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【培優(yōu)專題】 二次函數中的角度存在性問題的四類綜合題型
類型一、二次函數中的等角存在性問題
知識點：1. 二次函數圖像性質，如對稱軸、頂點坐標、單調性，用于確定點的位置關系；2. 等角的幾何判定，包括等腰三角形性質（等邊對等角）、平行線性質（同位角/內錯角相等）、全等/相似三角形對應角相等。 解題技巧：1. 構造輔助線，如作對稱點、平行線或垂線，轉化等角為已知角或易求角；2. 代數化處理，設點坐標，利用三角函數（正切值相等）或斜率表示角的關系，列方程求解。
例1．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，將沿著翻折，使點落在點處．

(1)求二次函數的表達式及點的坐標．
(2)求直線的表達式．
(3)為拋物線上一點，連接，當時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)拋物線的表達式為，；
(2)；
(3)點的坐標為或．
【分析】（1）由待定系數法求出函數表達式，進而求解；
（2）由得為直角三角形，則點是的中點，求出點，即可求解；
（3）當點在直線下方的拋物線上時，則，則點與關于對稱軸對稱，當點在直線的上方時，設交軸于，則，設，則，在中，由勾股定理得方程，可求出點的坐標，從而求出直線的解析式，與拋物線求交點即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：，
令，則或，
即點；
（2）解：由點、、的坐標得，，，，
則，
即為直角三角形，
由將沿著翻折，使點落在點處知，點是的中點，
由中點坐標公式得，點，
由、的坐標得，直線的表達式為：；
（3）解：當點在直線下方的拋物線上時，則，
點與關于對稱軸直線對稱，
，
當點在直線的上方時，

設交軸于，
則，
設，則，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直線的解析式為，
，
解得，（舍），
，
綜上：點的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，直線與拋物線的交點問題，一元二次方程的解法等知識，分點在直線的上方和下方兩種情形是解題的關鍵．
【變式1-1】如圖所示，已知拋物線，與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點D，且滿足，頂點為C．
(1)求m的值；
(2)①求拋物線頂點C的坐標；
②若將該拋物線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，直接寫出平移后的拋物線的解析式；
(3)已知點P為異于點A的該拋物線上的一個點，并且，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵：
（1）求出點坐標，進而求出點坐標，待定系數法求出的值即可；
（2）①一般式轉化為頂點式，寫出頂點坐標即可；②根據平移規(guī)則寫出新的函數解析式即可；
（3）作點關于的對稱點，交于點，連接并延長，與拋物線的交點即為點，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴當時，，
∴，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
（2）①由（1）可知：，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為：；
②該拋物線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到：
，即：；
（3）作點關于的對稱點，交于點，連接，過點作，則：，，
∵，
∴點在射線上，延長與拋物線的交點即為點，
∵，
∴當時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴均為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴設直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，
∴，
聯(lián)立，解得：（舍去）或，
∴．
【變式1-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，交軸于點和點．交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點是直線上方拋物線上一動點．連接，．求面積最大值及此時點的坐標；
(3)將原拋物線沿軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線，新拋物線與軸的負半軸交于點．點為平移后的新拋物線上一動點，當．請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）將點的坐標和代入解析式，即可求解；
（2）過點作軸，交軸于，交于，待定系數法求得直線的解析式為， 設，，，則有，由及二次函數的性質即可求解；
（3）由二次函數圖象平移得，①當時，由平行線的判定方法得，由待定系數法得直線的解析式為，聯(lián)立二者解析式，即可求解；②當時，直線與直線關于軸對稱，直線經過關于軸對稱點，同理可求．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，過點作軸，交軸于，交于，
當時，，
，
設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
，
，
設，
，
，
，
，
點是直線上方拋物線上一動點，
，
，
當時，
，
，
，
故面積最大值為，此時點的坐標為；
（3）解：由題意得
，
，
，
①當時，如圖，
，
設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，，
；
②當時，如圖，
直線與直線關于軸對稱，
直線經過關于軸對稱點，
同理可求直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，，
；
綜上所述：的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法，二次函數與三角形面積最值綜合問題，二次函數與角度綜合問題，掌握待定系數法，能熟練利用二次函數的性質求最值及分類討論思想解題問題是解題的關鍵．
類型二、二次函數中的倍角存在性問題
知識點：1. 三角函數倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan α)），通過角的正切值關系轉化代數等式；2. 幾何構造中倍角與等腰三角形關系（如外角等于不相鄰內角2倍）。 解題技巧：1. 代數法：設點坐標表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 幾何法：構造含倍角的等腰三角形，利用對稱性或全等轉化角的關系，結合函數圖像找點。
例2．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，A點坐標為，與y軸交于點．
(1)求二次函數的表達式；
(2)在直線上方的拋物線上存在點Q，使得，求點Q的坐標．
【答案】(1)二次函數的表達式為
(2)
【分析】本題屬于二次函數綜合題，主要考查二次函數的圖象與性質，等腰直角三角形的判定與性質．
（1）利用待定系數法求函數解析式即可；
（2）過點C作交拋物線于點Q，過點Q作軸于點G，根據條件得到是等腰直角三角形，則，設，則，再列方程解題即可．
【詳解】（1）解：將，代入，得：
，
解得，
∴二次函數的表達式為；
（2）解：對于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如圖，過點C作交拋物線于點Q，過點Q作軸于點G，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設，則，
∴，，
∴，
解得（舍去）或，
∴當時，，
∴．
【變式2-1】如圖1，拋物線經過兩點，與軸交于點為第四象限內拋物線上一點．

