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【培優(yōu)專題】二次函數(shù)中線段、周長、面積最值問題的四類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中求線段最值的問題
知識點：1.平面直角坐標(biāo)系中線段長度計算，如平行于坐標(biāo)軸的線段用坐標(biāo)差的絕對值表示，一般線段用兩點間距離公式。2.二次函數(shù)的最值性質(zhì)：開口方向決定頂點是最大值或最小值點，可通過配方法或頂點公式求最值。 解題技巧：1.轉(zhuǎn)化線段長度為二次函數(shù)表達(dá)式，如將動點坐標(biāo)代入長度公式，整理成關(guān)于自變量的二次函數(shù)。2.結(jié)合函數(shù)開口方向和自變量取值范圍（由動點位置限制確定），求二次函數(shù)的最值，即線段的最值。
例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；
(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線上方時，過點P作軸于點E，與直線交于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．m為何值時線段的長度最大，并求出最大值．
【答案】(1)，
(2)當(dāng)m時，PD是最大值
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)和直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過，，，
∴將三點坐標(biāo)代入解析式得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵直線經(jīng)過A、B兩點，設(shè)直線解析式為，
∴將A、B兩點代入得，
解得，
∴直線解析式為，
∵點C是直線與y軸交點，
∴令，則，
∴．
（2）解：∵點P在直線上方，
∴，
由題知，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，是最大值．
【變式】如圖1，拋物線與坐標(biāo)軸交于O，B兩點，直線與拋物線交于A，B兩點，已知點B的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線和一次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖2，P為拋物線上位于上方的一點，過點P作x軸的垂線交于點C，求的最大值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確求出函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵．
（1）把分別代入拋物線和一次函數(shù)解析式，求出，，即可得到答案；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為．
類型二、二次函數(shù)中求線段和最值的問題
知識點：1.兩點間距離公式及平面幾何中線段和的性質(zhì)，如對稱點到兩點距離相等。2.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，動點坐標(biāo)可表示為含自變量的代數(shù)式，便于轉(zhuǎn)化線段和為函數(shù)表達(dá)式。 解題技巧：1.利用對稱轉(zhuǎn)化，將折線和化為直線距離（如作某點關(guān)于對稱軸或坐標(biāo)軸的對稱點，轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短）。2.建立函數(shù)模型，用動點坐標(biāo)表示線段和，結(jié)合二次函數(shù)最值性質(zhì)（頂點或端點）求解，注意自變量取值范圍對結(jié)果的限制。
例2．如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點在點的左側(cè)），點，在拋物線上．設(shè)動點坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)為何值時矩形的周長有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
(2)當(dāng)時，矩形的周長有最大值，最大值為．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)．
（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式，化成頂點式，即可求得頂點坐標(biāo)；
（2）由拋物線的對稱性得，據(jù)此知，再由時，根據(jù)矩形的周長公式列出函數(shù)解析式，配方成頂點式即可得．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，
∴，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵點，在拋物線上，
∴點，關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴由拋物線的對稱性得，
，
當(dāng)時，，則點的縱坐標(biāo)為，
矩形的周長
，
，
當(dāng)時，矩形的周長有最大值，最大值為．
【變式】已知，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
(1)求點A、B、C三點的坐標(biāo)；
(2)過點A作交拋物線于點P，求四邊形的面積；
(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點M，使的周長最小？若存在，請直接寫出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)存在，
【分析】（1）分別令，求出點和點，點的坐標(biāo)即可；
（2）先求出直線的解析式，進(jìn)而求出的解析式，聯(lián)立拋物線解析式組成方程組求出點的坐標(biāo)，再利用分割法來求解即可；
（3）延長到點，使，過點作軸于點，連接，則與的交點即為點，易得到，進(jìn)而求出點，易得到解析式，聯(lián)立直線解析式組成方程組求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
解得；
點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
點坐標(biāo)為．
（2）解：，
∴設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：；
直線解析式：．
，設(shè)直線的解析式為：，把代入得：
；
則直線解析式為：，
聯(lián)立解析式有：
解得，；
點坐標(biāo)為；
．
（3）解：存在．
延長到點，使，過點作軸于點，連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
