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【培優(yōu)專題】 二次函數(shù)中含字母參數(shù)的圖象和性質(zhì)問題的五類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中含參數(shù)的圖象和性質(zhì)
知識點：1.含參數(shù)二次函數(shù)的基本形式（y=ax +bx+c，a≠0）中，參數(shù)a、b、c對圖象開口方向（a的符號）、對稱軸（x=-b/(2a)）、頂點坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸交點的影響。2.判別式Δ=b -4ac與參數(shù)的關(guān)系，決定圖象與x軸交點個數(shù)，以及函數(shù)最值（頂點縱坐標(biāo)）的表達式。 解題技巧：1.對參數(shù)分類討論，如按a的符號分開口向上/向下，按對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系分析單調(diào)性。2.結(jié)合數(shù)形結(jié)合，畫出動態(tài)圖象草圖，標(biāo)注頂點、交點等關(guān)鍵點，根據(jù)參數(shù)范圍鎖定圖象特征，解決零點分布、最值范圍等問題。
例1．已知二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為
B．當(dāng)時，的值隨的增大而增大
C．當(dāng)，時，的取值范圍是
D．當(dāng)時，的最大值為8，則或
【答案】D
【知識點】y=ax +bx+c的圖象與性質(zhì)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)條件和二次函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷原說法的正誤即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時，，頂點坐標(biāo)是，故原說法錯誤，不符合題意；
B、當(dāng)時，，當(dāng)時，的值隨的增大而增大，但前提條件沒有說，故原說法錯誤，不符合題意；
C、當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，故原說法錯誤，不符合題意；
D、拋物線對稱軸是直線．
若，則時，的最大值為8，
∴，
∴；
若，則時，的最大值為8，
∴，
∴．
∴當(dāng)時，的最大值為8，則或，正確，符合題意；
故選：D．
【變式1-1】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，．則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，拋物線的對稱軸為直線
B．若且，則的取值范圍為或
C．若，則拋物線的開口向下
D．若，點在該拋物線上，且，則有
【答案】D
【知識點】y=ax +bx+c的圖象與性質(zhì)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)：
若，把點代入，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；求出拋物線與x軸的另一個交點為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象，即可求解；
若，把點代入可得，再由，可得，，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，然后根據(jù)，可得，再根據(jù)，可得到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)時，點，
把點代入得：，
解得：，
∴該函數(shù)解析式為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線；選項A說法正確，不符合題意；
令，則，
解得：，
∴拋物線與x軸的另一個交點為，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴當(dāng)時，m的取值范圍為或；選項B說法正確，不符合題意；
若，
把點代入得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴拋物線開口向下，選項C說法正確，不符合題意；
拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，
∴．選項D說法錯誤，符合題意；
故選：D．
【變式1-2】二次函數(shù)，有下列結(jié)論：
①該函數(shù)圖象過定點；
②當(dāng)時，函數(shù)圖象與軸無交點；
③函數(shù)圖象的對稱軸不可能在軸的右側(cè)；
④當(dāng)時，點，是曲線上兩點，若，，則．
其中，正確的結(jié)論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】y=ax +bx+c的圖象與性質(zhì)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，將拋物線整理為，即可判斷①，將代入并計算即可判斷②，計算拋物線的對稱軸并根據(jù)即可判斷③；根據(jù)題意確定對稱軸的范圍后可確定、的位置，再根據(jù)增減性即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
當(dāng)時，，
該函數(shù)圖象過定點，故①正確；
當(dāng)時，，
，
函數(shù)圖象與軸無交點，故②正確；
拋物線的對稱軸為：，
，
，
當(dāng)時，對稱軸在軸左側(cè)，當(dāng)時，對稱軸在軸右側(cè)，故③錯誤；
，
，
，，
，在對稱軸左側(cè)，，在對稱軸右側(cè)，
，
拋物線開口向上，在對稱軸左側(cè)，隨增大而減小，在對稱軸右側(cè)，隨增大而增大，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
此時，，
，
，
，故④錯誤，
故選：B．
類型二、利用二次函數(shù)的增減性求最值問題中的參數(shù)的值多解問題
