資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【培優(yōu)專題】 二次函數(shù)中的等腰三角形、直角三角形存在性問題的三類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題
1.解題思路：先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)），結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式確定頂點(diǎn)、交點(diǎn)等關(guān)鍵坐標(biāo)；再分三種情況（兩腰為已知邊、一動(dòng)一靜邊、兩動(dòng)邊）討論等腰三角形構(gòu)成。 2.解題技巧：用兩點(diǎn)間距離公式將邊長轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的代數(shù)式，簡化計(jì)算；利用二次函數(shù)對稱性減少分類，結(jié)合圖形范圍驗(yàn)根防漏解。 3.解題方法：以代數(shù)方程法為主，列邊長相等的方程求解參數(shù)；輔以幾何法（如垂直平分線性質(zhì)）快速定位可能點(diǎn)，最后結(jié)合函數(shù)定義域確定有效解。
例1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和線段的長；
(2)在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)P，使為等腰三角形？直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1-1】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求此拋物線的解析式．
(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上找點(diǎn)P，使是以AC為底的等腰三角形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1-2】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，使的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)和面積的最大值；
(3)對稱軸與軸交于點(diǎn)，在對稱軸上找一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
類型二、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題
1.解題思路：先確定拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等定點(diǎn)（如A、B），設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三類討論直角頂點(diǎn)。 2.解題技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘積為-1（垂直）列方程，借拋物線表達(dá)式消y，結(jié)合x范圍驗(yàn)根。 3.解題方法：代數(shù)法為主，列坐標(biāo)方程求解；輔以幾何法（過A、B作垂線交拋物線得P），結(jié)合圖形驗(yàn)證直角合理性。
例2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線過點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖1，連接AC，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式2-2】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn) ．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) 的坐標(biāo)；
(2)求的面積；
(3)若點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以為直角邊的直角三角形？ 若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
類型三、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點(diǎn)（如A、B），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，分∠A、∠B、∠P為直角頂點(diǎn)三類，每類需滿足“直角”+“兩直角邊相等”。 2.解題技巧：用坐標(biāo)表邊長，結(jié)合勾股定理（直角）與距離相等（等腰）列方程，借拋物線消y；利用斜率（垂直時(shí)積為-1）簡化計(jì)算，結(jié)合圖形限x范圍。 3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立直角與等腰方程求解；幾何法構(gòu)造全等（如過P作橫縱垂線，使直角邊等長），驗(yàn)證交點(diǎn)合理性。
例3．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)過點(diǎn)作直線，為垂足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式3-1】如圖，將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，且為等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新拋物線上是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式3-2】如圖，已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．
(1)求線段的長；
(2)若點(diǎn)是拋物線上，兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．
（ⅰ）當(dāng)線段的長有最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
一、解答題
1．如圖，已知拋物線的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與、重合），過點(diǎn)作軸的平行線交對稱軸左側(cè)的拋物線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) C的坐標(biāo)；
(2)若是以為底的等腰三角形，直接寫出點(diǎn) E 的坐標(biāo)．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)
(1)求拋物線解析式；
(2)若點(diǎn)為拋物線部分上一動(dòng)點(diǎn)（可與，兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．
3．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若在拋物線上存在點(diǎn)，使得，是以為直角邊的直角三角形，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)
4．如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積．
(3)如圖2，連接，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在m使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
6．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)請求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)若是第二象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求線段長度的最大值；
(3)若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，直接寫出坐標(biāo)．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【培優(yōu)專題】 二次函數(shù)中的等腰三角形、直角三角形存在性問題的三類綜合題型
類型一、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題
1.解題思路：先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)），結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式確定頂點(diǎn)、交點(diǎn)等關(guān)鍵坐標(biāo)；再分三種情況（兩腰為已知邊、一動(dòng)一靜邊、兩動(dòng)邊）討論等腰三角形構(gòu)成。 2.解題技巧：用兩點(diǎn)間距離公式將邊長轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的代數(shù)式，簡化計(jì)算；利用二次函數(shù)對稱性減少分類，結(jié)合圖形范圍驗(yàn)根防漏解。 3.解題方法：以代數(shù)方程法為主，列邊長相等的方程求解參數(shù)；輔以幾何法（如垂直平分線性質(zhì)）快速定位可能點(diǎn)，最后結(jié)合函數(shù)定義域確定有效解。
例1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和線段的長；
(2)在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)P，使為等腰三角形？直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)；；
(2)或或．
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
（1）代入和，解方程組即可；令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；
（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①；②；③，分別求解即可．
【詳解】（1）解：把和代入可得，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
令拋物線，則，
∴，
∴；
（2）存在．
理由：∵，
∴設(shè)，
∵，，
∴，，
∵，為等腰三角形，
∴當(dāng)時(shí)，，
解得：，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
解得：，此時(shí)；
綜上所述，或或．
【變式1-1】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求此拋物線的解析式．
(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上找點(diǎn)P，使是以AC為底的等腰三角形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點(diǎn)主要有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、等腰三角形的性質(zhì)以及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．
（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是知：，，則．再把代入此解析式求解即可；
（2）連接、則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可得，的值，令二者相等求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：如圖，連接、．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，
．
，
．
整理，得，
解得（舍去）．
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【變式1-2】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，使的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)和面積的最大值；
