稱），，四邊形區(qū)域為檢票區(qū)域，點A與點B在拋物線上，已知檢票閘機高，均與垂直，A、E、H、B在一條水平直線上，O、C、F、N、D、Q在一條水平直線上，以所在直線為x軸，過點O且垂直于的直線為y軸建立平面直角坐標系，拋物線滿足關系式（a為常數(shù)，且）．
(1)求a的值和拋物線的對稱軸；
(2)已知閘機與之間的區(qū)域為應急通道，閘機與之間的區(qū)域為人工檢票通道，閘機與之間的區(qū)域為自動檢票通道，若應急通道和人工檢票通道的寬度均為（即，求自動檢票通道的總寬度．（閘機寬度忽略不計）
2.合肥老城西大門有一處城門橫斷面分為兩部分，上半部分為拋物線形狀，下半部分為正方形（四邊形為正方形），已知城門寬度為4米，最高處離地面6米，如圖1所示，現(xiàn)以O點為原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立直角坐標系．
(1)求出上半部分拋物線的函數(shù)表達式；
(2)有一輛寬3.2米，高4.6米的貨車需要通過該城門進入城區(qū)（城門處為單向行駛道），請通過計算判斷該貨車能否安全通行．
(3)由于城門年久失修，需要搭建一個矩形鞏固門（矩形），該鞏固門關于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中為三根承重鋼支架，點D在拋物線上，B、C在地面上，已知鋼支架每米200元，問搭建這樣一個矩形鞏固門，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？
3.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，．
要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架的面積記為，點、在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據(jù)以上提供的相關信息，解答下列問題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較的大小．
4.如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系．拱門上的點距地面的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關系．
(1)拱門上的點的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：
水平距離 2 3 6 8 10 12
豎直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點到地面的距離），并求出拱門上的點滿足的函數(shù)關系．
(2)一段時間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點距地面的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關系，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部兩個端點間的距離）為，“新拱門”的跨度為，則__________填“”、“”或“”）．
【題型3 投球問題】
1.2024年我國運動員在巴黎奧運會上奪得網(wǎng)球項目女子單打金牌，實現(xiàn)了中國在該項目上的突破．已知網(wǎng)球比賽場地長為24米（其中A，B為邊界點），球場中心的球網(wǎng)高度為1米．建立如圖①所示的平面直角坐標系．運動員從點處擊球，網(wǎng)球飛行路線呈拋物線形狀，網(wǎng)球飛行過程中在點處達到最高．
(1)求拋物線的解析式；
(2)判斷此次擊球是否越過球網(wǎng)并落在對方區(qū)域內（含邊界），并說明理由；
(3)運動員在第二次擊球時仍然在點P處，通過擊球改變網(wǎng)球的飛行路線，其拋物線為，網(wǎng)球在距球網(wǎng)右側水平距離2米時，離地面的高度不低于4米，且網(wǎng)球落在對方區(qū)域內（含邊界），求m的最大值．
2.如圖，小亮同學擲鉛球時，鉛球沿拋物線運行，其中是鉛球離初始位置的水平距離，是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時離地面的高度為，則鉛球擲出的水平距離為 ．
3.某數(shù)學興趣小組設計了一個投擲乒乓球游戲：將一個無蓋的長方體盒子放在水平地面上，從箱外向箱內投乒乓球．建立如圖所示的平面直角坐標系（長方形為箱子截面圖，軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，米，米），小明站在原點，將乒乓球從距離水平地面1.5米高的處拋出，乒乓球運行軌跡為拋物線，當乒乓球離小明1米時，達到最大高度2米．
(1)求拋物線的解析式；
(2)小明拋出的乒乓球能不能投入箱子，請通過計算說明．
4.如圖，為排球運動場地示意圖，球網(wǎng)在場地中央且高度為m，球網(wǎng)距離球場左、右邊界均為9m．排球發(fā)出后其運動路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分，某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點的高度為m，當排球運動到水平距離球網(wǎng)3m時達到最大高度m，建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)當時，
①求拋物線的表達式；
②求排球是否能過球網(wǎng)？是否出邊界？
(2)若排球既能過網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），直接寫出的取值范圍．
【題型4 拱橋問題】
1.圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面，以拱橋的頂點為坐標原點，拋物線對稱軸為軸建立平面直角坐標系．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當該河段水位再漲達到最高時，有一艘貨船它露出水面高，船體寬，需要從拱橋下通過，請通過計算判斷該貨船是否能順利通行．
(3)為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠．如圖3，為了安全，燈籠底部距離水面不小于（此時水面是指（2）中最高水位的水面）；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．請設計懸掛方案，并說明懸掛的燈籠數(shù)量最多可以是多少個．
2.如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式．
3.一座拱橋其中一段的橫截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水面，橋墩跨度為，以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點且垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．已知：左右兩邊的橋墩相同，高度，拋物線的頂點到軸的距離是．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)節(jié)日為了慶祝，決定在該橋上共掛三串彩燈，第一串彩燈平行于水面掛設，彩燈兩端，皆在拋物線上，另外兩串彩燈，都垂直于水面掛設，且點，距離水面，求掛設的三串彩燈，，長度和的最大值．
4.趙州橋又稱安濟橋，坐落在河北省石家莊市趙縣的洨河上，橫跨在河面上，因橋體全部用石料建成，當?shù)胤Q作“大石橋”．如圖，橋拱的拱形看成二次函數(shù)，以此時水平面為橫坐標建立坐標，水面的寬為36米．水面離橋拱頂點的高度18米．
(1)請你求出二次函數(shù)的表達式．
(2)在二次函數(shù)的對稱軸上，是否存在一點，使得的值最小，若有，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