與關(guān)于對稱，且為的中點，
點坐標(biāo)為，，
∴的周長為：，
∴當(dāng)在線段上時，的周長最小，
同（2）法可得：直線的解析式為；
聯(lián)立方程組，
解得
點的坐標(biāo)為；
此時，，
的周長最小值為；
在線段上存在一點，使的周長最小為．
【點晴】本題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)的求法，函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法，圖形面積的求法，最短路徑，二元一次方程組的解法，理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
類型三、二次函數(shù)中求周長最值的問題
知識點：1.平面圖形周長的構(gòu)成，由多條線段長度之和組成，需明確各邊與二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)關(guān)系。2.二次函數(shù)的最值性質(zhì)及坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化，如平行坐標(biāo)軸線段用坐標(biāo)差，一般線段用距離公式。 解題技巧：1.分解周長為已知固定線段與可變線段之和，轉(zhuǎn)化為求可變線段和的最值。2.利用對稱或幾何模型（如兩點之間線段最短）轉(zhuǎn)化可變線段和，結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式求最值，注意動點坐標(biāo)的取值范圍限制。
例3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點C，使得最小，并求出C點的坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：
（1）分別令，進(jìn)行求解即可；
（2）作點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸的交點即為點．
【詳解】（1）解：∵，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，；
∴；
（2）解：∵，
∴對稱軸為直線，
作點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接，則：與對稱軸的交點即為點，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為：，
把代入，得：，
解得：；
∴，
∴當(dāng)時，；
∴．
【變式】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點為該拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線，連接交對稱軸于點，由點、關(guān)于對稱軸對稱可得，即得，由兩點之間線段最短，可知此時的值最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而即可求解；
【詳解】（1）解：把代入拋物線得，，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵拋物線，
∴拋物線對稱軸為直線，
連接交對稱軸于點，
∵點、關(guān)于對稱軸對稱，
，
，
由兩點之間線段最短，可知此時的值最小，最小值即為線段的長，
設(shè)直線的解析式為，
把代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
．
類型四、二次函數(shù)中求面積最值的問題
知識點：1.平面圖形面積計算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐標(biāo)法求面積（割補法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形）。2.二次函數(shù)動點坐標(biāo)特征，可表示為含自變量的代數(shù)式，將面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)表達(dá)式。 解題技巧：1.用動點坐標(biāo)表示圖形的底和高，結(jié)合面積公式列出關(guān)于自變量的二次函數(shù)。2.確定自變量取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)開口方向，求頂點或端點處的最值，注意利用割補法簡化面積計算。
例4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點D為直線上方拋物線上一動點，連接、，設(shè)直線交線段于點E，的面積為，的面積為，求的最大值；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識點，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到，，代入，解方程組即可；
（2）過D作軸交于M，過B作軸交于N，
令，解方程得到，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴，，
∵拋物線經(jīng)過A、C兩點，
∴，
∴，
∴；
（2）過D作軸交于M，過B作軸交于N，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴當(dāng)時，的最大值是．
【變式】如圖1，已知拋物線經(jīng)過三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求周長的最小值；
(3)如圖2，若E是線段上的一個動點（E與A，D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②S存在最大值，最大值為7，此時點
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)是定值，可得當(dāng)最小時，的周長最小，再由點A、B關(guān)于對稱軸l對稱，可得，從而得到的周長最小的最小值為，即可求解；
（3）①先求出直線的解析式，再由點E的橫坐標(biāo)為m，可得點，點，從而得到，然后根據(jù)四邊形的面積，得到S與m的函數(shù)關(guān)系；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過三點，
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，連接交于點P，
∵，
∴，是定值，
∴當(dāng)最小時，的周長最小，
∵點A、B關(guān)于對稱軸l對稱，
∴，
∴，
∴的周長最小的最小值為，
∴，
∴，
∴的周長最小的最小值為；
（3）解：①∵，
∴頂點，
如圖，
設(shè)直線的解析式為，
把點，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵點E的橫坐標(biāo)為m，