知識點：1.二次函數(shù)增減性與對稱軸的關(guān)系：開口向上時，對稱軸左側(cè)遞減、右側(cè)遞增；開口向下時則相反。2.含參數(shù)時，對稱軸位置（x=-b/(2a)）隨參數(shù)變化，影響給定區(qū)間內(nèi)的最值點（端點或頂點）。 解題技巧：1.分情況討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系（在區(qū)間左、內(nèi)、右側(cè)），結(jié)合增減性確定最值對應(yīng)的點，列方程求解參數(shù)。2.驗證解的合理性：將求得的參數(shù)代入對稱軸，檢查是否符合分類前提，避免漏解或增解，確保多解均滿足區(qū)間內(nèi)最值條件。
例2．已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，則 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分、和三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，
又∵當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，
∴當(dāng)即時，時取最大值，即，
解得，
當(dāng)即時，號時取最大值，即，
則
∵，方程沒有實數(shù)根，
當(dāng)時即，時取最大值，即，
解得
綜上，的值為或，
故答案為：或．
【變式2-1】已知拋物線，為實數(shù)，當(dāng)時，的最大值為4，此時的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
先求出函數(shù)的對稱軸為，判斷函數(shù)的開口向上，判斷出當(dāng)時，取最大值4，代入從而求得答案；
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為，函數(shù)圖象開口向上，
，
，
∴當(dāng)時，取最大值4，
，
解得：，
故答案為：或．
【變式2-2】已知二次函數(shù)．若當(dāng)時，的最大值為5，則的值為 ．
【答案】1或
【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分與時兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列式解答即可．本題考查了二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，要注意分與兩種情況討論求解，有一定的難度．
【詳解】解：依題意，二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∵，
∴當(dāng)時，拋物線開口向上，在對稱軸直線右側(cè)y隨x的增大而增大，
當(dāng)時y有最大值5，
，
解得：，
當(dāng)時，拋物線開口向下，時y有最大值5，
，
解得，
故答案為：1或．
類型三、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號問題
知識點：1.二次項系數(shù)a：決定開口方向（a>0向上，a<0向下）及開口寬窄（|a|越大越窄）。2.一次項系數(shù)b與常數(shù)項c：b與x軸交點個數(shù)。結(jié)合a決定對稱軸位置（x=-b/(2a)），c為圖象與y軸交點縱坐標(biāo)（c>0交正半軸，c<0交負(fù)半軸）；判別式Δ=b -4ac反映與x軸交點個數(shù)。 解題技巧：1.從圖象特征逆向推系數(shù)符號：開口方向定a，y軸交點定c，對稱軸位置結(jié)合a定b，交點個數(shù)定Δ。2.利用特殊點輔助判斷：如x=1時y=a+b+c的符號（對應(yīng)點在x軸上方則為正），x=-1時y=a-b+c的符號，增強判斷依據(jù)。
例3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②③；④（為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的為 ．
【答案】②③④
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，根據(jù)開口方向，對稱軸，與軸的交點位置，判斷①，特殊點結(jié)合對稱軸判斷②，特殊點結(jié)合平方差公式判斷③，最值判斷④即可．
【詳解】解：由圖象可知：，
∴，
∴；故①錯誤，
當(dāng)時，，
∴；故②正確；
∵時，函數(shù)有最小值，且由圖象可知最小值為：，
∴，故③正確；
，
∴；故④正確；
故答案為：②③④
【變式3-1】如圖，拋物線的對稱軸為直線，且過點，有下列結(jié)論①；②；③；④；其中所有正確的結(jié)論是 ．
【答案】①②③
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
根據(jù)二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)對序號依次判斷即可．
【詳解】由圖像可知，，，
∴，故①正確．
當(dāng)x=時，y=0，
即
∴
∴
∴，故②正確．
由對稱軸為，與x軸一個交點為可知與x軸另一個交點為
即
化簡得，故③正確．
∵對稱軸為
∴
∴，
將代入有
即
∴，故④錯誤．
綜上所述①②③正確．
故答案為①②③．
【變式3-2】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于、兩點，與軸交于點．對稱軸為直線，且，下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點、點在該二次函數(shù)圖象上，當(dāng)且時，則其中正確的結(jié)論是 (填寫正確結(jié)論的序號)
【答案】①③④
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．拋物線與軸的交點，熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．特別是利用好題目中的，是解題的關(guān)鍵．由二次函數(shù)圖象的對稱軸而可判斷①；由時，，結(jié)合，即可判斷②；判斷直線過，兩點，根據(jù)圖象即可判斷③；由題意可知點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離即可判斷④．
【詳解】解：對稱軸為直線，
，
，
，故①正確；
時，，
，
，
，
，故②錯誤；
，，
，
，
直線與軸的交點為，
直線過，兩點，
觀察圖象，若，則，故③正確；
由題意可知點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
拋物線開口向下，
．故④正確；
故答案為：①③④．
類型四、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷問題