(3)春夏之季，河水上漲，洨河上吸引無數(shù)游客旅游、觀光，一艘游船（水面以上部分近似的看成長14米，寬4米，高2.5米的長方體）行駛在河面上，此時的水面離橋拱頂點的高度7米，游船是否能順利通過趙州橋，請計算說明．
【題型5 隧道問題】
1.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線形，如圖所示，線段表示水平的路面，點為的中點，以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設計要求：拋物線底面寬度米，該拋物線的頂點到的距離為9米．
(1)求該隧道截面所在拋物線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，現(xiàn)需在隧道上方安裝一塊高度為1米，寬度為3米的長方形電子顯示屏，確保行車安全，要求電子顯示屏距地面至少6米，并且距左右墻需各留至少0.5米的安全距離，試通過計算說明能否滿足安裝設計要求．
2.如圖1，這是鄭欒高速的始祖山隧道，它位于新鄭市和禹州市交界地帶上，是一座上下行分離的四車道高速公路長隧道．如圖2是單向隧道的示意圖，洞寬米，其中兩側分別設人行檢修道米，左側設側向寬度米，右側設側向寬度米，行車道寬米．假設隧道的輪廓為拋物線，建立如圖2所示的平面直角坐標系，其中O為的中點，隧道的凈高度米．（參考數(shù)據(jù)：）
(1)求該拋物線的解析式．
(2)如果一貨運汽車裝載貨物后的高度為4.6米，寬度為2.25米．隧道內兩個行車道用實線隔開（實線的寬度忽略不計），不允許車輛隨意變道．試通過計算說明這輛貨車能否安全通過這個隧道？如果能，請指出該貨車應按哪個車道行駛；如果不能，請說明理由．
3.白鹿原隧道被稱為“中國最大斷面黃土隧道”，它的截面近似看作拋物線，某數(shù)學課題學習小組，為了研究隧道的截面，建立如圖坐標系，已知隧道的凈寬約為18米，凈高（即拋物線最高點到地面的距離）約為12米．在隧道施工過程中，需要一個“凸”字形的支架支撐隧道的頂部，支架的下部分和上部分都分別由矩形和矩形組成，已知下部分矩形的長米，上部分矩形的長寬比（即），點A，D，E，H都在拋物線上．根據(jù)以上信息解決問題．
(1)求隧道截面拋物線的解析式；
(2)請確定支撐點的位置（即點的坐標）．
4.天山勝利隧道預計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升區(qū)域交通效率，促進經(jīng)濟發(fā)展．如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的一部分．若隧道底部寬12米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)該隧道設計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當兩輛車在隧道內并排行駛時，需沿中心線兩側行駛，且兩車至少間隔2米（中心線寬度不計）．若寬3米，高3.5米的兩輛車并排行駛，能否安全通過？請說明理由．
【題型6 噴水問題】
1.某景觀公園內圓形人工湖中心有一噴泉，在人工湖中央垂直于水面安裝一個柱子，安置在柱子頂端的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．愛思考的小敏發(fā)現(xiàn)，如果設距噴水柱子的水平距離為米，噴出的拋物線形水線距離湖面高度為米，與的數(shù)量變化有一定規(guī)律．
【提出問題】
噴出的拋物線形水線距離湖面高度為米與距噴水的柱子的水平距離米，與之間有怎樣的函數(shù)關系？
【分析問題】
小敏對某個方向噴水的路徑測量和計算得出如下數(shù)據(jù)：
（米） … 0 1 2 3 4 …
（米） … 2 2 …
【解決問題】
(1)在建立如圖1所示的平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接；
(2)已知與之間存在已學過的某種函數(shù)關系，請結合表中所給數(shù)據(jù)和所畫出的圖象，求出與之間的函數(shù)關系式；
(3)現(xiàn)公園想通過噴泉設立一個新的游玩項目，使公園的平頂游船能從噴泉最高點的正下方通過．如果游船寬度為米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于米，問游船能否順利通過？說明理由．
(4)如圖2，若從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設立一圈圓形護欄．這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄？（結果保留）
2.項目學習實踐
項目主題：合理設置智慧灑水車噴頭
項目背景：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，環(huán)保綠化．
如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．數(shù)學小組成員想了解灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水澆灌到整個綠化帶．圍繞這個問題，該小組開展了“合理設置智慧灑水車噴頭”為主題的項目式學習．
任務一：測量建模
利用圖1實際測量數(shù)據(jù)建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灑水車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，噴水口離地面豎直高度為米．上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米；
（1）請你求出上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；
任務二：推理分析
小組成員通過進一步分析發(fā)現(xiàn)：當噴頭灑水進行調整時，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，即下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
（2）請你結合模型探究下邊緣拋物線與軸交點的坐標；
任務三：實踐探究
如果我們把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，灑水車到綠化帶的距離為米．
（3）當調整與綠化帶距離為米，灑水車行駛時噴出的水覆蓋區(qū)域能否洗灌到整個綠化帶？請說明理由．
3.為了提升高樓火災滅火技能，某消防大隊選擇了一個廢棄的高樓進行演練；以大樓起火側面所在直線為y軸，水平地面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．已知消防車噴水口在距離大樓起火側面米、高4米的點G處，噴出的水流形狀是拋物線的一部分．
(1)求a的值．
(2)若該樓距離地面21米處出現(xiàn)一個起火點，此時消防車該如何行進，才能使噴出的水流滅掉該起火點？
(3)若火勢蔓延到距離地面米處，于是消防車打算采用伸長伸縮臂的方法滅火，阻止火勢進一步蔓延，已知伸縮臂與水平方向的夾角為，且，伸縮臂伸長不超過米，且噴出的水流形狀與原來一樣，則伸縮臂應伸長多少米？（提示：伸長伸縮臂相當于將噴水口先向左平移，再向上平移）
4.在節(jié)假日期間，濮陽龍湖論語廣場的音樂噴泉上演了絢麗的燈光秀．隨著音樂的節(jié)拍，噴泉的水線起伏跳躍，勾勒出迷人的拋物線圖案．假設噴泉的出水口為坐標原點，出水口離岸邊18米．隨著音樂的變化，拋物線的頂點在直線上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線，設這組拋物線的統(tǒng)一形式為．
(1)若，
①若噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線形水線最大高度是多少米？
