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【培優專題】 二次函數中的特殊四邊形存在性問題的四類綜合題型
類型一、二次函數中的平行四邊形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊或對角線兩類，利用平行四邊形對邊平行且相等或對角線互相平分性質分析。 2.解題技巧：用中點坐標公式（對角線中點重合）列方程，結合拋物線表達式消元；借向量平行（坐標差相等）簡化關系，注意動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立中點或向量方程求解；輔以幾何法（平移定點得動點軌跡），驗證四點不共線及圖形合理性。
例1．如圖，二次函數的圖象與x軸交于O（O為坐標原點）、A兩點，且二次函數的最小值為，點是其對稱軸上一點，點B在y軸上，．
(1)求二次函數的解析式；
(2)二次函數在第四象限的圖象上有一點P，連接，，求面積的最大值；
(3)在二次函數圖象上是否存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式】如圖，拋物線與x軸交于、兩點點在點左側，直線與拋物線交于、兩點，其中點的橫坐標為．
(1)求、兩點的坐標及直線的函數表達式；
(2)是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求三角形面積的最大值；
(3)點是拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使、、、這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出所有滿足條件的點坐標；如果不存在，請說明理由．
類型二、二次函數中的矩形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊或對角線，利用矩形“對角線互相平分且相等”或“平行四邊形+一角為直角”的性質分析。 2.解題技巧：用中點坐標公式（對角線中點重合）和勾股定理（對角線等長）列方程，借拋物線表達式消元；結合斜率（垂直時積為-1）驗直角，限定動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立對角線條件方程求解；先證平行四邊形再驗證直角（斜率法），結合圖形驗合理性。
例2．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸分別相交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線經過B、C兩點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)拋物線的頂點為M，點N是y軸上一點，點Q是平面內一點，是否存在以B、M、N、Q為頂點的四邊形是以BM為邊的矩形？若存在，請求出點N、Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式】如圖1，若二次函數的圖象與x軸交于點、B，與y軸交于點，連接．
(1)求拋物線的解析式．
(2)求三角形的面積；
(3)若點P是拋物線在一象限內上方一動點，連接，是否存在點P，使四邊形的面積為18，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
(4)如圖2，若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．
類型三、二次函數中的菱形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊相等）或對角線（對角線垂直平分）兩類，利用菱形“四邊相等”或“平行四邊形+鄰邊相等”性質分析。 2.解題技巧：用距離公式表邊長（四邊相等），中點坐標公式（對角線平分），斜率乘積-1（對角線垂直）列方程，結合拋物線消元，限定動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立平行四邊形與鄰邊相等方程；先證平行四邊形，再驗四邊相等或對角線垂直，結合圖形驗合理性。
例3．如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸分別交于點，點 ，點是直線上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形，若四邊形 為菱形，請求出此時點的坐標；
(3)當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.