∴點，
∵軸，
∴點，
∴，
∴四邊形的面積
，
即；
②存在，
，
∵，
∴當(dāng)時，S取得最大值，最大值為7，此時點．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題．
一、解答題
1．如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與軸交于點和點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，點為直線下方拋物線上的點，過點作軸交于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)最大值為，此時
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式為，設(shè)，，則，即可得出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：把，，代入得：
，
解得，
拋物線的表達(dá)式為，
（2）解：在二次函數(shù)中，令，得，
解得：，
，
設(shè)直線的解析式為，將代入得，
，解得，
直線的解析式為，
設(shè)，，
軸，
，
，
，
當(dāng)時，最大值為，此時．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，與軸交于點．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點的坐標(biāo)；
(2)點是線段上一動點，點是線段上一動點，且，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】對于（1），將點代入得出方程組，求出解即可；
對于（2），先作軸，截取，得，再證明，
可得，即，然后求出直線的關(guān)系式，接下來根據(jù)勾股定理求出，當(dāng)共線時，最小，最后根據(jù)勾股定理求出答案．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：，頂點；
（2）解：過點在第二象限作軸，截取，則，
∵，
∴，
∴，
則．
設(shè)直線的關(guān)系式為，
將點代入關(guān)系式，
得，
解得，
∴直線的關(guān)系式為，
當(dāng)時，，
∴點，
∴．
∵，
∴．
根據(jù)勾股定理，得，
∴．
當(dāng)共線時，最小，
則，
即的最小值為．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，求一次函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，當(dāng)三點共線時取得最小值是解題關(guān)鍵．
3．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使的值最小，求點P的坐標(biāo)；
(3)動點M在第四象限內(nèi)的拋物線上，求四邊形ACMB面積最大時點M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的面積和線段綜合，求二次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，再把，，代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，即可求a、b、c，進(jìn)而可得函數(shù)解析式．
（2）連接，交對稱軸于P，P即為使的值最小，設(shè)直線的解析式，把B、C的坐標(biāo)代入即可求得系數(shù)，進(jìn)而求得解析式，令時，即可求得P的坐標(biāo)．
（3）先分析出四邊形ACMB面積，結(jié)合是一個定值，故要使四邊形ACMB面積最大，則的面積最大，再整理得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，得開口向下，當(dāng)時，有最大值，然后求出點M的縱坐標(biāo)，即可作答．
【詳解】（1）解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，
把，，代入得
，
解得，
∴這個二次函數(shù)的解析式是：．
（2）解：∴，
∴拋物線的對稱軸為，
連接，如圖所示：
設(shè)直線的解析式為，
∴
解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時， ，
∴P點的坐標(biāo)為；
（3）解：過點作軸，分別與軸和交于點，連接，如圖所示：
則四邊形ACMB面積，
∵是一個定值，
∴要使四邊形ACMB面積最大，則的面積最大，
設(shè)，
則，
∴．
則
∵
∴開口向下，當(dāng)時，有最大值，
∴即時，四邊形ACMB面積最大，
此時把代入，
得，
∴．
4．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，與軸交于點，頂點為點．
(1)求點，，的坐標(biāo)；
(2)對稱軸上有一點，當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo)；
(3)二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得，若存在請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．
【答案】(1)點A、B、C的坐標(biāo)分別為：
(2)
(3)或或或
【分析】（1）對于，當(dāng)時，，令，則或3，即可求解；
（2）點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接交拋物線對稱軸于點P，則點P為所求點，即可求解；
（3）由，則，即可求解．
【詳解】（1）解：對于，
當(dāng)時，，
令，則
解得：或3，
即點A、B、C的坐標(biāo)分別為：；
（2）解：點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接交拋物線對稱軸于點P，則點P為所求點，
由（1）點，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴當(dāng)時，，
即點；
（3）解：存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，點，
∵，則，
∴，即，
解得：或，
即點Q的坐標(biāo)為：或或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，兩點，且與軸的另一個交點為，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)已知點是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)．