②若噴出的拋物線形水線最大高度為，求、的值；
(2)當音樂節(jié)奏加快，拋物線的頂點在直線上，噴出的水不能觸及岸邊．請直接寫出此時的取值范圍．
【題型7 跳躍問題】
1.學科實踐
【任務驅動】：2024年世界泳聯(lián)跳水世界杯第三站暨超級總決賽于4月19日至21日在中國陜西省西安市成功舉辦，中國國家跳水隊以8金1銀總獎牌9枚完美收官，進一步激發(fā)各地跳水運動員訓練的熱情，數(shù)學小組對跳水運動員跳水訓練進行實踐調查．
【研究步驟】：如圖，某跳水運動員在10米跳臺上進行跳水訓練，水面與y軸交于點，運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點的拋物線，在跳某個規(guī)定動作時，運動員在空中最高處點開始做翻騰、打開動作．正常情況下，運動員在距水面高度米之前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤，運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．
【問題解決】：請根據(jù)上述研究步驟與相關數(shù)據(jù)，完成下列任務．
（1）直接寫出運動員在空中最高處點的坐標及入水處點的坐標．
（2）若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好與軸的水平距離為米，問該運動員此次跳水會不會失誤？說明理由．
（）在該運動員入水處點正前方有，兩點，且，，該運動員入水后運動路線對應的拋物線的解析式為．若該運動員出水處點在之間（包括，兩點），請求出的取值范圍．
2.中考體育考試規(guī)定男生立定跳遠滿分為，如圖①，小勇立定跳遠為，小聰發(fā)現(xiàn)小勇立定跳遠時腳的運動軌跡可近似看作拋物線，通過電子儀器測量得到小勇跳遠時腳離地面的最高距離為，如圖②，以小勇起跳點為原點建立平面直角坐標系，小勇落地點為A，最高點為B．

(1)求小勇跳遠時拋物線的表達式；
(2)體育老師告訴小勇他的跳遠姿勢不對，調整跳遠姿勢后，小勇恰好跳到了處，并在處通過電子儀器測得小勇腳離地面的高度為．
①求小勇跳到最高處時腳離地面的高度；
②若男生立定跳遠及格線為，求小勇在立定跳遠過程中到及格線時腳離地面的高度．
3.如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，籃球運行的水平距離為2.5米時達到最大高度，在如圖所示的直角坐標系中，拋物線的表達式為，沿此 拋物線籃球可準確落入籃圈．
(1)求籃圈中心到地面的距離為多少米．
(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
(3)籃球被投出后，對方一名近身防守運動員跳起蓋帽，這名防守運動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）
4.某游戲愛好者設計了一款“袋鼠跳”的游戲．其中某一環(huán)節(jié)的游戲規(guī)則為：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成兩段連續(xù)跳躍（兩段跳躍的運動軌跡呈現(xiàn)的拋物線形狀相同），若跳躍后到達點處即可通關，否則不能通關．如圖，袋鼠運動軌跡近似為拋物線的一部分，已知袋鼠第一段（）跳躍軌跡的最高點到地面的距離為，與起跳點的水平距離為，點與起跳點的水平距離為；點與點的水平距離為，點到地面的距離為．以起跳點為原點，地面所在水平方向為軸，過點垂直于軸的方向為軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)求該袋鼠第一段（）跳躍的運動軌跡所在拋物線的函數(shù)表達式；
(2)請判斷該袋鼠是否能通關，并說明理由．
【題型8 實物問題】
1.【綜合探究】運用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況
在大自然里，有很多數(shù)學的奧秘．如圖是一片美麗的心形葉片，圖是一棵生長的幼苗，它們的葉片形狀都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
【探究一】確定心形葉片的形狀
(1)如圖，建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分．已知該圖象過原點，求拋物線的解析式及頂點的坐標．
【探究二】探究心形葉片的寬度
(2)如圖，在的條件下，心形葉片的對稱軸直線與坐標軸交于，兩點，拋物線與軸交于另一點，點，是葉片上的一對對稱點，交直線于點求葉片此處的寬度．
【探究三】探究幼苗葉片的長度
(3)小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分；如圖，幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究一中的拋物線．已知直線點為葉尖與水平線的夾角為，求幼苗葉片的長度．
2.某校為準備建校二十周年慶典活動，在操場上布置一個舞臺，需要搭一條拋物線型燈鏈，最初的設計方案如圖1所示，燈鏈兩端連接等高的，兩點，點、分別位于點、正下方的地面處，且、的水平距離為米．點在線段上，且米．以為原點，以所在直線為軸，垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系，點為拋物線與軸交點，圖描畫的是部分拋物線圖象，點，點．
(1)求圖2中第二象限內的拋物線表達式；（不必寫出自變量的取值范圍）
(2)為使燈鏈造型更加美觀，對方案進行修改：以軸為對稱軸構造段拋物線的軸對稱圖形，形成一個“類組合拋物線”．
①直接寫出第一象限內的拋物線表達式；（不必寫出自變量的取值范圍）
②若在組合拋物線燈鏈上掛兩個燈籠，且兩燈籠離地面的高度均為米，求兩個燈籠之間的最大水平距離．
3.如圖，這是型滑板場地軌道示意圖，兩側和是各自所在拋物線的一部分，分別為其所在拋物線的最低點，且軌道和所在拋物線的形狀相同，其中 ．為了確保場地安全，需在軌道左側和右側進行加固，安裝統(tǒng)一規(guī)格的支架，兩側的支架完全一致，其中左側的支架由四段構成，右側的支架由四段構成．以線段所在直線為軸，線段所在直線為軸建立平面直角坐標系．
(1)求軌道所在拋物線的函數(shù)表達式．
(2)支架的要求為垂直于線段所在的直線，平行于線段所在的直線，且．請通過計算，確定軌道兩側需要的支架材料的最短長度．
4.問題背景：
綜合與實踐課上，老師讓同學們設計一個家電裝置圖案，某小組設計的效果圖如圖所示．
外形參數(shù)：
如圖1，裝置整體圖案為軸對稱圖形，外形由上方的拋物線，中間的矩形和下方的拋物線組成．拋物線的高度為，矩形的邊，，拋物線的高度為．在裝置內部安裝矩形電子顯示屏，點，在拋物線上，點，在拋物線上．
問題解決：
如圖2，該小組以矩形的頂點為原點，以邊所在的直線為軸，以邊所在的直線為軸．建立平面直角坐標系．請結合外形參數(shù)，完成以下任務：
(1)直接寫出，，三點的坐標；
(2)直接寫出拋物線和的頂點坐標，并分別求出拋物線和的函數(shù)表達式；
(3)為滿足矩形電子顯示屏的空間要求，需要邊的長為，求此時邊的長．
【題型9 情境問題】
1.綜合與實踐
【問題背景】排隊是生活中常見的場景，如圖，某數(shù)學小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關系．
【研究條件】
條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)=現(xiàn)場總人數(shù)-已入場人數(shù)；
條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．
【模型構建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總人數(shù)與安檢時間之間滿足關系式：
結合上述信息，請完成下述問題：
（1）當開通3條安檢通道時，安檢時間分鐘時，已入場人數(shù)為__________，排隊人數(shù)與安檢時間的函數(shù)關系式為_________.