(3)對稱軸與軸交于點(diǎn)，在對稱軸上找一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)；面積最大值為
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）如圖，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（3）分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，兩種種情況討論，即可求解；
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴，
將代入得，
由①②得，，，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：令得，
∴，，
∴，
令得，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解方程得，
∴直線的解析式為，
如圖，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
∴，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）解：∵對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，、
①當(dāng)時(shí)，
如圖所示有，，
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作，
∵，，
∴，
∴，
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．
類型二、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題
1.解題思路：先確定拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等定點(diǎn)（如A、B），設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三類討論直角頂點(diǎn)。 2.解題技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘積為-1（垂直）列方程，借拋物線表達(dá)式消y，結(jié)合x范圍驗(yàn)根。 3.解題方法：代數(shù)法為主，列坐標(biāo)方程求解；輔以幾何法（過A、B作垂線交拋物線得P），結(jié)合圖形驗(yàn)證直角合理性。
例2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線過點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖1，連接AC，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，的坐標(biāo)為或或或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
（1）把代入可得，故拋物線的解析式為，令解得或，從而；
（2）求出，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，可得，，，分三種情況，用勾股定理列方程可解得答案．
【詳解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：，
在中，令得：，
解得：或，
，；
（2）解：拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使是直角三角形，理由如下：
在中，令，得，
，
，
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，
，
，，，
①當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得：或，
或，
②當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得：，
，
③當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得：，
綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．
【變式2-1】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，
【分析】（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出b，c的值即可；
（2）分三種情形：當(dāng)為斜邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，再利用勾股定理分別求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，
得
解得
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：存在．理由如下：
由拋物線的函數(shù)表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為直線，
∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴設(shè)點(diǎn)．
由點(diǎn)，，的坐標(biāo)，得
，，
．
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
整理得：，
解得或，
∴點(diǎn)或；
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得，
∴點(diǎn)；
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得，
∴點(diǎn)．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了求解二次函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法等知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
【變式2-2】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn) ．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) 的坐標(biāo)；
(2)求的面積；
(3)若點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以為直角邊的直角三角形？ 若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(2)；
(3)存在滿足條件的 點(diǎn)，其坐標(biāo)為或．
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形的應(yīng)用，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（）聯(lián)立求出，則，過頂點(diǎn)作 軸的平行線與直線交于點(diǎn)，求出，所以，然后由即可求解；
（）設(shè)，則，，，然后分當(dāng)和當(dāng)兩種情況，再解方程即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把點(diǎn)代入，得，
解得，
∴拋物線的解析式為，即，
∵，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∵，
∴，
如圖，
過頂點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)，
∴，
，
，
由于以為直角邊的直角三角形，
當(dāng)，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)；
當(dāng)，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)，
綜上可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
類型三、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點(diǎn)（如A、B），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，分∠A、∠B、∠P為直角頂點(diǎn)三類，每類需滿足“直角”+“兩直角邊相等”。 2.解題技巧：用坐標(biāo)表邊長，結(jié)合勾股定理（直角）與距離相等（等腰）列方程，借拋物線消y；利用斜率（垂直時(shí)積為-1）簡化計(jì)算，結(jié)合圖形限x范圍。 3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立直角與等腰方程求解；幾何法構(gòu)造全等（如過P作橫縱垂線，使直角邊等長），驗(yàn)證交點(diǎn)合理性。
例3．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)過點(diǎn)作直線，為垂足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)．
【分析】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）把，兩點(diǎn)代入即可求解；
（）由直線，則，軸，又，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，則有，設(shè)，則，，然后分當(dāng)在上方時(shí)和當(dāng)在下方時(shí)兩種情況分析，然后解方程并檢驗(yàn)即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵直線，
∴，軸，
∵，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，
∴，
由拋物線的解析式為得，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴當(dāng)在上方時(shí)，，
解得：或，
∴此時(shí)與重合，舍去；或，
當(dāng)在下方時(shí)，，
解得：或，
∴，此時(shí)與重合，舍去；或，此時(shí)與重合，舍去；
綜上可得：．
【變式3-1】如圖，將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，且為等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新拋物線上是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1
(2)在圖中的拋物線上存在點(diǎn)C，使為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于a的一元二次方程；（2）找出點(diǎn)C的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時(shí)，巧妙的利用了拋物線的對稱性來尋找點(diǎn)C的位置．
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的拋物線的解析式，分別求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)為等腰直角三角形即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，根據(jù)等腰直角三角形的判定定理找出為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線，
∴新拋物線的解析式為，
∴新拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，即，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值為1；
（2）解：存在，理由如下：
如圖，作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，則，，，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
故在圖中的拋物線上存在點(diǎn)C，使為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
【變式3-2】如圖，已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．