【變式】如圖，拋物線與x軸交于點和點．與y軸交于點C，連接，．
(1)求該拋物線的函數解析式．
(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，過點P作的平行線l，交線段于D．
①試探究：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
②設拋物線的對稱軸與直線l交于點M，與直線交于點N．當時，請直接寫出的長．
類型四、二次函數中的正方形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊等且垂直）或對角線（對角線等且垂直平分），利用正方形“四邊等+四角直”或“菱形+矩形”性質分析。 2.解題技巧：用距離公式（邊等）、斜率積-1（垂直）、中點重合（對角線平分）列方程，借拋物線消元，結合圖形限動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立鄰邊等與垂直方程；先證矩形再驗鄰邊等，或先菱形再驗直角，結合圖形驗合理性。
例4．如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標平面內，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，，D為拋物線的頂點．
(1)求a，b的值．
(2)如圖2，連接，在線段上有一動點P（不與點O，B重合），過點P作軸，交直線于點E，
①當直線經過點D時，求的長；
②以為邊在的左側作正方形，當點F在拋物線上時，求點P的坐標．
一、解答題
1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（、為常數）與軸交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點．
(1)求該拋物線的解析式：
(2)若，請求出點的坐標；
(3)連接，直線上有一動點，點為坐標平面上一個動點，若以、、、四點為頂點的四邊形為正方形時，請直接寫出點的坐標．
2．已知拋物線的圖象經過點，．其對稱軸為直線，與軸的另一交點為．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點在線段上，過點作軸于點，以為對角線作正方形（點在右側），當點在拋物線上時，求點的坐標．
3．如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，，，試證明為直角三角形；
(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
4．如圖，已知拋物線經過兩點，與y軸交于C點．
(1)求拋物線表達式；
(2)點P是直線上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使的面積最大．若存在，請求出的最大面積，若不存在，試說明理由；
(3)若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M點坐標．
5．綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖2中，對稱軸直線與軸交于點H，連接，求四邊形的面積；
(3)點是直線上一點，點是平面內一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A在點B的左側，點Р是直線下方的拋物線上一動點．
(1)求A、B、C三點的坐標．
(2)過點P作x軸的垂線，交于點E，過點E作y軸的垂線，交y軸于點F，求的最大值以及此時P點的坐標．
(3)將拋物線沿方向平移個單位，點H是新拋物線的頂點，點Q是新拋物線對稱軸上的一個動點，點M是平面內一點，若以A，Q、H、M為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的M點坐標．
7．如圖，拋物線與軸交于，頂點為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)為拋物線上一點，當時，求點坐標；
(3)點是軸上的一個動點，點是坐標平面內一個動點，是否存在這樣的點、，使得以為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出的坐標；若不存在說明理由．
8．如圖1，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點D，過點P作于點E，過點E作軸于點F，求出的最大值及此時點P的坐標；
(3)如圖2，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點M，點N為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使以點A，M，N，H為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
【培優專題】 二次函數中的特殊四邊形存在性問題的四類綜合題型