【模型應用】
（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達到最大值，最大人數(shù)為多少？
（3）已知該演出主辦方要求：
①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內（包含10分鐘）減少；
②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．
若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由
【總結反思】
函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性．
2.綜合與實踐問題情境：無人機憑借其靈活，不受場地限制的特點，已在多個領域實現(xiàn)廣泛應用．當無人機在空中向平坦地面投放物資時，理想狀態(tài)下(忽略空氣阻力)，物資的運動路徑可近似用拋物線描述，其豎直高度與距投放點的水平距離之間的函數(shù)表達式為．其中，表示投放物資時無人機與水平地面的豎直距離(單位：米)，表示投放物資時無人機的水平初速度(單位：米/秒)，取為米/秒．
實踐探究：如圖，號無人機在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物資，號無人機在號無人機豎直上方米處以米/秒的速度，投放物資，已知號，號無人機及物資，的落點在同一豎直平面內，以投放點所在豎直線為軸，水平地面為軸建立平面直角坐標系，物資的運動路徑即為拋物線，物資的運動路徑即為拋物線．
問題解決：
(1)請結合圖中相關數(shù)據(jù)，求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)請求出兩物資落點間的水平距離；
(3)多機同時投放物資時，可能存在物資相撞的問題．
①若，號無人機同時投放物資A，B，請直接寫出兩物資相撞時與水平地面的豎直距離；
②由于實際投放需求，，號無人機需同時投放物資，，且物資落點不變，為避免，兩物資相撞，在保持，號無人機仍在同一豎直線上投放的前提下，僅通過改變號無人機的投放高度及水平初速度解決該問題，已知無人機投放物資的最低飛行高度要求為50米，求號無人機投放物資的水平初速度的取值范圍（兩無人機不能在同一點同時投放）．
3.綜合與實踐
【問題情境】在校園運動會開幕式中，如圖，運動會火炬手小明需要用火種點燃的箭頭，然后射向距離發(fā)射點水平距離為70米、距地面的豎直高度為20米處的一個點火臺上，已知點火臺是一個弓形，其中米，且垂直平分這支箭（大小忽略不計）飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分．記這支箭飛行的水平距離為d（單位：m），距地面的豎直高度為h（單位：m）．獲得的數(shù)據(jù)如表：
0 10 20 30 40 50 60 70
k
【問題解決】
(1)k的值為 ．
(2)在平面直角坐標系中，描點，并用平滑的曲線將8個點依次連接；
(3)求出h與d的函數(shù)解析式；
(4)小明射出的箭的運動軌跡與線段有公共點時，說明這支箭就可以射入點火臺內了，請判斷小明射出的箭是否射入了點火臺內？說明理由．
4.問題情境：如圖1，矩形是學校花園的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段組成的封閉圖形，點在矩形的邊上．現(xiàn)要對該花壇內種植區(qū)域進行劃分，以種植不同花卉，學校面向全體同學征集設計方案．
方案設計：如圖2，米，的垂直平分線與拋物線交于點，與交于點，點是拋物線的頂點，且米．玥玥同學設計的方案如下：
第一步：在線段上確定點，使，用籬笆沿線段分隔出區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段上取點（不與重合），過點作的平行線，交拋物線于點，．用籬笆沿將線段與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實施：學校采用了玥玥的方案，在完成第一步區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩9米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需確定與的長．為此，如圖3建立平面直角坐標系．解決問題：
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當9米材料恰好用完時，分別求與的長；
(3)種植區(qū)域分隔完成后，玥玥又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形．她嘗試借助圖2設計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段上．求符合設計要求的矩形周長的最大值．
【題型10 圖表問題】
1.為方便懸掛電子屏幕，學校需要在校門上方的拋物線形框架結構上增加立柱．為此，某數(shù)學興趣小組開展了綜合與實踐活動，記錄如下：
活動主題 為校門上方的拋物線形框架結構增加立柱
活動準備 1．去學校檔案館查閱框架結構的圖紙； 2．準備皮尺等測量工具．
采集數(shù)據(jù) 圖1是校門及上方拋物線形框架結構的平面示意圖，信息如下： 1．大門形狀為矩形（矩形）； 2．底部跨度（的長）為； 3．立柱的長為，且，垂足為．
設計方案 考慮實用和美觀等因素，在間增加兩根與垂直的立柱，垂足分別為，立柱的另一端點在拋物線形框架結構上，其中．
確定思路 小組成員經(jīng)過討論，確定以點為坐標原點，線段所在直線為軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．點的坐標為，設拋物線的表達式為，分析數(shù)據(jù)得到點或點的坐標，進而求出拋物線的表達式，再利用表達式求出增加立柱的長度，從而解決問題．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
(1)求拋物線的表達式；
(2)現(xiàn)有一根長度為的材料，如果用它制作這兩根立柱，請你通過計算，判斷這根材料的長度是否夠用（因施工產(chǎn)生的材料長度變化忽略不計）
2.隨著城市短距離出行需求的變化，共享滑板車成為一種新興的出行方式．某共享出行公司在A、B兩個區(qū)域投放共享滑板車，相關信息如下：
信息1 A區(qū)域初始投放了100輛共享滑板車，B區(qū)域初始投放了20輛．將一輛滑板車從A區(qū)域調配到B區(qū)域，包含車輛運輸與系統(tǒng)重置在內，成本為100元；公司基于運營數(shù)據(jù)和區(qū)域需求預測，規(guī)定每次只能從A區(qū)域向B區(qū)域調配滑板車，且調配數(shù)量不能超過20輛
信息2 B區(qū)域共享滑板車的日租借率會隨著從A區(qū)域調配來的滑板車數(shù)量變化．當從A區(qū)域調配x輛滑板車到B區(qū)域時，B區(qū)域共享滑板車的日租借率為，但受限于B區(qū)域的停車空間和市場容量，日租借率最高不超過
信息3 每輛共享滑板車成功租借一次，公司可獲得10元收入
問題1 在信息一的條件下，若從A區(qū)域調配x輛滑板車到B區(qū)域，用含x的式子表示調配這些滑板車的總成本y（元），并寫出x的取值范圍
問題2 在滿足信息二的條件下，求B區(qū)域共享滑板車的公司日租借收入W關于x的函數(shù)關系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
問題3 公司為激勵運維團隊在滑板車調配工作中的積極性，制定了兩種獎勵方案： 方案一：每調配一輛滑板車，獎勵負責調配的運維人員40元． 方案二：一次性給予運維團隊800元獎勵． 請計算并分析在不同調配數(shù)量下，選擇哪種方案對運維團隊更有利？