(1)求拋物線的函數表達式；
(2)設四邊形的面積為，求的最大值；
(3)如圖2，過點作軸于點，連接與軸交于點，當時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)S的最大值為
(3)
【分析】（1）將，代入，即可求解；
（2）過點P作PM⊥x軸于點N，P為第四象限內拋物線上一點，設點，則，，根據得，然后根據二次函數的最值求解即可；
（3）由題意得到，則，設，由，求出即可．
【詳解】（1）解：將，代入，得：
，
，
；
（2）解：過點P作軸于點N，如圖所示，

令，則，
∴，
∴，
∵P為第四象限內拋物線上一點，設點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴當時，S有最大值，．
（3）解：如圖，

∵軸，軸，
∴，
，
，
，
，
，
設，則，
，
，
．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函數解析式，待定指數法求函數解析式，熟練掌握二次函數的圖象及性質，勾股定理，注意數形結合思想是解題的關鍵．
【變式2-2】如圖，拋物線M過點，與x軸交于點A和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點D的坐標為．
(1)求拋物線M的表達式和點A的坐標；
(2)點F是線段上一動點，求周長的最小值；
(3)平移拋物線M得到拋物線N，已知拋物線N過點D，頂點為P，其對稱軸與拋物線M交于點Q，若，直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)最小值為
(3)P的坐標為或
【分析】（1）利用待定系數法求出表達式然后求出點A的坐標即可；
（2）首先得到直線的表達式為：，作E關于的對稱點，則，設垂足為G，則點G為E與的中點，勾股定理求出，，進而求解即可；
（3）拋物線N由拋物線M平移得到，求出拋物線N的表達式為，得到頂點P的坐標為，，作于H，則，在中，，得到，進而列方程求解即可．
【詳解】（1）∵頂點D的坐標為，
設二次函數表達式為
將點代入得
∴拋物線M的表達式為：
當時，或1，
∵點A在點B左側，
∴點A的坐標為；
（2）當時，，
∴點C的坐標為
∴設直線的表達式為：
故解得
∴，
，
，
，
作E關于的對稱點，則，設垂足為G，則點G為E與的中點
，
∴所在直線垂直于y軸，
關于的對稱點，
∴點的坐標為，
∴點G的橫坐標為
將代入得，
∴點G的坐標為，
∵，，
∴，
∴
即周長的最小值為；
（3）∵拋物線N由拋物線M平移得到，設拋物線N的表達式為
將點代入得：，
∴拋物線N的表達式為
∴頂點P的坐標為，
將代入，，
∴，
作于H，則，
∵
∴點H為點P和點Q的中點，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一個方程可得（舍），
解第二個方程可得（舍），
將代入P點坐標，
P的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數的綜合題，涉及到的知識點有二次函數圖像上點的坐標特征、二次函數的性質、待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，并靈活運用分類討論及數形結合的思想分析解決問題是解題的關鍵．
類型三、二次函數中的特殊角存在性問題
知識點：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函數值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立線段比例關系；2. 二次函數與坐標幾何結合，如兩點間距離公式、直線斜率與傾斜角關系。 解題技巧：1. 幾何構造：過動點作坐標軸垂線，構造含特殊角的直角三角形，利用邊角比表示坐標關系；2. 代數轉化：設點坐標，用斜率或距離公式表示角的三角函數值，結合函數解析式列方程求解。
例3．已知直線與軸相交于點，與拋物線相交于、兩點．
(1)求點、點的坐標及拋物線的解析式；
(2)求的面積；
(3)若點是軸上一點．且．求點坐標．
【答案】(1)，，拋物線解析式為
(2)15
(3)或
【分析】本題主要考查了二次函數綜合，求一次函數解析式：
（1）先求出一次函數解析式，進而求出點A坐標，再求出拋物線解析式，進而聯(lián)立兩函數解析式求出點C的坐標即可；
（2）根據列式計算即可；
（3）過點C作軸于D，可證明是等腰直角三角形，得到；當點Q在點A上方時，，當點Q在點A下方時，，兩種情況分別求解即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴直線解析式為，
在中，當時，，
∴；
把代入中得，解得，
∴拋物線解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴
（2）解：
；
（3）解：如圖所示，過點C作軸于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
當點Q在點A上方時，∵，
∴，
∴，
∴，
∴的坐標為；
當點Q在點A下方時，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐標為；
綜上所述，點Q的坐標為或．
【變式3-1】如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值和直線對應的函數表達式；
(2)P點是對稱軸上的一點，當的值最小時，求點P的坐標；
(3)Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵：
（1）待定系數法求出函數解析式，進而求出點坐標，再利用待定系數法求出直線的解析式即可；
（2）根據對稱性得到，進而得到當點在線段上時，的值最小，進行求解即可；
（3）過點作且，過點作軸，證明，求出點坐標，進而求出的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點坐標即可．
【詳解】（1）解：把代入，得：
，
解得：或（舍去）；
∴，
∴當時，，
∴，
設直線的解析式為：，把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴對稱軸為直線，
∵關于對稱軸對稱，
∴，
∴當點在線段上時，最小，
∵點在對稱軸上，
∴，
把代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴當時，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過點作且，過點作軸，
則：，，
∴，點在直線上，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為：，
則：，解得：；
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立，解得：或；
故．