知識點：1.三類函數(shù)圖象基本特征：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是直線，k定傾斜方向，b定與y軸交點；反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）是雙曲線，k定象限；二次函數(shù)y=ax +bx+c（a≠0）是拋物線，a定開口，對稱軸和頂點影響形狀。2.系數(shù)符號關(guān)聯(lián)性：同一題中參數(shù)（如k、a、b）在不同函數(shù)中需保持一致，可通過圖象特征交叉驗證。 解題技巧：1.先從特征明顯的函數(shù)突破（如拋物線開口定a，雙曲線象限定k），再代入其他函數(shù)驗證系數(shù)符號是否矛盾。2.利用特殊點或?qū)ΨQ性質(zhì)輔助判斷，排除系數(shù)符號沖突的選項，鎖定符合所有函數(shù)圖象邏輯的答案。.
例4．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，若點P的橫坐標(biāo)為，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象得出是解題的關(guān)鍵．先求出，，再求出，最后判斷一次函數(shù)圖象即可．
【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，，，
當(dāng)時，，
∴的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
故選：D．
【變式4-1】已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象，由一次函數(shù)的圖象判斷出 ，再判斷二次函數(shù)的圖象特征，進而求解．
【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象可得： ，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸，在軸的右側(cè)，與軸的交點在正半軸，符合題意的只有A，
故選：A．
【變式4-2】一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則二次函數(shù)的圖像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，觀察圖像可知：，，，得出二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸，與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，即可得出答案．
【詳解】解：觀察圖像可知：，，，
∴二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸，與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，
故選：B．
【變式4-3】二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由二次函數(shù)的圖象可得：，，，可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，的圖象在二，四象限，從而可得答案．
【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得：，，，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，
的圖象在二，四象限，
∴B，C，D不符合題意，A符合題意；
故選A
【點睛】本題考查的是由二次函數(shù)的圖象判斷各項系數(shù)的符號，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，熟記一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
類型五、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決含參數(shù)的綜合問題
知識點：1.含參數(shù)二次函數(shù)的核心性質(zhì)：開口方向（a的符號）、對稱軸（x=-b/(2a)）、頂點坐標(biāo)、最值與參數(shù)的關(guān)系，以及判別式Δ與零點個數(shù)的關(guān)聯(lián)。2.函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化：參數(shù)影響下，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點分布對應(yīng)方程根的情況，區(qū)間內(nèi)函數(shù)值符號對應(yīng)不等式解集。 解題技巧：1.分類討論參數(shù)對關(guān)鍵特征的影響，如對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，分情況分析單調(diào)性與最值，建立參數(shù)方程。2.數(shù)形結(jié)合動態(tài)分析：繪制含參數(shù)的函數(shù)草圖，標(biāo)注頂點、端點等關(guān)鍵點，結(jié)合參數(shù)范圍鎖定圖象形態(tài)，通過交點、最值條件列關(guān)系式求解，驗證解的合理性。
例5．在平面直角坐標(biāo)系中，點是拋物線上任意一點．
(1)若，求該拋物線的對稱軸；
(2)已知點在該拋物線上，若存在，恰好使．比較的大小，并說明理由．
【答案】(1)直線
(2)，理由見解析
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)拋物線的增減性求解．
（1）把點代入求得，即可根據(jù)對稱軸公式求得答案；
（2）根據(jù)各點到對稱軸的距離判斷y值大小．
【詳解】（1）解：，，點是拋物線上任意一點，
拋物線過點，
即，
拋物線對稱軸為直線，即該拋物線的對稱軸為直線；
（2）理由如下：
設(shè)拋物線對稱軸為直線則拋物線上點關(guān)于對稱軸的對稱點為，
存在，恰好使，
，
拋物線開口向下，
在對稱軸的左側(cè)y隨x增大而增大．
又關(guān)于對稱軸的對稱點為且，
點，，都在對稱軸左側(cè)，且
【變式5-1】已知拋物線的頂點在軸上．
(1)求的值；
(2)拋物線上兩點，．若，則______（填“”、“”或“”）；
(3)若點，為拋物線上的兩點，且，求出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