類型一、二次函數中的平行四邊形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊或對角線兩類，利用平行四邊形對邊平行且相等或對角線互相平分性質分析。 2.解題技巧：用中點坐標公式（對角線中點重合）列方程，結合拋物線表達式消元；借向量平行（坐標差相等）簡化關系，注意動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立中點或向量方程求解；輔以幾何法（平移定點得動點軌跡），驗證四點不共線及圖形合理性。
例1．如圖，二次函數的圖象與x軸交于O（O為坐標原點）、A兩點，且二次函數的最小值為，點是其對稱軸上一點，點B在y軸上，．
(1)求二次函數的解析式；
(2)二次函數在第四象限的圖象上有一點P，連接，，求面積的最大值；
(3)在二次函數圖象上是否存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出頂點坐標，設二次函數解析式為，將點代入即可求函數的解析式；
（2）設，過點P作x軸的垂線交于點Q，直線的解析式，則點Q的坐標為，可得，當時，有最大值，即可得的最大值；
（3）設N點坐標為，根據平行四邊形對角線的性質，分三種情況討論，利用中點坐標公式建立方程求n的值即可求N點坐標．
【詳解】（1）∵二次函數的最小值為，點是其對稱軸上一點，
∴二次函數頂點為，
設二次函數解析式為，
將點代入得，，
∴，
∴；
（2）設，過點P作x軸的垂線交于點Q，則點Q的橫坐標為t，
令拋物線解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐標為，
設直線的解析式為，
將，代入，得
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∴點Q的坐標為，
∴
，
∴當時，有最大值，
∴面積的最大值為；
（3）存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設N點坐標為，
當為對角線時，由中點坐標公式得，，
∴，
∴，
當為對角線時，由中點坐標公式得，，
∴，
∴，
當為對角線時，由中點坐標公式得，，
∴，
∴，
綜上所述：或或．
【點睛】本題考查待定系數法，二次函數的圖象及性質，二次函數與幾何綜合，平行四邊形的性質等知識，熟練掌握二次函數的圖象及性質，平行四邊形的性質是解題的關鍵．
【變式】如圖，拋物線與x軸交于、兩點點在點左側，直線與拋物線交于、兩點，其中點的橫坐標為．
(1)求、兩點的坐標及直線的函數表達式；
(2)是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求三角形面積的最大值；
(3)點是拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使、、、這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出所有滿足條件的點坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在個這樣的點，分別是，，，
【分析】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及到了待定系數法求一次函數解析式、平行四邊形的判定、二次函數的性質等重要知識點，綜合性強，解答本題的關鍵掌握分類討論，數形結合的數學思想方法．
（1）因為拋物線與軸相交，所以可令，解出、的坐標．再根據點在拋物線上，點的橫坐標為，代入拋物線中即可得出點的坐標．再根據兩點式方程即可解出的函數表達式；
（2）根據點在上可設出點的坐標．點坐標可根據已知的拋物線求得．因為都在垂直于軸的直線上，所以兩點之間的距離為，列出方程后結合二次函數的性質即可得出答案；
（3）此題要分兩種情況：①以為邊，②以為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出點的坐標．
【詳解】（1）解：令，
解得：或，
∴，
將C點的橫坐標代入
得，
∴，
設直線的解析式為，
則，解得：，
直線的函數解析式是；
（2）設點的橫坐標為，
則的坐標分別為：，，
∵點在點的上方，，
當時，的最大值；
則的面積的最大值是：；
（3）存在4個這樣的點F，分別是，，，，
①如圖，連接點與拋物線和軸的交點，那么軸，此時，
∴點的坐標是；
②如圖，則，
∵點的坐標為，
∴點的坐標為；
③如圖，此時兩點的縱坐標互為相反數，因此點的縱坐標為，代入拋物線中即可得出G點的坐標為，
設直線的解析式為，
將點代入后可得出直線的解析式為，
令，則，
因此直線與軸的交點的坐標為；
④如圖，同③可求出F的坐標為．
總之，符合條件的F點共有4個分別是，，，．
類型二、二次函數中的矩形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊或對角線，利用矩形“對角線互相平分且相等”或“平行四邊形+一角為直角”的性質分析。 2.解題技巧：用中點坐標公式（對角線中點重合）和勾股定理（對角線等長）列方程，借拋物線表達式消元；結合斜率（垂直時積為-1）驗直角，限定動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立對角線條件方程求解；先證平行四邊形再驗證直角（斜率法），結合圖形驗合理性。