(3)是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，求四邊形面積S的最大值及此時點的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)四邊形面積S的最大值為，此時點
【分析】（1）把點，點的坐標(biāo)帶入，再根據(jù)對稱軸，解出，，，即可；
（2）設(shè)直線與對稱軸的交點為點，設(shè)直線的解析式為：，把點，點的坐標(biāo)代入，求出解析式，再根據(jù)點在上，求出點的坐標(biāo)；根據(jù)直線垂直平分，則，；根據(jù)等量代換，三角形三邊的關(guān)系，則，當(dāng)點在直線上，則有最小值，根據(jù)，是定值，即可；
（3）根據(jù)題意，則點，過點作軸交于點，則點，求出的值，根據(jù)四邊形面積為：，且，當(dāng)時，有最大值；再根據(jù)，即當(dāng)時，四邊形面積有最大值，最后根據(jù)點在，即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，兩點，
∴，
∵對稱軸為直線，
∴，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：設(shè)直線與對稱軸的交點為點，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：；
∴點，
∵直線垂直平分，
∴，
∴，，
當(dāng)點與點重合時，，此時有最小值，
∴，此時的值最小，
∵，是定值
∴當(dāng)點時，有最小值，
∴．
（3）解：過點作軸交于點，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
∵四邊形的面積，，
∴，
∴，
當(dāng)時，有最大值，，
∵，
∴當(dāng)時，四邊形面積有最大值為：，
∴．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩點間線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，拋物線的頂點為，與 x 軸交于 A、B 兩點，且 B，與y 軸交于點 C ．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)對稱軸上是否存在點 N ，使的周長最小，若存在，請求出點坐標(biāo)，若 不存在，請說明理由；
(3)在直線的下方拋物線的圖象上能否找到一點 P ，使四邊形的面積最大？若能，請求出面積的最大值及點 P 的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點坐標(biāo)為
(3)存在，面積的最大值為，點P的坐標(biāo)為．
【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積等，解題的關(guān)鍵是用含x的式子表示出的長度．
（1）設(shè)函數(shù)的解析式為，將B代入求出a值即可；
（2）令，求出點A坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，中，的長度固定，點A、點B關(guān)于直線對稱，當(dāng)點N是對稱軸與直線的交點時，之和最小，即的周長最小，求出點N的坐標(biāo)即可；
（3）過點P作軸于點E，交于點F，設(shè)，則，F(xiàn) ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可．
【詳解】（1）解：拋物線的頂點為，
設(shè)函數(shù)的解析式為，
又函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，
解得，
，
即拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）解：存在，
函數(shù)的圖象與y軸交于點C，
，
，
令，得，
解得，，
，
∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為，可得，
解得，
故直線的解析式為：，
∵中，的長度固定，點A、點B關(guān)于直線對稱，
∴當(dāng)點N是對稱軸與直線的交點時，之和最小，即的周長最小，
將代入中得：，
∴點N的坐標(biāo)是；
（3）解：如圖，過點P作軸于點E，交于點F，設(shè)，則，
點F的坐標(biāo)為．
，
，
當(dāng)時，有最大值，最大值為，
此時四邊形的面積最大，最大值為
時，，
在直線的下方拋物線的圖象上能否找到一點 P ，使四邊形的面積最大，面積的最大值為，點P的坐標(biāo)為．
7．如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
(1)求直線和拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，直線上方的拋物線上有一點，過點作于點，求線段的最大值；
(3)點是拋物線的頂點，點是軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以為頂點的四邊形是以為邊的矩形，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)直線解析式為；拋物線表達(dá)式為
(2)線段的最大值為
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，則可求得點C的坐標(biāo)與拋物線的對稱軸，從而求得點D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）設(shè)交y軸于點E，則為等腰直角三角形；過F作軸交于點N，則為等腰直角三角形，；設(shè)，則，根據(jù)題意建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解；
（3）分兩種情況：當(dāng)點P在的右邊時，設(shè)直線交y軸于點R，易得，求出直線的解析式，得點R的坐標(biāo)；設(shè)，由四邊形為矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得點P的坐標(biāo)，結(jié)合平移的性質(zhì)可求得點Q的坐標(biāo)；當(dāng)點P在的左邊時，同理求得點P的坐標(biāo)，結(jié)合平移的性質(zhì)可求得點Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：把A、B兩點坐標(biāo)分別代入中，得：，
解得：，
∴；
上式中令，得，即；
∵拋物線的對稱軸為直線，C、D關(guān)于對稱軸對稱，
∴;
設(shè)直線解析式為，把A、D兩點坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線解析式為；
（2）解：如圖，設(shè)交y軸于點E，
當(dāng)時，，則，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴；
過F作軸交于點N，則，
∴為等腰直角三角形，
∴；
設(shè)，則，
∴，
由于二次項系數(shù)為負(fù)，則當(dāng)時，有最大值，