（1）先配方成頂點式，再利用頂點在x軸上列方程，解方程可得答案；
（2）首先得到拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，進而求解即可；
（3）根據(jù)題意得到點C到對稱軸的距離大于點D到對稱軸的距離，然后得到，進而求解即可．
【詳解】（1）∵，
∵拋物線的頂點在軸上，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
∵拋物線上兩點，，，
∴；
（3）∵點，為拋物線上的兩點，且，
∴點C到對稱軸的距離大于點D到對稱軸的距離，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴
∴
解得．
【變式5-2】已知拋物線過點．
(1)求的值和拋物線與軸的交點坐標(biāo)．
(2)將拋物線進行平移得到拋物線，若點，分別在拋物線，上，
①若，且直線與拋物線只有一個交點，求直線的表達式．
②若，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式求解，一次函數(shù)解析式的求解，一次函數(shù)與二次函數(shù)方程聯(lián)立，求出a的值，即可知拋物線與的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)拋物線過點，將點代入拋物線方程中即可求解a的值，再令即可求解拋物線與軸的交點坐標(biāo)；
（2）①設(shè)出直線方程，將點和點代入直線方程結(jié)合可求解k的值，再根據(jù)直線與拋物線只有一個交點，聯(lián)立直線與拋物線方程由判別式為零可求解b的值，即可得直線方程；
②根據(jù)可表示點，，再表示，由二次函數(shù)的最值即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，
∴，解得，
∴拋物線方程為，
令，，
∴拋物線與軸的交點坐標(biāo)為；
（2）解：①由（1）知，，
∴，
設(shè)直線的表達式為，
∵點，在直線上，
∴，
兩式相減，，
又∵，
∴，解得，
∴直線的表達式為，
∴聯(lián)立直線與拋物線：
，消y得，，
整理得，，
∵直線與拋物線只有一個交點，
∴，
即，解得，
∴直線的表達式為；
②∵，
∴點，，
∵點，分別在拋物線，上，
∴，，
則
，
令，是一個開口向下的二次函數(shù)，在對稱軸處取得最大值，
對稱軸，
將代入中，得：
，
∴的最大值為
【變式5-3】已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）．
(1)若拋物線經(jīng)過，求二次函數(shù)解析式．
(2)在（1）的條件下，拋物線上有一點，向右平移3個單位后仍在該拋物線上，求點的坐標(biāo)．
(3)若拋物線上有且僅有一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的三倍，令，是否存在一個常數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或3
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、新定義，分類求解是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入解析式計算即可求解；
（2）設(shè)點，則平移后點的坐標(biāo)為：，將該點的坐標(biāo)代入即可求解；
（3）由拋物線上有且僅有一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的三倍得到方程且，即可得到，再根據(jù)與的位置關(guān)系分情況討論分別求最小值即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，
∴，
解得，
∴拋物線的表達式為：；
（2）解：設(shè)點，則平移后點的坐標(biāo)為：，
將該點的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
則點的坐標(biāo)為：；
（3）解：存在，
理由：
一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的三倍的點所在圖形解析式為：，
得方程組，，整理得：，
∵拋物線上有且僅有一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的三倍，
∴，即
∴，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，在范圍內(nèi)隨的增大而減小，則函數(shù)在時取得最小值，即，解得或（舍去）；
當(dāng)，即時，則函數(shù)在頂點時取得最小值，即（舍去）；
當(dāng)，即時，則函數(shù)在時取得最小值，即則或（舍去）；
綜上，或3．
一、單選題
1．如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．拋物線向下平移個單位后，一定經(jīng)過
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征、頂點坐標(biāo)公式以及平移性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的圖象特征、頂點坐標(biāo)公式以及拋物線平移的性質(zhì)，對每個選項進行分析判斷．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴，故A正確．
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，故B正確．
∵拋物線的頂點橫坐標(biāo)為，
∴，故C錯誤．
拋物線向下平移個單位后，解析式為．
當(dāng)時，．
由可得，
∴，
∴拋物線向下平移個單位后一定經(jīng)過，故D正確．
故選：C．
2．已知二次函數(shù)在時最小值為，則b的值為（ ）
A．4 B．4或 C． D．或
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意易得二次函數(shù)開口向上，其最小值可能在頂點或區(qū)間端點處，需分頂點在區(qū)間內(nèi)、左側(cè)、右側(cè)三種情況討論，結(jié)合最小值條件求解．
【詳解】解：由二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，開口向上，且頂點坐標(biāo)為，