例2．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸分別相交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線經過B、C兩點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)拋物線的頂點為M，點N是y軸上一點，點Q是平面內一點，是否存在以B、M、N、Q為頂點的四邊形是以BM為邊的矩形？若存在，請求出點N、Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數與幾何的綜合等知識點，掌握分類討論思想成為解題的關鍵．
（1）先根據一次函數解析式求出點B、C的坐標，然后利用待定系數法求解即可；
（2）先根據二次函數的性質求得頂點為，設，然后分、和三種情況，分別畫出圖形并運用矩形的對角線相等且相互平分列方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵B、C分別是直線與x軸，y軸的交點，
∴點B的坐標為，點C的坐標為，
∵B、C在拋物線上，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵拋物線解析式為，
∴頂點，
設，
①如圖：當時，
則，解得：，
∴；
②如圖：當時，
則，解得：，
∴．
所以或．
【變式】如圖1，若二次函數的圖象與x軸交于點、B，與y軸交于點，連接．
(1)求拋物線的解析式．
(2)求三角形的面積；
(3)若點P是拋物線在一象限內上方一動點，連接，是否存在點P，使四邊形的面積為18，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
(4)如圖2，若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)10；
(3)存在，；
(4)存在，或
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，熟練掌握二次函數的圖象及性質，靈活應用矩形和等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．
（1）將點和代入，解得，即可得解；
（2）令，得，，又可知，再利用三角形的面積公式求；
（3）由已知可得的面積為8，求出直線的解析式為，過P點作軸，交于點M，設，則，則，求出，則；
（4）設，當當時時，過點Q作軸交H點，過K作軸交G點，
，證明，得到，則，所以；當時，與x軸的交點為F，與y軸的交點為H，
證明，則有，求得，則，可求．
【詳解】（1）的圖象過點和，
，
解得
拋物線的解析式的解析式為
（2）令，則，解得或，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
∵四邊形的面積為18，
∴的面積為8，
設直線的解析式為，
將點代入，得，
∴直線的解析式為，
過P點作x軸，交于點M，
設，則，
，
∴，
∴；
（4）存在，或．
理由如下：
設，當時，如圖1，
∵矩形是以為邊，
∴，
過點Q作軸交H點，過K作軸交G點，
∵，
，
，
，
∴或（舍），
∴，
∴；
當時，如圖2，
∵矩形是以為邊，
∴，
設與x軸的交點為F，與y軸的交點為H，
過點Q作軸交G點，過K作軸交E點，
，
，
∴或（舍），
∴，
∴
綜上，或；
類型三、二次函數中的菱形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊相等）或對角線（對角線垂直平分）兩類，利用菱形“四邊相等”或“平行四邊形+鄰邊相等”性質分析。 2.解題技巧：用距離公式表邊長（四邊相等），中點坐標公式（對角線平分），斜率乘積-1（對角線垂直）列方程，結合拋物線消元，限定動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立平行四邊形與鄰邊相等方程；先證平行四邊形，再驗四邊相等或對角線垂直，結合圖形驗合理性。
例3．如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸分別交于點，點 ，點是直線上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形，若四邊形 為菱形，請求出此時點的坐標；
(3)當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.
【答案】(1)
(2)點P的坐標為
(3)P點的坐標為 ，四邊形的面積的最大值為
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，涉及待定系數法求函數解析式，與面積的綜合問題，菱形的性質，綜合性較強，熟練正確知識點是解題的關鍵．
（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據菱形的對角線互相垂直且平分，可得P點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；
（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．
【詳解】（1）解：將點B和點C的坐標代入 ，
得 ，
解得 ， ．
∴ 該二次函數的表達式為 ；
（2）解：若四邊形是菱形，則點P在線段的垂直平分線上；如圖，連接，則，垂足為E，
∵，
∴ ，
∴ 點P的縱坐標等于 ．
∴ ，
解得 ， （不合題意，舍去），
∴點P的坐標為；
（3）解：過點P作y軸的平行線與交于點Q，與交于點F，
設，由題意可設設直線的表達式為 ，
則代入得：，
解得 .