3.綜合與實踐
項目式學習：安全用電，防患未然
項目背景 近年來，隨著電動自行車保有量不斷增多，火災風險持續(xù)上升．據(jù)悉，約的火災都在充電時發(fā)生．某校八年級數(shù)學創(chuàng)新小組，開展以“安全用電，防患未然”為主題的項目式學習，對電動自行車充電車棚的消防設備進行研究．
素材1 調查分析：圖1懸掛的是8公斤干粉滅火器，圖2是其噴射截面示意圖，在中，米，噴嘴O到地面的距離米．
素材2 模型構建：由于干粉滅火器只能撲滅明火，不能撲滅電池內部的燃燒，在火災發(fā)生時需要大量的水持續(xù)給電池降溫，才能保證電池內部自燃熄滅，不會復燃．學校考慮給新建的電動自行車充電車棚安裝消防噴淋頭，如圖3，噴淋頭噴灑的水柱最外層的形狀為拋物線． 學校的停車棚左側靠墻建造，如圖4，其截面示意圖為矩形，創(chuàng)新小組以點O為坐標原點，墻面所在直線為y軸，建立平面直角坐標系． 已知消防噴淋頭的出水口M到墻面的水平距離為2米，到地面高度為米，即米，米，水噴射到墻面D處，且米．
素材3 問題解決：已知車棚寬度為8米，電動車的電池距離地面高度為米．創(chuàng)新小組想在噴淋頭M的同一水平線上加裝一個噴淋頭N，使消防噴淋頭噴灑的水柱可以覆蓋所有電動車電池．
任務解決
任務1 （1）求圖2中地面有效保護直徑的長度；
任務2 （2）求該水柱外層所在拋物線的函數(shù)解析式； （3）按照此安裝方式，噴淋頭M的地面有效保護直徑為多少米？
任務3 （4）噴淋頭N距離噴淋頭M至少為多少米？
4.根據(jù)以下素材，探索完成任務．
設計跳長繩方案
素材1：某校組織跳長繩比賽，要求如下：（1）每班需要報名跳繩同學9人，搖繩同學2人： （2）跳繩同學需站成一路縱隊，原地起跳，如圖1．
素材2：某班進行賽前訓練，發(fā)現(xiàn)： （1）當繩子搖至最高處或最低處時，可近似看作兩條對稱分布的拋物線，已知搖繩同學之間水平距離為6m，繩子最高點為2m，搖繩同學的出手高度均為1m，如圖2； （2）9名跳繩同學身高如右表． 身高（m）1.701.731.751.80人數(shù)2241
素材3：觀察跳繩同學的姿態(tài)（如圖3），發(fā)現(xiàn)：（1）跳繩時，人的跳起高度在0.25m及以下較為舒適： （2）當長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂?shù)降孛娴母叨仁巧砀叩模?br/>問題解決
（1）任務1：確定長繩形狀．請在圖2中以長繩觸地點為原點建立直角坐標系，并求出長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式．
（2）任務2：確定排列方案．該班班長決定：以長繩的觸地點為中心，將同學按“中間高，兩邊低”的方式對稱排列，同時保持0.45m的間距．請計算當繩子在最高點時，長繩是否會觸碰到最邊側的同學．
（3）任務3：方案優(yōu)化改進，據(jù)最邊側同學反映：由于跳起高度過高，導致不舒適，希望作出調整，班長給出如下方案：搖繩同學在繩即將觸地時，將出手高度降低至0.85m．此時中段長繩將貼地形成一條線段（線段），而剩余的長繩則保持形狀不變，如圖4．請你通過計算說明，該方案是否可解決同學反映的問題．
參考答案
【題型1 銷售問題】
1.（1）解：設該公司生產(chǎn)銷售每件商品的成本為元，由題意得
，
解得：，
答：該公司生產(chǎn)銷售每件商品的成本為元；
（2）解：由題意得
，
整理得：，
解得：，，
當時，
（元），
當時，
（元），
答：當實際銷售價格定為元或元時，日銷售利潤為660元；
（3）解：設捐贈后的日銷售利潤為元，由題意得
，
對稱軸為直線，
當價格浮動的百分點大于時，扣除捐贈后的日銷售利潤隨的增大而減小，
當時，隨的增大而減小，
，
解得：，
，
．
2.（1）解：設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，
由題意得，，
解得，
答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；
（2）解：設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品個，
由題意得，，
解得，
∴m的最小值為200，
答：至少需要購進B款紀念品200個；
（3）解：由題意得，
，
∵，
∴當，即時，W最大，最大值為4500．
3.（1）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是件；
故答案為：；
（2）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
根據(jù)題意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要讓利于游客，舍去，
∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.
（3）解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，
則
，
∵，
∴當時，取最大值為640元，此時銷售價為38元，
答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．
4.（1）解：∵當時，元，
∴，
∴，
∴；
由題意得：，
由表格可得：當時，，當時，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：設每年的總利潤為W元，則，
由題意：，
∴
，
∵，
∴當時，W有最大值，但x為正整數(shù)，拋物線的對稱軸為直線，
∴當或18時，W有最大值，W的最大值為14548元，
∴當種植17棵或18甲果樹時，兩種果樹所獲得的年總利潤最大，最大利潤是14548元．
【題型2 拱門問題】
1.（1）解：根據(jù)題意可得，
把代入到中得，解得．
∴拋物線的函數(shù)關系式為，
∴拋物線的對稱軸為直線．
（2）解：令，得，解得，，
∴點A的坐標為，點B的坐標為，
∴．
∵，
∴，
即自動檢票通道的總寬度為．
2.（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的解析式為，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，拋物線的對稱軸為直線，
∵一輛寬3.2米，高4.6米的貨車需要通過該城門進入城區(qū)，
∴當時，，
該貨車能安全通行；
（3）解：，
設點的橫坐標為，的長度為，則，
對稱軸為直線，則，即，，
，
當，最大，，
（元），
答：最多需要花費2600元．
3.（1）解：由題意知：，，
方案一中拋物線的頂點，
設拋物線的函數(shù)表達式為，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：在中，令，
可得：，
解得：或，
，
，
，
．
4.（1）解：由表格得：
，
頂點坐標為，
，
，
解得：，
．
（2）解：由表格得
當時，，
原拱門中：（）；
新拱門中：
當時，
解得：，，
（），
，
．
故答案：．
【題型3 投球問題】
1.（1）解：網(wǎng)球飛行過程中在點處達到最高，
設拋物線的解析式為：，
把代入，得：，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：此次擊球越過球網(wǎng)并落在對方區(qū)域內（含邊界）；理由如下：
∵，
當時，，
網(wǎng)球越過球網(wǎng)，
當時，，
網(wǎng)球落在對方區(qū)域；
此次擊球越過球網(wǎng)并落在對方區(qū)域內；
（3）解：把代入，得：，
，
當時，，
解得：，
當時，，
解得：，
，
的最大值為．
2.