當(dāng) 即 時，頂點處取最小值，代入頂點坐標(biāo)得：
則，
解得 ，即 ；
∴；
當(dāng) 即 時，最小值在 處，
則
解得 ，滿足 ；
當(dāng) 即 時，最小值在 處，
則，
解得 ，但 不成立，舍去，
綜上，或．
故選：B．
3．關(guān)于x的二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A．函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大
C．函數(shù)圖象一定經(jīng)過點
D．當(dāng)時，函數(shù)圖象與x軸一定有兩個交點
【答案】B
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由題意得，函數(shù)圖象的對稱軸是直線；若，則當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，若，則當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小；由題意可知函數(shù)圖象一定經(jīng)過點，當(dāng)時，根據(jù)，可知函數(shù)圖象與x軸一定有兩個交點，即可得出答案．
【詳解】解：函數(shù)圖象的對稱軸是直線，
故A選項正確，不符合題意；
若，則當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，若，則當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小，
故B選項不正確，符合題意；
將代入，得，
∴函數(shù)圖象一定經(jīng)過點，
故C選項正確，不符合題意；
∵，
∴當(dāng)時，，
∴此時函數(shù)圖象與x軸一定有兩個交點，
故D選項正確，不符合題意．
故選：B．
4．已知二次函數(shù)的圖象如圖，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象得出a，b，c的大小是解題的關(guān)鍵．
先求出，，再判斷一次函數(shù)圖象即可．
【詳解】∵二次函數(shù)圖象開口向上，
∴；
∵對稱軸在軸右側(cè)，
∴，
∴；
∵與軸交點在負(fù)半軸，
∴．
對于一次函數(shù)，，，，故，
∴一次函數(shù)圖象過二、三、四象限．
故選：D．
二、填空題
5．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是8，則 ．
【答案】或
【詳解】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．先求得對稱軸，根據(jù)的取值，再分和兩種情況討論求得即可．
【解答】解：函數(shù)的對稱軸為直線，
①當(dāng)時，則時，函數(shù)的最大值是8，
把代入得，，
解得；
②當(dāng)時，則時，函數(shù)的最大值是8，
把代入得，，
解得，
故答案為：或．
6．如圖，二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③（m為常數(shù)）；④若關(guān)于x的方程恰有三個解，則，其中正確的是 （填序號）．
【答案】①②③④
【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號，二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，
∵該二次函數(shù)對稱軸為，
∴，
∴，
∴，故①正確；
由圖象可知，當(dāng)時，，即．
∵，
∴，故②正確；
當(dāng)時，y取得最小值，
∴，即，故③正確；
當(dāng)時，，
∴頂點坐標(biāo)為，
根據(jù)題意得，
即將位于x軸下方的圖像向上翻折，
∴翻折后的頂點坐標(biāo)為，
∵若關(guān)于x的方程恰有三個解，
∴即函數(shù)與恰有三個解，
即恰好經(jīng)過向上翻折后的圖像的頂點，
∴，
∵，
代入得到，則，
故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論為①②③④，
故答案為：①②③④．
7．已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．
（1）若該拋物線的頂點坐標(biāo)是，則 ．
（2）若當(dāng)時，y的最大值為－1，當(dāng)時，y的最大值為3，則該拋物線的對稱軸為直線 ．
【答案】
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的增減性；
（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入計算解題；
（2）由題可得對稱軸為直線，然后根據(jù)最值得到時，；拋物線頂點的縱坐標(biāo)是3，然后求出的值解題即可．
【詳解】解：（1）由題意得該二次函數(shù)的表達式為，
∴，，∴．
故答案為：
（2）由題意，得拋物線的對稱軸是直線．
∵當(dāng)時，y的最大值為－1，當(dāng)時，y的最大值為3，，
∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，又拋物線的開口向下，
∴當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，y的最大值為3，即拋物線頂點的縱坐標(biāo)是3，
∴，∴，解得，（不合題意，舍去），
∴該拋物線的對稱軸為直線．
故答案為：
8．拋物線經(jīng)過原點，且與x軸的正半軸交于點A，頂點C的坐標(biāo)為．
（1）a的值為 ．
（2）若P為拋物線上一動點，其橫坐標(biāo)為t，作軸，且點Q在一次函數(shù)的圖象上．當(dāng)時，的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)解析式，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵。
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，設(shè)，，由函數(shù)圖象可得，當(dāng)時，在的上方，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：（1）把代入中，得，解得．
故答案為：1．
（2）由（1）得拋物線的表達式為，
聯(lián)立，解得，，
拋物線與直線的交點坐標(biāo)為，．