∴直線的表達式為 ．
∴Q點的坐標為，
∴，
當，
解得，
∴，
∴，
∴
=
= ，
∴
當時，四邊形的面積最大，
此時P點的坐標為，四邊形的面積的最大值為．
【變式】如圖，拋物線與x軸交于點和點．與y軸交于點C，連接，．
(1)求該拋物線的函數解析式．
(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，過點P作的平行線l，交線段于D．
①試探究：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
②設拋物線的對稱軸與直線l交于點M，與直線交于點N．當時，請直接寫出的長．
【答案】(1)
(2)①存在，點E的坐標為或；②3
【分析】（1）把A、B的坐標代入拋物線，可求得a，b的值，即可得函數表達式；
（2）①設點D的坐標為，其中，可得，，，分兩種情況畫出圖形，根據菱形的性質即可求解；
②設點D的坐標為，其中，由直線可設直線的解析式為,由點D的坐標可得，則，根據的函數表達式可得，求出，根據可求得m，求出點D，點M的坐標，即可得的長．
【詳解】（1）解：把點和點代入拋物線，
得，
解得，
∴拋物線的函數解析式；
（2）①存在：
∵拋物線的函數解析式交y軸于C，
∴，
∵，
∴直線的解析式為，
設點D的坐標為，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴當時，以點D，C，B，E為頂點的四邊形為平行四邊形，
分兩種情況：
如圖，
當時，四邊形為菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴點D的坐標為，
∵點D向左移動2各單位長度，向下移動6個單位長度得到點E，
∴點E的坐標為；
如圖，
當時，四邊形為菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴點D的坐標為，
∵點D向右移動2個單位長度，向上移動6個單位長度得到點E，
∴點E的坐標為；
綜上，存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為或；
②設點D的坐標為，其中，
∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵直線的函數表達式為，直線，
∴設直線l的解析式為，
∵點D的坐標，
∴，
∴，
∵拋物線的對稱軸與直線交于點N，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得： ，
解得：，（舍去），
∴點D的坐標為，
∴點M的坐標為，
∴，
答：的長為．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和菱形的性質，三角形的面積是解題的關鍵．
類型四、二次函數中的正方形存在性問題
1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊等且垂直）或對角線（對角線等且垂直平分），利用正方形“四邊等+四角直”或“菱形+矩形”性質分析。 2.解題技巧：用距離公式（邊等）、斜率積-1（垂直）、中點重合（對角線平分）列方程，借拋物線消元，結合圖形限動點范圍。 3.解題方法：代數法聯立鄰邊等與垂直方程；先證矩形再驗鄰邊等，或先菱形再驗直角，結合圖形驗合理性。
例4．如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標平面內，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在點，點的坐標為或
【分析】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象及性質，正方形的性質，學會用分類討論的思想思考問題．
（1）將、兩點坐標代入到中，利用待定系數法求函數解析式．
（2）由題意和可得點坐標，與點坐標代入一次函數，中解出解析式，從而得出點坐標，再分兩種情況：①當為正方形的一條邊時，②當為正方形的對角線時，根據正方形的性質，即可求解．
【詳解】（1）將，代入中，
得，
解得：
拋物線的函數表達式為．
（2）由題意和可得，
，
可設直線的函數表達式為：，
將代入得：，
，
直線的函數表達式為.
設（），分兩種情況：
①當為邊時，如圖1，四邊形是正方形（點、可互換位置）.
則，
故的縱坐標與的縱坐標相等為，
將代入中，可得的橫坐標為，
則點E的坐標為，
，即，
解得（，要舍）或，
點的坐標為．
②當為對角線時，如圖2，連接，過點作軸于點H，
，，
易得，
則，
則的縱坐標為，
點的坐標為．
點在直線上，
，
解得或2（，要舍），
點的坐標為．
綜上可得：存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形，點的坐標為或．
【變式】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，，D為拋物線的頂點．
(1)求a，b的值．
(2)如圖2，連接，在線段上有一動點P（不與點O，B重合），過點P作軸，交直線于點E，
①當直線經過點D時，求的長；
②以為邊在的左側作正方形，當點F在拋物線上時，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）直接利用待定系數法求解，即可解題；
（2）①根據拋物線得到、的坐標，設直線的解析式為，利用待定系數法求出直線的解析式，進而推出點的坐標，即可解題；