【分析】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)與軸的交點坐標，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)與一元二次方程的關系是解題的關鍵．由題得，代入，得出拋物線的解析式為，令，求解即可，
【詳解】解：由題意，，
得，
將代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴為，
故答案為：．
3.（1）解：由題意得，拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為，即
（2）解：能，理由如下：
當時，，
當時，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在運行中，高于，并落在的中點處，
∴小明拋出的乒乓球能投入箱子.
4.（1）解：①因為排球飛行到距離球網(wǎng)時達到最大高度，，
∴拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的表達式為，
∵點在拋物線上，
∴，
解得，
∴；
②當時， ，
∴可以過球網(wǎng)，
當時，，
∴排球不出邊界；
（2）解：設擊出的排球軌跡為，
當該軌跡經(jīng)過球網(wǎng)的頂端坐標時，
，
解得，
∴，
令得，即此時；
當該軌跡經(jīng)過右邊界的坐標時，
，
解得，
∴，
令得，即此時；
∴若排球既能過網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），h的取值范圍是．
【題型4 拱橋問題】
1.（1）解：由題意可知點B的坐標為，
設函數(shù)關系式為，代入得，
解得：，
∴拋物線的解析式為，
（2）解：如圖，設圓心為M，設圓的半徑為r米，由題意得于點C，于點T，連接，
則米，
∴，解得米，
根據(jù)題意可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴能順利通行，船航行線路是船的中心線沿航行；
（3）解：∵該河段水位再漲達到最高，燈籠底部距離水面不小于，燈籠長，
∴當懸掛點的縱坐標，
即懸掛點的縱坐標的最小值是，
當時，，
∴，
∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是：；
方案一：如圖3（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈籠，
∵，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為，
∴若頂點一側懸掛4盞燈籠時，，
若頂點一側懸掛3盞燈籠時，，
∴頂點一側最多懸掛3盞燈籠，
∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛7盞燈籠，
方案二：從距頂點處開始掛燈籠，如圖4，
∵若頂點一側懸掛5盞燈籠時，，
若頂點一側懸掛4盞燈籠時，，
∴頂點一側最多懸掛4盞燈籠，
∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛8盞燈籠．
2.解：建立平面直角坐標系，如圖所示：
則拋物線頂點坐標為，，即，
設該拋物線的表達式為，
將代入得，
解得，
該拋物線的表達式為．
3.（1）解：∵線段表示水面，橋墩跨度為，拋物線的頂點到軸的距離是．
∴，拋物線的頂點坐標為，
設該拋物線的函數(shù)表達式，
∵高度，
∴把代入，
得，
解得，
∴該拋物線的函數(shù)表達式，
（2）解：由（1）得，對稱軸為直線，
∵第一串彩燈平行于水面掛設，彩燈兩端，皆在拋物線上，
設點，
∵點，關于對稱軸對稱，
則，
∴，
∵另外兩串彩燈，都垂直于水面掛設，且點，距離水面，
∴，
∴
∵，
∴當時，有最大值，最大值為31.6米．
4.（1）解：水面的寬為36米．水面離橋拱頂點的高度18米．
，
可設二次函數(shù)的表達式為，
將代入得，，解得：，
二次函數(shù)的表達式為
（2）解：存在，理由如下：
如圖，由、關于對稱軸對稱，連接交對稱軸于，連接，此時的值最小．
由題意得，
設直線的解析式為，則有，
解得，
直線的解析式為．
拋物線的對稱軸，
將代入，得，
；
（3）解：水面離橋拱頂點的高度為7米，即水面。
將代入得：
，
，
水面寬度：，
船高2.5米，水面, 橋拱。
船頂高度：，
橋拱在(船半寬)處的高度：，
，且，
游船能正常通過．
【題型5 隧道問題】
1.（1）解：由題意得拋物線的頂點為，
設該隧道截面所在拋物線的函數(shù)表達式為，
，
．
將代入，得，
解得．
該隧道截面所在拋物線的函數(shù)表達式為，
（2）解：滿足安裝設計要求，過程如下．
依題意米，米．
如圖，延長交拋物線于點．
當米時，則．
把代入，得．
點到地面距離為（米）．
，
滿足安裝設計要求．
2.（1）解：∵O為的中點，，
∴，
∴，
設拋物線解析式為，
則，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，，
∴，
∴，
∴當時，，
∴左側車道不能通過，
當時，，
∴右側車道能通過，
∴該貨車應按右側車道行駛能通過．
3.（1）解：由題意得，拋物線最高點到地面的距離約為12米，
∴，，
設拋物線的解析式為，
將代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵矩形和矩形，
∴設拋物線的對稱軸交于點，交于點，交于點，如圖，
∴，
∴，
當時，，
∴米，，
∵，
∴設，，則，
∴點的縱坐標為，橫坐標為，
∴點，
∵點在拋物線上，
∴，
整理得，
解得或(舍去)，
∴點．
4.（1）解：由題意得，頂點為，即，
設拋物線的解析式為：
代入點得，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：能安全通過，理由如下：
如圖，
由題意得：，
將代入，
則，
∵，
∴能安全通過．
【題型6 噴水問題】
1.（1）解：描點、連線、圖象如圖；
；
（2）解：該函數(shù)是二次函數(shù)，由和可知，拋物線的對稱軸為直線，
當時，，
∴水柱最高點距離湖面的高度是米；
由圖象可得，頂點，
設二次函數(shù)的關系式為，
把代入可得，
∴；
將和代入拋物線關系式，左邊等于右邊，所有的點都在二次函數(shù)圖象上，