設(shè)，，由函數(shù)圖象可得，當(dāng)時，在的上方，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，PQ的最大值是．
故答案為：．
三、解答題
9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．
(1)填空： （用含a的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)時，y隨x的增大而減小．
①求a的取值范圍；
②求函數(shù)值y的取值范圍．
【答案】(1)
(2);
【分析】（1）將已知點代入拋物線方程，解方程組求出b的值。
（2）①根據(jù)拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)確定的范圍；②根據(jù)自變量端點的函數(shù)值，及函數(shù)隨的增大而減小即可求解．
【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點 ，代入方程得：
，
再代入點 得，
整理，得，
故答案為：．
（2）①拋物線的對稱軸為，代入，得：，
，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
，即，
解得，，
②由（1）知，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（m是常數(shù)）．
(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點，求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過點，求證：．
(3)已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，．若對于任意的，都有成立，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)或
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再把解析式化為頂點式即可得到答案；
（2）可求出，，則；
（3）可得到二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線設(shè)函數(shù)圖象經(jīng)過點，．則點在對稱軸左側(cè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為，
∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為；
（2）解：∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：∵二次函數(shù)解析式為，
∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線
設(shè)函數(shù)圖象經(jīng)過點，．
∴點在對稱軸左側(cè)，
∵對于任意的，都有成立，
∴存在如下情況：
如圖1，當(dāng)時，
則關(guān)于對稱軸的對稱點為，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
如圖2，當(dāng)時，
∵，
∴，
解得：，
綜上所述，m的取值范圍為或．
11．二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，且．
(1)當(dāng)，且時，
①求b，c的值；
②當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的最值．
（1）①將，代入，求出b，c的值即可；
②由①得，二次函數(shù)為，可知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，進而可得當(dāng)時，，即，求出t的值即可．
（2）若，則二次函數(shù)解析式為，可得，，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：①當(dāng)，時，，，
將，代入，
得，
解得，
②由①得，二次函數(shù)解析式為，
∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
∵當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為10，
∴當(dāng)時，，
即，
解得，（舍去），
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時，取得最小值為．
12．定義：把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與軸交于點．
(1)若點E的坐標(biāo)為，求拋物線的解析式；
(2)設(shè)的頂點為，若，求點的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時，的最大值與最小值的差為，求的值．
【答案】(1)
(2)點的坐標(biāo)為
(3)的值為或
【分析】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點式，可得出的頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數(shù)的頂點，過點作軸于點，連接，進而得到，，，于是根據(jù)即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)時得出的最大值和最小值，進而列出方程，可求出的值．
【詳解】（1）解： 與y軸交點的坐標(biāo)為，，解得．
的解析式為；
（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為，
，當(dāng)時，
的頂點的坐標(biāo)為，點，
過點作軸于點，連接．
，，，
，
，即．
解得．
點的坐標(biāo)為；
（3）的解析式為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：
I．當(dāng)時，，且當(dāng)時，函數(shù)最大值為；函數(shù)的最小值為．，解得或（舍）或（舍）；
當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為．
，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．當(dāng)時，，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，