∴；
即的最大值為；
（3）解：如圖，當(dāng)點P在的右邊時，設(shè)直線交y軸于點R，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴當(dāng)時，，
即；
設(shè)直線的解析式，則有，解得，
∴直線的解析式，
上式中令，則，即；
設(shè)，
∵四邊形為矩形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得：，即；
∵，
∴由平移得；
如圖，當(dāng)點P在的左邊時，
同理：由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
由平移得：；
綜上，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練的建立二次函數(shù)模型再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，且點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為1．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)為直線上方的拋物線上一動點，過點作軸交直線于點．
（ⅰ）當(dāng)線段取最大值時，求點的坐標(biāo)；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，過點作交直線于點，若拋物線與線段只有一個交點，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）先求出直線的表達(dá)式為，然后求出點的坐標(biāo)為，將點代入，求出，即可得出答案；
（2）（ⅰ）過點作軸于點，交直線于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)也為，得出，，求出， 根據(jù)二次函數(shù)的最值，得出當(dāng)時，取得最大值，求出結(jié)果即可；
（ⅱ）先求出當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，，當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，，得出答案即可．
【詳解】（1）解：點在直線上，
，
解得，
直線的表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為，
，
，
將點代入，得，
解得，
拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：（ⅰ）如圖，過點作軸于點，交直線于點．
設(shè)直線與軸交于點，則點的坐標(biāo)為．
，
．
，，
，
，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)也為，
，，
，
當(dāng)時，取得最大值，
，
點的縱坐標(biāo)也為．
令，
解得，
點的坐標(biāo)為．
（ⅱ）由題意，得點的坐標(biāo)為．
如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，
，
解得，
當(dāng)時，，
此時拋物線與線段有兩個交點，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，
，
解得，
當(dāng)時，，
此時拋物線與線段有一個交點，
綜上所述，若拋物線與線段只有一個交點，則．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的特點．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【培優(yōu)專題】二次函數(shù)中線段、周長、面積最值問題的四類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中求線段最值的問題
知識點：1.平面直角坐標(biāo)系中線段長度計算，如平行于坐標(biāo)軸的線段用坐標(biāo)差的絕對值表示，一般線段用兩點間距離公式。2.二次函數(shù)的最值性質(zhì)：開口方向決定頂點是最大值或最小值點，可通過配方法或頂點公式求最值。 解題技巧：1.轉(zhuǎn)化線段長度為二次函數(shù)表達(dá)式，如將動點坐標(biāo)代入長度公式，整理成關(guān)于自變量的二次函數(shù)。2.結(jié)合函數(shù)開口方向和自變量取值范圍（由動點位置限制確定），求二次函數(shù)的最值，即線段的最值。
例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；
(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線上方時，過點P作軸于點E，與直線交于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．m為何值時線段的長度最大，并求出最大值．
【變式】如圖1，拋物線與坐標(biāo)軸交于O，B兩點，直線與拋物線交于A，B兩點，已知點B的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線和一次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖2，P為拋物線上位于上方的一點，過點P作x軸的垂線交于點C，求的最大值．
類型二、二次函數(shù)中求線段和最值的問題
知識點：1.兩點間距離公式及平面幾何中線段和的性質(zhì)，如對稱點到兩點距離相等。2.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，動點坐標(biāo)可表示為含自變量的代數(shù)式，便于轉(zhuǎn)化線段和為函數(shù)表達(dá)式。 解題技巧：1.利用對稱轉(zhuǎn)化，將折線和化為直線距離（如作某點關(guān)于對稱軸或坐標(biāo)軸的對稱點，轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短）。2.建立函數(shù)模型，用動點坐標(biāo)表示線段和，結(jié)合二次函數(shù)最值性質(zhì)（頂點或端點）求解，注意自變量取值范圍對結(jié)果的限制。
例2．如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點在點的左側(cè)），點，在拋物線上．設(shè)動點坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)為何值時矩形的周長有最大值？最大值是多少？
【變式】已知，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
(1)求點A、B、C三點的坐標(biāo)；
(2)過點A作交拋物線于點P，求四邊形的面積；