∴可以確認該函數(shù)是二次函數(shù)，
∴與之間的函數(shù)關系式為；
（3）解：游船寬度米，在拋物線的正下方通過，令，
代入（2）中所得拋物線解析式得，
由已知，頂棚到水面的高度為2米，頂棚到水柱的垂直距離不小于米，
∴，
∵，
∴不能正常通過；
（4）解：當時，即，
解得（舍去）或，
∵噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，
∴圓的半徑至少為（米），
∴至少需要準備欄桿（米），
∴公園至少需要準備米的護欄．
2.解：（1）由題意得：為上邊緣拋物線的頂點，
設，
又∵拋物線過點，
，
解得：，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點為，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，
當時，
解得，（舍去），
∴
∴點B的坐標為；
（3）∵矩形，其水平寬度米，豎直高度米，米，
則（米）
∴點F的坐標為，
當時，，
當時，y隨x的增大而減小，
∴灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶．
3.（1）解：根據(jù)題意得噴水口在拋物線上，
代入中，
得，
解得：；
（2）解：∵，
∴拋物線解析式為：，
∵該樓距離地面米處出現(xiàn)一個起火點，
∴代入拋物線中，
得：，
整理：，
解得：，都大于0，
∴消防車需要再向前行進米或米才能滅掉該起火點；
（3）解：∵伸縮臂與水平方向的夾角為，且，
設伸長伸縮臂后將出水口向左平移米，再向上平移米．
則長伸縮臂后新拋物線的解析式為：，
根據(jù)題意得：
當時， ，即，
解得：，
當時， ，伸縮臂長為米，
∵，符合題意．
當時， ，伸縮臂長為米，
∵， 不符合題意，舍去．
故伸縮臂應伸長米．
4.（1）解：∵
∴，
①∵噴出的水恰好達到岸邊
∴拋物線過，
∵拋物線過原點，
∴拋物線的對稱軸是直線，
∵拋物線的頂點在直線上，
∴當時，，
∴拋物線水線最大高度是米；
②∵拋物線水線最大高度達4米，
∴拋物線頂點的縱坐標為，
當 時，，
解得：，
∴拋物線的頂點是，
∴，
∵拋物線過原點，
∴，
解得，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的頂點在直線上，
∴，
解得：，
∵噴出的拋物線水線不能到岸邊，出水口離岸邊，
∴，即，
解得．
【題型7 跳躍問題】
1.解：（1）∵，
∴點A的坐標為，
當時，，
解得或(舍去)，
點B的坐標為
（2）∵運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好與y軸的水平距離為3米，
∴運動員調整好入水姿勢的點的橫坐標為3，
∴當時，，
∴調整點的坐標為，
∴運動員此時距離水面高度為（米）
∵，
∴運動員此次跳水不會失誤；
（3）∵，，
∵.
∵人水處點，
∴，①
當拋物線經(jīng)過點M時，，②
由①②聯(lián)立方程組，解得；
當拋物線經(jīng)過點N時，，③
由①③聯(lián)立方程組，解得
∵出水處點D在之間(包括M，N兩點)，
∴
2.（1）解：由題意可知，
∵點為最高點，則
∴，
設小勇跳遠時拋物線的表達式，
將代入表達式可得：，解得：，
∴小勇跳遠時拋物線的表達式為：，
即：；
（2）①由題意可知，調整跳遠姿勢后，小勇跳遠時拋物線過，，
設調整跳遠姿勢后，小勇跳遠時拋物線為，
將代入表達式可得：，解得：，
∴，
當時，有最大值0.625，
∴小勇跳到最高處時腳離地面的高度；
②當時，，
∴求小勇在立定跳遠過程中到及格線時腳離地面的高度．
3.（1）解：根據(jù)已知可得，籃圈中心的橫坐標為，
在中，令得，
籃圈中心的縱坐標為3.05，
籃圈中心到地面的距離為3.05米；
（2）解：設球出手時，他跳離地面的高度是米，則出手點坐標為，
，
解得，
球出手時，他跳離地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
兩名運動員之間的距離不能超過1米．
4.（1）解：由題意知，袋鼠第一段（）跳躍的運動軌跡所在拋物線的頂點為，且拋物線過點，
設該拋物線的解析式為，將點代入得：
，
解得：，
袋鼠第一段（）跳躍的運動軌跡所在拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）該袋鼠不能通關，理由如下：
當時，，
，
第一次跳躍的拋物線起點為，終點為，第二次跳躍的拋物線起點也是，
第二次跳躍的拋物線是由第一次跳躍的拋物線向右平移個單位，在向上平移個單位得到，第二次跳躍的拋物線頂點為，
又 ，
根據(jù)題意，該袋鼠第二次跳躍的運動軌跡所在拋物線的函數(shù)表達式為，
當時，，
該袋鼠跳躍后不能到達點處，故該袋鼠不能通關．
【題型8 實物問題】
1.解：心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，且圖象過原點，將代入得：
，解得：，
拋物線的解析式為，
頂點的坐標為；
拋物線與軸交于另一點，點，是葉片上的一對對稱點，
當時得：，
解得：，，
點的坐標為，
點，關于直線對稱，
，
直線與軸的正半軸的夾角，
，
可設的解析式為，將點的坐標代入得：，解得：，
的解析式為，
聯(lián)立得：，
解得：，
點的坐標為，
，
；
作拋物線的對稱軸于點，則，
直線與水平線的夾角為，
，
設點的橫坐標為，
拋物線的對稱軸為直線，
，
頂點的坐標為，
點的縱坐標為，
點在拋物線上，
，
解得：，
點的坐標為，
．
2.（1）解：中點的橫坐標為，
拋物線對稱軸為，設第二象限內的拋物線表達式為，
將、，
代入，，
解得，，
∴第二象限內的拋物線表達式為．
（2）①∵第二象限內的拋物線表達式為，軸為對稱軸，
∴第一象限內的拋物線表達式；，
②對于左側拋物線，當時，
即，解得，．
對于右側拋物線，當時，
即，解得，．
∴兩個燈籠之間的最大水平距離為（米）．
3.（1）解：由題意，可得點，且為軌道AB所在拋物線的頂點，
可設該拋物線的表達式為，代入點，
，
解得，
軌道AB所在拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：由（1）得．
由題意，易得．
，
，
．
設點，則點，
．
設軌道兩側需要的支架材料的長度為，
．
當時，的最小值為．
答：軌道兩側需要的支架材料的最短長度為15.5m．