，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．當(dāng)時，，不符合題意，舍去．
綜上，的值為或．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【培優(yōu)專題】 二次函數(shù)中含字母參數(shù)的圖象和性質(zhì)問題的五類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中含參數(shù)的圖象和性質(zhì)
知識點：1.含參數(shù)二次函數(shù)的基本形式（y=ax +bx+c，a≠0）中，參數(shù)a、b、c對圖象開口方向（a的符號）、對稱軸（x=-b/(2a)）、頂點坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸交點的影響。2.判別式Δ=b -4ac與參數(shù)的關(guān)系，決定圖象與x軸交點個數(shù)，以及函數(shù)最值（頂點縱坐標(biāo)）的表達式。 解題技巧：1.對參數(shù)分類討論，如按a的符號分開口向上/向下，按對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系分析單調(diào)性。2.結(jié)合數(shù)形結(jié)合，畫出動態(tài)圖象草圖，標(biāo)注頂點、交點等關(guān)鍵點，根據(jù)參數(shù)范圍鎖定圖象特征，解決零點分布、最值范圍等問題。
例1．已知二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為
B．當(dāng)時，的值隨的增大而增大
C．當(dāng)，時，的取值范圍是
D．當(dāng)時，的最大值為8，則或
【變式1-1】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，．則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，拋物線的對稱軸為直線
B．若且，則的取值范圍為或
C．若，則拋物線的開口向下
D．若，點在該拋物線上，且，則有
【變式1-2】二次函數(shù)，有下列結(jié)論：
①該函數(shù)圖象過定點；
②當(dāng)時，函數(shù)圖象與軸無交點；
③函數(shù)圖象的對稱軸不可能在軸的右側(cè)；
④當(dāng)時，點，是曲線上兩點，若，，則．
其中，正確的結(jié)論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
類型二、利用二次函數(shù)的增減性求最值問題中的參數(shù)的值多解問題
知識點：1.二次函數(shù)增減性與對稱軸的關(guān)系：開口向上時，對稱軸左側(cè)遞減、右側(cè)遞增；開口向下時則相反。2.含參數(shù)時，對稱軸位置（x=-b/(2a)）隨參數(shù)變化，影響給定區(qū)間內(nèi)的最值點（端點或頂點）。 解題技巧：1.分情況討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系（在區(qū)間左、內(nèi)、右側(cè)），結(jié)合增減性確定最值對應(yīng)的點，列方程求解參數(shù)。2.驗證解的合理性：將求得的參數(shù)代入對稱軸，檢查是否符合分類前提，避免漏解或增解，確保多解均滿足區(qū)間內(nèi)最值條件。
例2．已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，則 ．
【變式2-1】已知拋物線，為實數(shù)，當(dāng)時，的最大值為4，此時的值為 ．
【變式2-2】已知二次函數(shù)．若當(dāng)時，的最大值為5，則的值為 ．
類型三、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號問題
知識點：1.二次項系數(shù)a：決定開口方向（a>0向上，a<0向下）及開口寬窄（|a|越大越窄）。2.一次項系數(shù)b與常數(shù)項c：b與x軸交點個數(shù)。結(jié)合a決定對稱軸位置（x=-b/(2a)），c為圖象與y軸交點縱坐標(biāo)（c>0交正半軸，c<0交負(fù)半軸）；判別式Δ=b -4ac反映與x軸交點個數(shù)。 解題技巧：1.從圖象特征逆向推系數(shù)符號：開口方向定a，y軸交點定c，對稱軸位置結(jié)合a定b，交點個數(shù)定Δ。2.利用特殊點輔助判斷：如x=1時y=a+b+c的符號（對應(yīng)點在x軸上方則為正），x=-1時y=a-b+c的符號，增強判斷依據(jù)。
例3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②③；④（為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的為 ．
【變式3-1】如圖，拋物線的對稱軸為直線，且過點，有下列結(jié)論①；②；③；④；其中所有正確的結(jié)論是 ．
【變式3-2】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于、兩點，與軸交于點．對稱軸為直線，且，下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點、點在該二次函數(shù)圖象上，當(dāng)且時，則其中正確的結(jié)論是 (填寫正確結(jié)論的序號)
類型四、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷問題
知識點：1.三類函數(shù)圖象基本特征：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是直線，k定傾斜方向，b定與y軸交點；反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）是雙曲線，k定象限；二次函數(shù)y=ax +bx+c（a≠0）是拋物線，a定開口，對稱軸和頂點影響形狀。2.系數(shù)符號關(guān)聯(lián)性：同一題中參數(shù)（如k、a、b）在不同函數(shù)中需保持一致，可通過圖象特征交叉驗證。 解題技巧：1.先從特征明顯的函數(shù)突破（如拋物線開口定a，雙曲線象限定k），再代入其他函數(shù)驗證系數(shù)符號是否矛盾。2.利用特殊點或?qū)ΨQ性質(zhì)輔助判斷，排除系數(shù)符號沖突的選項，鎖定符合所有函數(shù)圖象邏輯的答案。.