②設點P的坐標為，進而得到點的坐標為，結合正方形性質得到點的坐標為，根據點F在拋物線上，建立等式求解，即可解題．
【詳解】（1）解：拋物線經過點，，
，
解得；
（2）解：①由（1）知，拋物線解析式為，
，，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
軸，
當直線經過點D時，
有，則，
；
②設點P的坐標為，
軸，
點的坐標為，
，
在的左側作正方形，且點F在拋物線上，
，
點的坐標為，
且，
整理得，
解得或，
動點P不與點O，B重合，
，
點P的坐標為．
【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式，坐標與圖形，待定系數法求一次函數解析式，正方形性質，二次函數與幾何綜合，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．
一、解答題
1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（、為常數）與軸交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點．
(1)求該拋物線的解析式：
(2)若，請求出點的坐標；
(3)連接，直線上有一動點，點為坐標平面上一個動點，若以、、、四點為頂點的四邊形為正方形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)該拋物線的解析式為
(2)點的坐標為 或
(3)點的坐標為或
【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，正方形的性質，分類討論是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法即可求解；
（2）設點的縱坐標為，由可得，求出，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當為正方形的對角線時，當為正方形的邊時，即可求解．
【詳解】（1）解：將、分別代入，
得：，
解得：，
該拋物線的解析式為：；
（2），，
，
在拋物線中，令，則，
，
設點的縱坐標為，
，
，
即，
解得：，
當時，，解得：或，
點的坐標為 或，
當時，，方程無實數根，
綜上所述，點的坐標為 或；
（3），，
，
是等腰直角三角形，
，
若以、、、四點為頂點的四邊形為正方形時，則為等腰直角三角形，
當為正方形的對角線時，即為等腰直角三角形的斜邊時，如圖，此時點與重合，
；
當為正方形的邊時，，
設直線的解析式為，
將，代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
易得直線的解析式為，
聯立，
解得：或（舍去），
；
綜上所述，點的坐標為或．
2．已知拋物線的圖象經過點，．其對稱軸為直線，與軸的另一交點為．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點在線段上，過點作軸于點，以為對角線作正方形（點在右側），當點在拋物線上時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先將點代入解析式得到，再將點代入解析式，結合對稱軸公式可得到，，即可得到答案；
（2）先利用待定系數法求得直線的解析式，設，則點，得到，連接，設與交于點，根據正方形的性質推出，從而得到，代入拋物線解析式即可到答案．
【詳解】（1）解：拋物線的圖象經過點
對稱軸為直線，且經過點
解得：
拋物線的解析式為．
（2）解：設直線的解析式為，
，
解得：
直線的解析式為
設，
軸于點
點坐標為
連接，設與交于點，如圖
四邊形是正方形
，，
軸，
，
點的橫坐標為
點在拋物線上
解得： （舍去），
當時，
點的坐標為
【點睛】本題考查了二次函數綜合，正方形的性質，待定系數法求函數解析式，解二元一次方程，解一元二次方程，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
3．如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，，，試證明為直角三角形；
(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)見解析；
(3)存在，或或．
【分析】本題考查了二次函數的性質，函數圖象交點問題，待定系數法求解解析式，掌握知識點的應用及分類討論思想是解題的關鍵．
（）利用待定系數法求解解析式即可；
（）由解析式求出點的坐標分別為、，然后利用兩點距離公式求出，，，最后通過勾股定理逆定理即可求解；
（）分或或為對角線時即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，
∴設，
將點的坐標代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）證明：∵拋物線的解析式為，
∴當時，，解得，，
∴點的坐標分別為、，
由點的坐標得，，，，
∴，
∴為直角三角形；
（3）解：存在，理由：
∵拋物線的解析式為，
∴對稱軸為直線x＝﹣1，
∴設點，點的橫坐標為，
當為對角線時，
由中點坐標公式得：，則，
則點；
當或為對角線時，
同理可得：或，則或，
∴點或，
綜上，或或．
4．如圖，已知拋物線經過兩點，與y軸交于C點．
(1)求拋物線表達式；