4.（1）解：∵矩形的邊，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵裝置整體圖案為軸對稱圖形，
如圖，作出對稱軸，分別交拋物線于，交拋物線于，交矩形于，，
結合矩形和拋物線的對稱性，可得直線是拋物線和的對稱軸，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵拋物線的高度為，拋物線的高度為，直線是拋物線和的對稱軸，
∴，，
∴拋物線和的頂點坐標分別為，，
分別設拋物線和的表達式為，，
將代入，
解得，
則拋物線的表達式為；
將代入，
解得；
則拋物線的表達式為；
（3）解：∵裝置整體圖案為軸對稱圖形，
∴，，
∵軸，
∴軸，
∵是矩形，
∴，
∴軸，
∴，
設，
∴，，
∴，
解得：或（在對稱軸右側，舍），
∴，
由拋物線對稱性可得．
【題型9 情境問題】
1.解：（1）若開設3條安檢通道，安檢時間為分鐘，則已入場人數(shù)為（用表示），若排隊人數(shù)為，則與的函數(shù)表達式為
（2）
當時，
（3）設開了條通道則：
對稱軸為
∵排隊人數(shù)10分鐘（包括10分鐘）內減少
，即：
又最多開通9條
為正整數(shù)，
最小值為7 ，
最少開7條通道．
2.（1）解：∵，號無人機的速度為：，
∴，
根據(jù)圖可得：時，，
代入，得，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為：．
（2）解：根據(jù)題意可得：號無人機的速度為：，高度為：，
結合題意可得，
當時，，
解得：（負值已舍去），
當時，，
解得：（負值已舍去），
∵，
故兩物資落點間的水平距離為米．
（3）解：①當兩物資相撞時，，
即，
解得：，
將代入，得
解得：，
故兩物資相撞時與水平地面的豎直距離為米；
②由（2）可得：物資的落點坐標為，物資的落點坐標為，
將，，代入，得，
整理得：，
∵，
故隨的減小而增大，
∵物資，的落點不變，要使得物資，不相撞，
即兩個拋物線無交點，
故可降低物資的投放高度，使其低于物質的投放高度，
當物資的投放高度與物質的投放高度一致時，即，
代入，得，
解得：（負值已舍去），
∵無人機投放物資的最低飛行高度要求為50米，即，
代入，得，
解得：（負值已舍去），
∴號無人機投放物資的水平初速度的取值范圍為．
3.（1）解：∵這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，
根據(jù)表格數(shù)據(jù)與時的函數(shù)值相等，
∴對稱軸為直線，
∴與時的函數(shù)值相等，
∵當時，，
∴當時，．
故答案為：．
（2）解：描點，用平滑的曲線依次連接如圖所示．
（3）解：依題意可知，拋物線的頂點坐標為
∴設二次函數(shù)的解析式為：，
當時，，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
（4）解：小王不能將這支箭射入圣火臺，理由：
∵水平距離為70米、距地面的豎直高度為20米處的一個點火臺上，已知點火臺是一個弓形，其中米，垂直平分，
當時，
，
當時，
，
∵，，
∴箭的軌跡在點火臺的上方，
∴小王不能將這支箭射入圣火臺．
4.（1）解：所在直線是的垂直平分線，且，
．
點的坐標為，
，
點的坐標為，
點是拋物線的頂點，
設拋物線的函數(shù)表達式為，
點在拋物線上，
，
解得：．
拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）解：由點在拋物線上，
不妨設點的坐標為，
，交軸于點，
，
．
在中，，
．
，
根據(jù)題息，得，
，
解得：（不符合題意，舍去），
．
，
答：的長為6米，的長為3米．
（3）解：如圖矩形燈帶為，
根據(jù)題意，得，，，
設直線和的表達式分別為：，
故，
解得，
故直線和的表達式分別為：，
設點，
則矩形周長，
根據(jù)拋物線的性質，得拋物線的最大值為，
故矩形周長的最大值為米．
【題型10 圖表問題】
1.（1）解：由題意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由題意，可知：，
∴關于軸對稱，
∵，
∴當時，，
∴，
∵，
故這根材料的長度夠用．
2.解：問題1：調配這些滑板車的總成本為：；
問題2：∵日租借率最高不超過，
∴，
解得：，
，
拋物線的對稱軸為直線，
∴當時，W隨x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值為：
；
問題3：當時，，
當時，，
當時，，
∴當調配數(shù)量不足20輛時，選擇方案二運維團隊更有利；當調配數(shù)量為20輛時，選擇方案一或方案二都相同；當調配數(shù)量超過20輛時，選擇方案一運維團隊更有利．
3.解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴圖2中地面有效保護直徑的長度為；
（2）由題意得，點M的坐標為，，
設該水柱外層所在拋物線的函數(shù)解析式為，
把代入中得：，解得，
∴該水柱外層所在拋物線的函數(shù)解析式為；
（3）在中，當時，解得或，
∴，
∴米，
∴噴淋頭M的地面有效保護直徑為米；
（4）設噴淋頭N在噴淋頭M的右側，且二者相距t米，
則噴淋頭N的水柱外層所在拋物線的函數(shù)解析式為，
當拋物線恰好經(jīng)過時，
則，
解得或（舍去），
∴噴淋頭N距離噴淋頭M至少為米．
4.解：（1）如圖建立平面直角坐標系：
設長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式為：，
∵經(jīng)過點，
，
解得：，
∴長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式為：；
（2）最右側同學所在的橫坐標為： ，
當時，，
∵長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂?shù)降孛娴母叨仁巧砀叩模?br/>∴最右側同學屈膝后的身高為：，
，
∴繩子在最高點時，長繩不會觸碰到最邊側的同學；
（3）當繩子搖至最低處時，拋物線解析式可表示為，
∵出手高度降低至，
∴拋物線下降，
∴下移后的拋物線解析式為：，
當時，，
∴方案能解決同學反映的問題．

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