例4．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，若點P的橫坐標(biāo)為，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【變式4-2】一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則二次函數(shù)的圖像可能是（ ）
A．B．C． D．
【變式4-3】二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
類型五、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決含參數(shù)的綜合問題
知識點：1.含參數(shù)二次函數(shù)的核心性質(zhì)：開口方向（a的符號）、對稱軸（x=-b/(2a)）、頂點坐標(biāo)、最值與參數(shù)的關(guān)系，以及判別式Δ與零點個數(shù)的關(guān)聯(lián)。2.函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化：參數(shù)影響下，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點分布對應(yīng)方程根的情況，區(qū)間內(nèi)函數(shù)值符號對應(yīng)不等式解集。 解題技巧：1.分類討論參數(shù)對關(guān)鍵特征的影響，如對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，分情況分析單調(diào)性與最值，建立參數(shù)方程。2.數(shù)形結(jié)合動態(tài)分析：繪制含參數(shù)的函數(shù)草圖，標(biāo)注頂點、端點等關(guān)鍵點，結(jié)合參數(shù)范圍鎖定圖象形態(tài)，通過交點、最值條件列關(guān)系式求解，驗證解的合理性。
例5．在平面直角坐標(biāo)系中，點是拋物線上任意一點．
(1)若，求該拋物線的對稱軸；
(2)已知點在該拋物線上，若存在，恰好使．比較的大小，并說明理由．
【變式5-1】已知拋物線的頂點在軸上．
(1)求的值；
(2)拋物線上兩點，．若，則______（填“”、“”或“”）；
(3)若點，為拋物線上的兩點，且，求出的取值范圍．
【變式5-2】已知拋物線過點．
(1)求的值和拋物線與軸的交點坐標(biāo)．
(2)將拋物線進行平移得到拋物線，若點，分別在拋物線，上，
①若，且直線與拋物線只有一個交點，求直線的表達式．
②若，求的最大值．
【變式5-3】已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）．
(1)若拋物線經(jīng)過，求二次函數(shù)解析式．
(2)在（1）的條件下，拋物線上有一點，向右平移3個單位后仍在該拋物線上，求點的坐標(biāo)．
(3)若拋物線上有且僅有一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的三倍，令，是否存在一個常數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
一、單選題
1．如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．拋物線向下平移個單位后，一定經(jīng)過
2．已知二次函數(shù)在時最小值為，則b的值為（ ）
A．4 B．4或 C． D．或
3．關(guān)于x的二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A．函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大
C．函數(shù)圖象一定經(jīng)過點
D．當(dāng)時，函數(shù)圖象與x軸一定有兩個交點
4．已知二次函數(shù)的圖象如圖，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是8，則 ．
6．如圖，二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③（m為常數(shù)）；④若關(guān)于x的方程恰有三個解，則，其中正確的是 （填序號）．
7．已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．
（1）若該拋物線的頂點坐標(biāo)是，則 ．
（2）若當(dāng)時，y的最大值為－1，當(dāng)時，y的最大值為3，則該拋物線的對稱軸為直線 ．
8．拋物線經(jīng)過原點，且與x軸的正半軸交于點A，頂點C的坐標(biāo)為．
（1）a的值為 ．
（2）若P為拋物線上一動點，其橫坐標(biāo)為t，作軸，且點Q在一次函數(shù)的圖象上．當(dāng)時，的最大值是 ．
三、解答題
9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．
(1)填空： （用含a的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)時，y隨x的增大而減小．
①求a的取值范圍；
②求函數(shù)值y的取值范圍．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（m是常數(shù)）．
(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點，求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過點，求證：．
(3)已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，．若對于任意的，都有成立，直接寫出m的取值范圍．
11．二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，且．
(1)當(dāng)，且時，
①求b，c的值；
②當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
12．定義：把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與軸交于點．
(1)若點E的坐標(biāo)為，求拋物線的解析式；
(2)設(shè)的頂點為，若，求點的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時，的最大值與最小值的差為，求的值．

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