資源簡介

建平中學2024-2025學年第二學期高二年級數學期末
2025.6
一、填空題
1．已知集合，，則________．（用列舉法表示）
2．已知復數，其中是虛數單位，則________．
3．雙曲線的漸近線方程為________．
4．二項式的展開式中常數項為________．
5．已知隨機變量服從正態分布，且，則________．
6．已知，函數在上單調遞增，其圖像不過坐標原點，則________．
7．函數的單調遞增區間是________．
8．有甲、乙兩袋，甲袋中有4個白球，1個紅球；乙袋中有2個白球，2個紅球．現從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則此球為紅球的概率為________．（結果為精確值）
9．在中，，，，在線段上（包括端點），則的取值范圍是________．
10．已知且，且，則________．
11．已知函數，．若有兩個極值點，，且恒成立，則實數的取值范圍為________．
12．不透明的袋中裝有編號為1，2，…，10的10個小球，現從中隨機有放回地取4次，每次取1個球，已知摸出的球中有編號為5的球，則摸出的球中最大編號大于等于7的概率是________．
二、單選題
13．通過隨機抽樣，收集了若干朵鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關系數為，利用最小二乘法求得相應的回歸方程為，根據以上信息，下列命題正確的是（ ）
A．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm
B．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8642
C．花瓣長度和花萼長度負相關
D．花瓣長度和花萼長度存在一次函數關系
14．設，為實數，則“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列四個命題中，真命題的個數是（ ）
（1）若，則
（2）若，則
（3）若，且，為互斥事件，則，不為獨立事件
（4）若，和為互斥事件，則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
16．若函數滿足：對任意，，，都有，則稱函數具有性質．請判斷下列兩個命題的真假性（ ）
①已知函數具有性質，且值域是一個開區間，則是奇函數
②已知函數具有性質，，若在上嚴格增，則是奇函數
A．①真②真 B．①假②假 C．①假②真 D．①真②假
三、解答題
17．設數列的前項和．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的最小的項．
18．如圖，三棱錐中，，，，平面平面，是中點．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
19．某經銷商在某地5個位置對甲乙兩種類型的網絡進行掉線次數測試，得到數據如右表所示：
甲 4 3 8 6 12
乙 5 7 9 4 3
（1）如果在測試中掉線次數超過5次，則網絡狀況為“糟糕”，否則為“良好”，根據小概率值的獨立性檢驗，能否說明網絡狀況與網絡的類型有關？
（2）若該經銷商要在上述接受測試的甲地5個地區中任選3個，求，兩個地區同時被選到的概率；
（3）若該經銷商要在上述接受測試的甲地5個地區中任選3個，以表示所選位置中網絡狀況為“糟糕”的位置個數，求隨機變量的分布及數學期望．
附：，其中．
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知點在拋物線：（）上，點為的焦點，且．過點作直線與及圓依次相交于點，，，，如圖．
（1）求拋物線的方程及點的坐標；
（2）求的值；
（3）過，點分別作的切線，，且與相交于點，已知三角形外接圓的圓心為，求的最小值．
21．牛頓法又稱切線法，是牛頓提出的一種用導數求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設是方程的解，選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線．如果，則與軸的交點的橫坐標記為，稱為的一階近似值．再過點作曲線的切線，并求出切線與軸的交點橫坐標記為，稱為的二階近似值．重復以上過程，得的近似值序列：、、…、，根據已有精確度，當時，取為方程近似解．已知函數，，其中，．
（1）當時，試用牛頓法求方程滿足精度的近似解；（取，且結果保留兩位小數）
（2）牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數學思想，指利用曲線的切線或割線解決問題．
（ⅰ）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，當時，比較與的大小；
（ⅱ）當時，若關于的方程的兩個根分別為，（），證明：．（參考數據：，時，）
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;
7.; 8.; 9.; 10.； 11.
12.
二、選擇題
13.A 14.D 15.C 16.C
15．下列四個命題中，真命題的個數是（ ）
（1）若，則
（2）若，則
（3）若，且，為互斥事件，則，不為獨立事件
（4）若，和為互斥事件，則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】（1）真，獨立事件的對稱性；（2）假，反例驗證不成立；
（3）真，互斥與獨立矛盾；（4）真，條件概率加法公式成立；真命題共3個，故選C.
三、解答題
17.（1） （2）
18.（1）證明略 （2）
19.（1）有關 （2） （3）分布列如下，
20．已知點在拋物線：（）上，點為的焦點，且．過點作直線與及圓依次相交于點，，，，如圖．
（1）求拋物線的方程及點的坐標；
（2）求的值；
（3）過，點分別作的切線，，且與相交于點，已知三角形外接圓的圓心為，求的最小值．
【答案】（1）或； （2）
（3）
【解析】（1）因為點在拋物線上，點為的焦點，且，
所以點到拋物線準線的距離，解得，
則拋物線的方程為，將點代入拋物線方程中，可得，
所以，所以或；
（2）易知拋物線的焦點與的圓心重合，此時該圓的圓心為，
因為直線斜率存在，不妨設直線方程為
聯立，消去并整理得，此時，
由韋達定理得，
由拋物線的定義知
所以，故
21．牛頓法又稱切線法，是牛頓提出的一種用導數求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設是方程的解，選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線．如果，則與軸的交點的橫坐標記為，稱為的一階近似值．再過點作曲線的切線，并求出切線與軸的交點橫坐標記為，稱為的二階近似值．重復以上過程，得的近似值序列：、、…、，根據已有精確度，當時，取為方程近似解．已知函數，，其中，．
（1）當時，試用牛頓法求方程滿足精度的近似解；（取，且結果保留兩位小數）
（2）牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數學思想，指利用曲線的切線或割線解決問題．
（ⅰ）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，當時，比較與的大小；
（ⅱ）當時，若關于的方程的兩個根分別為，（），證明：．（參考數據：，時，）
【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）證明見解析
【解析】（1）當時，令則，
又，曲線在處的切線為，
令，得，則．又
曲線在處的切線為，
令，得則．
故用牛頓選代法求方程滿足精度的近似解為；
（2）（i）設點的坐標為，則．，則，
曲線在點處的切線方程為，
令，即，則．
因為在上單調遞增，所以在上單調遞增．
又因為，所以當時，，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以對任意的正實數都有，即當時，都有．
（ii）證明：因為在上單調遞增，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以是在的極小值點，也是在的最小值點，
即．又，
所以當方程有兩個根時，必滿足且
曲線過點和點的割線方程為．
下面證明：．
設，則，
所以當時，，當時，
所以在上單調遞增，，在上單調遞減，，所以當時，，即
因為所以，解得①.
曲線過點和點的割線方程為．
下面證明：，
設
則在上單調遞增，
因為所以，即，
所以，即．由零點存在性定理可知，存在，
使得．所以當時，，當時，；
所以在上單調遞增，，在上單調遞減，,所以當時，，即
因為，所以，解得②
由②－①，得
即證得

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