(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點M，使的周長最小？若存在，請直接寫出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
類型三、二次函數(shù)中求周長最值的問題
知識點：1.平面圖形周長的構(gòu)成，由多條線段長度之和組成，需明確各邊與二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)關(guān)系。2.二次函數(shù)的最值性質(zhì)及坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化，如平行坐標(biāo)軸線段用坐標(biāo)差，一般線段用距離公式。 解題技巧：1.分解周長為已知固定線段與可變線段之和，轉(zhuǎn)化為求可變線段和的最值。2.利用對稱或幾何模型（如兩點之間線段最短）轉(zhuǎn)化可變線段和，結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式求最值，注意動點坐標(biāo)的取值范圍限制。
例3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點C，使得最小，并求出C點的坐標(biāo)；
【變式】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點為該拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo)．
類型四、二次函數(shù)中求面積最值的問題
知識點：1.平面圖形面積計算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐標(biāo)法求面積（割補法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形）。2.二次函數(shù)動點坐標(biāo)特征，可表示為含自變量的代數(shù)式，將面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)表達(dá)式。 解題技巧：1.用動點坐標(biāo)表示圖形的底和高，結(jié)合面積公式列出關(guān)于自變量的二次函數(shù)。2.確定自變量取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)開口方向，求頂點或端點處的最值，注意利用割補法簡化面積計算。
例4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點D為直線上方拋物線上一動點，連接、，設(shè)直線交線段于點E，的面積為，的面積為，求的最大值；
【變式】如圖1，已知拋物線經(jīng)過三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求周長的最小值；
(3)如圖2，若E是線段上的一個動點（E與A，D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
一、解答題
1．如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與軸交于點和點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，點為直線下方拋物線上的點，過點作軸交于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，與軸交于點．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點的坐標(biāo)；
(2)點是線段上一動點，點是線段上一動點，且，求的最小值．
3．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使的值最小，求點P的坐標(biāo)；
(3)動點M在第四象限內(nèi)的拋物線上，求四邊形ACMB面積最大時點M的坐標(biāo)．
4．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，與軸交于點，頂點為點．
(1)求點，，的坐標(biāo)；
(2)對稱軸上有一點，當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo)；
(3)二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得，若存在請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．
5．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，兩點，且與軸的另一個交點為，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)已知點是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)．
(3)是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，求四邊形面積S的最大值及此時點的坐標(biāo)．
6．如圖，拋物線的頂點為，與 x 軸交于 A、B 兩點，且 B，與y 軸交于點 C ．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)對稱軸上是否存在點 N ，使的周長最小，若存在，請求出點坐標(biāo)，若 不存在，請說明理由；
(3)在直線的下方拋物線的圖象上能否找到一點 P ，使四邊形的面積最大？若能，請求出面積的最大值及點 P 的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
7．如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
(1)求直線和拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，直線上方的拋物線上有一點，過點作于點，求線段的最大值；
(3)點是拋物線的頂點，點是軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以為頂點的四邊形是以為邊的矩形，求點的坐標(biāo)．
8．如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，且點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為1．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)為直線上方的拋物線上一動點，過點作軸交直線于點．
（ⅰ）當(dāng)線段取最大值時，求點的坐標(biāo)；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，過點作交直線于點，若拋物線與線段只有一個交點，直接寫出的取值范圍．

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