(1)求線段的長；
(2)若點(diǎn)是拋物線上，兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．
（?。┊?dāng)線段的長有最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)（?。?；（ⅱ）或．
【分析】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．
（1）由待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式，進(jìn)而求解；
（2）（Ⅰ）由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求解；
（Ⅱ）由得到當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)在對稱軸右側(cè)或左側(cè)分情況討論，分別畫出圖形求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸是直線，
，
解得，
拋物線的解析式為．
令，得，解得，，
，，
；
（2）解：（?。┯桑?）知拋物線的解析式為．
令，得，
．
設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得
解得，
直線的解析式為，
由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，線段的長有最大值，
此時(shí)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（ⅱ），
，
即當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形．
①如圖1，點(diǎn)在對稱軸右側(cè)．
，軸，拋物線的對稱軸是直線，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
．
由（ⅰ）知，
，
解得或（不合題意，舍去），
；
②如圖2，點(diǎn)在對稱軸左側(cè)．
，軸，拋物線的對稱軸是直線，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
．
由（?。┲?，
，
解得或（不合題意，舍去），
．
存在，的值為或．
一、解答題
1．如圖，已知拋物線的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與、重合），過點(diǎn)作軸的平行線交對稱軸左側(cè)的拋物線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) C的坐標(biāo)；
(2)若是以為底的等腰三角形，直接寫出點(diǎn) E 的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而得出，把代入得：，求出或，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
（2）解：∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵軸，
∴，
∵是以為底的等腰三角形，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：或，
∵點(diǎn)E在拋物線對稱軸的左側(cè)，
∴．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)
(1)求拋物線解析式；
(2)若點(diǎn)為拋物線部分上一動(dòng)點(diǎn)（可與，兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式為，，由兩點(diǎn)之間距離公式求得、、，然后分情況討論等腰三角形的腰相等并分別計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴將點(diǎn)代入，得，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴直線的解析式為．
∵點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
將代入，則，
∴，
∴，
∴，
．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
（?。┤?，則，
即，解得．
（ⅱ）若，則，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，則，
即，解得或（舍去）．
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)之間距離公式、等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識綜合解決問題．
3．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若在拋物線上存在點(diǎn)，使得，是以為直角邊的直角三角形，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解方程組，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求出，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可
（2）先求出直線的解析式，分兩種情況討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸，，
，
將代入得，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：將代入得，
，
直線的解析式為，
拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)，則，，，
當(dāng)時(shí)，由，
，
即，
解方程組得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，
，
即，
解方程組得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
4．如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積．
(3)如圖2，連接，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求函數(shù)解析式，三角形面積公式等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出直線的解析式，得到的長，再利用三角形面積公式即可求解；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入，得：
，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：設(shè)交軸于點(diǎn)，如圖：
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是以為直角邊的直角三角形，
∴分兩種情況：①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，
①過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立得：，
解得：或（舍去），
∴，
②過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，如圖：
∵，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把點(diǎn)代入得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立得：，
解得：或（舍去），
∴，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
5．綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在m使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，m的值為3或2
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識：
（1）令，求出x的值，得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令，得y的值，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，再設(shè)直線的解析式為，把代入并求出k的值即可；
（2）分和兩種情況利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
解得或，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入可得，
解得：，
∴直線的解析式為；
（2）解：存在m使得為等腰直角三角形，理由如下：
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
，
；
∵，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
∴，即，
解得或（舍）或（舍）；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，即，
解得或（舍）；
綜上所述：m的值為3或2．
6．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)請求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)若是第二象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求線段長度的最大值；
(3)若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，直接寫出坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）令拋物線解析式中，解關(guān)于的一元二次方程即可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中求出值即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求出直線的解析式，設(shè)，則，可求，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，分，和三種情況考慮，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，
解得：，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
（2）解：設(shè)直線解析式為，
由得，
解得，
直線的解析式為，
軸，
、的橫坐標(biāo)相同，并且、分別在拋物線和直線上，
設(shè)，
在第二象限，
，
，
，拋物線開口向下，
時(shí)，長度最大，最大值為；
（3）解：在拋物線上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，理由如下：
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，為等腰直角三角形，分三種情況：
當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸交于，如圖2，
，，
，
，
，，
，
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得：（舍去），，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，
為等腰直角三角形，
，
又，
在上，
過作于，如圖，
則，
，
，
，
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得：（舍去），，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，如圖，
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得：（舍去），，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，
綜上所述，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題．

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