(2)點P是直線上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使的面積最大．若存在，請求出的最大面積，若不存在，試說明理由；
(3)若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M點坐標．
【答案】(1)
(2)存在點，使的面積最大，最大面積是16
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點的坐標，由點、的坐標，利用待定系數法即可求出直線的解析式，設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，，利用三角形的面積公式即可得出關于的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）分為以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的邊或對角線兩種情況，畫出示意圖討論即可．
【詳解】（1）解：根據題意得：，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：存在，
將代入，則，
點的坐標為．
設直線的解析式為．
將、代入，
，解得：，
直線的解析式為．
設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，如圖所示．
，
．
，
當時，的面積最大，最大面積是16．
，
存在點，使的面積最大，最大面積是16．
（3）解：如圖，
當為平行四邊形的邊時，由點可知點的縱坐標的絕對值為4，
∴或，
解得：，
當時，則有，
∴，
∴，
同理可得當，，
得，，
當為對角線時，則有，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為，，，．
【點睛】本題考查了二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積，二次函數與特殊四邊形的綜合，解題的關鍵是用分類討論的思想解決問題即可．
5．綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖2中，對稱軸直線與軸交于點H，連接，求四邊形的面積；
(3)點是直線上一點，點是平面內一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）因為拋物線經過點，兩點，所以由待定系數法即可求解；
（2）先待定系數法求出直線的表達式為：，再由四邊形的面積，即可求解；
（3）分兩種情況：①當為邊，為對角線時；②當為邊，為對角線時，根據菱形的性質即可求解．
【詳解】（1）拋物線經過點，兩點，
，
解得：，
拋物線的解析式為：．
（2）解：由拋物線的表達式知，點，其對稱軸為直線，點，
連接交直線于點，
設直線的表達式為
把，代入
得
解得
直線的表達式為：，
當時，，
即點，
則，
則四邊形的面積
；
（3）解：由（2）得拋物線的對稱軸為直線，
設點F的坐標為，
①當為邊，為對角線時，，
，
，
解得，
點F的坐標為或；
②當為邊，為對角線時，，
，
，
解得，
點F的坐標為或，
綜上所述，點F的坐標為或或或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、二次函數與坐標軸的交點、面積的計算，菱形的性質，勾股定理等知識點，數形結合、熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A在點B的左側，點Р是直線下方的拋物線上一動點．
(1)求A、B、C三點的坐標．
(2)過點P作x軸的垂線，交于點E，過點E作y軸的垂線，交y軸于點F，求的最大值以及此時P點的坐標．
(3)將拋物線沿方向平移個單位，點H是新拋物線的頂點，點Q是新拋物線對稱軸上的一個動點，點M是平面內一點，若以A，Q、H、M為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的M點坐標．
【答案】(1)，，
(2)最大值為，此時P點的坐標為
(3)或或或
【分析】（1）中，分別令，，解方程求得點A、B、C的坐標；
（2）先求得直線的解析式為，設點P的橫坐標為p，則，，進而表示出與p的關系式，根據二次函數的性質，即可求解；
（3）根據平移的性質得出新拋物線頂點，對稱軸為直線，設，，進而分3種情況討論，①，為對角線，②，為對角線，③，為對角線，根據菱形的性質，中點坐標公式列出方程組，解方程組即可求解．
【詳解】（1）解：令，
解得，，
點A在點B的左側，
，．
當時，，
；
（2）解：設直線的解析式為，
將和代入，得：，
解得，
直線的解析式為，
設點P的橫坐標為p，則，，
，，
，
，
當時，取最大值，最大值為，
，
此時P點的坐標為．
（3）解：，
把拋物線沿方向平移個單位，相當于把拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，
新拋物線解析式為，
新拋物線頂點，對稱軸為直線，
設，，又，
若，為對角線，則，的中點重合，且，
，
解得或（H與Q重合，舍去）
；
若，為對角線，則，的中點重合，且，
，
解得或，
或；
若，為對角線，則，的中點重合，且，
，
解得，
；
綜上，點M的坐標為或或或．
【點睛】本題考查了二次函數綜合，求拋物線與坐標軸交點問題，二次函數的性質，二次函數的平移，菱形的性質，熟練掌握以上知識，注意分類討論是解題的關鍵．
7．如圖，拋物線與軸交于，頂點為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)為拋物線上一點，當時，求點坐標；
(3)點是軸上的一個動點，點是坐標平面內一個動點，是否存在這樣的點、，使得以為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出的坐標；若不存在說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或，或，或，，使得以為頂點的四邊形是矩形．
【分析】（）利用待定系數法解答即可求解；
（）如圖，把繞著點逆時針旋轉到位置，過點作軸于點，可證，得到，，即可得，過點作的垂線交于點，交拋物線于點，可知，，利用中點坐標公式可得，再利用待定系數法求出直線的函數解析式，最后聯立兩函數解析式解方程組即可求解；
（）先求出頂點的坐標，設，，分為矩形的對角線、為矩形的對角線和為矩形的對角線三種情況，畫出圖形，利用矩形的性質和勾股定理解答即可求解．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，把代入得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，把繞著點逆時針旋轉到位置，過點作軸于點，則，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
過點作的垂線交于點，交拋物線于點，
∵，，
∴，，
即點為的中點，
∴，
即，
設直線的函數解析式為，把、代入得，
，
解得，
∴直線的函數解析式為，
由，解得，，
∴；
（3）解：存在．
∵，
∴，
設，，
①當為矩形的對角線時，如圖，
∵，
∴，
整理得，，
解得，
∴
∴對角線交點的坐標為，
∴，，
∴，，
∴；
②當為矩形的對角線時，如圖，
∵，
∴，
整理得，，
∴，
∴，
∴對角線交點的坐標為，
∴，，
∴，，
∴；
③當為矩形的對角線時，如圖，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∴或，
∵對角線交點的坐標為，
∴當時，，，
∴，，
∴；
當時，，，
∴，，
∴；
綜上，存在，或，或，或，，使得以為頂點的四邊形是矩形．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，旋轉的性質，余角性質，全等三角形的判定和性質，二次函數與一次函數的交點問題，等腰三角形的性質，勾股定理，矩形的性質，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
8．如圖1，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點D，過點P作于點E，過點E作軸于點F，求出的最大值及此時點P的坐標；
(3)如圖2，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點M，點N為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使以點A，M，N，H為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）設頂點式，展開得，解方程求出a即可得到拋物線解析式；
（2）根據題意推出，為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質，推出的表達式，從而建立起的函數表達式，最終利用函數法求最值；
（3）分、為邊；、為邊；、為邊討論，通過勾股定理求出N點的坐標，再由矩形對角線的性質，直接計算H的坐標．
【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，
即，
，
解得，
拋物線的函數表達式為；
（2）解：由（1）知，
當時，，
，
，
是等腰直角三角形，，
設直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
，
P是拋物線上位于直線上方的一個動點，點P作軸交于點D，
設，則，
，其中，
如圖，延長交于點G，則，
由題意可得是等腰直角三角形，
，
，
，
當時，取最大值，此時；
（3）解：∵，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，即原函數向右平移2個單位，向上平移2個單位，
∴平移后的函數解析式為，
將與聯立，得，
解得，
∴
∴兩條拋物線交點M的坐標為，
設，，連接，
，，，
①如圖，以為邊，作交對稱軸于N，可構造矩形，
，
，
解得，
∴
由A，M，N，H四點的相對位置關系可得：
，
解得，
；
②以為邊，作交對稱軸于N，可構造矩形，
，
，
解得，
∴
由A，M，N，H四點的相對位置關系可得：
，
解得，
；
③如圖，以為對角線，作交對稱軸于N，可構造矩形，
，
，
解得，
∴或，
當N的坐標為時，
由A，M，N，H四點的相對位置關系可得：
，
解得，
；
當N的坐標為時，
由A，M，N，H四點的相對位置關系可得：
，
解得，
；
綜上可知，H點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，用函數法求線段和最值問題，二次函數圖象和性質，矩形性質等知識點，是一道關于二次函數綜合題和壓軸題，綜合性強，難度較大；熟練掌握相關知識并靈活運用方程思想，數形結合思想和分類討論思想是解題關鍵．

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