【變式3-2】如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點和，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點M是拋物線的頂點，求出的面積；
(3)如圖2．連接，點P是拋物線上的一動點，且滿足，請直接寫出點P坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）將點和代入可得，再解方程組可得答案；
（2）如圖，連接，記與軸的交點為，求解及的解析式，再求解的坐標，最后利用三角形的面積公式計算即可；
（3）如圖，連接，取，連接交拋物線于，證明，，可得，即，求解直線為，再進一步解答即可；如圖，關于直線對稱的，證明，可得，同理可得：的解析式為：，記直線與拋物線的交點為，再進一步求解即可.
【詳解】（1）解：將點和代入可得：
∴，解得，
∴．
（2）解：如圖，連接，記與軸的交點為，
∵，
∴，
當時，，
∴，
設直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
當時，解得，
∴，
∴.
（3）解：如圖，連接，取，連接交拋物線于，
∵，，，
∴，，而，
∴，，
∴，
∴，即，
設直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
∴，
解得：或，
∴，
如圖，關于直線對稱的，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：的解析式為：，記直線與拋物線的交點為，
∴，
∴，
解得：或，
∴，
綜上：或.
【點睛】本題考查的是求解二次函數的解析式，二次函數與圖形面積，二次函數與角度問題，本題難度較大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.
一、解答題
1．如圖，拋物線與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，．
(1)求該拋物線的函數解析式；
(2)在拋物線上是否存在點P，使．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）結合已知求得，代入即可解答；
（2）由，推出是的平分線，設交x軸于E，過E作于H，得到，根據等腰直角三角形的性質得到，根據全等三角形的性質得到，求得，得到，求得直線的解析式為，解方程組即可得到結論．
【詳解】（1）解：，
，，
∴代入，得：，
，
拋物線解析式為：；
（2）存在，理由：，
是的平分線，
設交x軸于E，過E作于H，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
∴設直線的解析式為
∴，解得
直線的解析式為，
令，
解得或(不合題意舍去)，
，
．
【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形等，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
2．如圖，拋物線經過點、，交軸于點，點是拋物線上一動點．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)若，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)16
(3)或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）過點P作于T，根據列式求解即可；
（3）取，連接，，證明，則線段與拋物線的交點即為所求；求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），則；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點即為所求；同理可得；則符合題意的點P的坐標為或．
【詳解】（1）解：將點代入，
得
解得
∴拋物線解析式為；
（2）解∶如圖所示，過點P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如圖所示，取，連接，，
∵、，，
∴，，，
∴，
∴線段與拋物線的交點即為所求；
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（舍去），
∴；
如圖所示，取，連接，，
同理可得，
∴直線與拋物線的交點即為所求；
同理可知直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（舍去），
∴；
綜上所述，符合題意的點P的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，勾股定理等知識，解題的關鍵在于正確作出輔助線并利用數形結合的思想求解．
3．已知拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，對稱軸為直線．
(1)求的長；
(2)點為上方拋物線上的一動點，若的面積是面積的一半，求點的橫坐標；
(3)過點的直線與拋物線的另一個交點為，若，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)點的橫坐標為4或2
(3)
【分析】該題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．還考查了等腰三角形的性質和三角形外角的性質，一次函數的圖象和性質．
（1）求出拋物線的表達式，得到，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）證明，則，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
，
，
令，則，
，
，
．
（2）解：當時，，
，
，
，
設直線的表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，
則，
則直線，
過點作軸交于，

設，則，
，
，
∴點的橫坐標為4或2；
（3）解：設直線與軸交于點，

則，
，
∴，
，
，
由點的坐標得，，解得：，
∴直線的解析式為：，
令，
解得：，
．
4．如圖，拋物線與軸交于點，點，交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點在直線上方拋物線上運動，過點作，軸于點，求的最大值，以及此時點的坐標；
(3)將原拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位得到，點是原拋物線的頂點，問在平移后的拋物線上是否存在點，使得，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)；
(2)4，；
(3)或．
【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數的平移、運用二次函數求最值、二次函數與幾何綜合等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
（1）直接運用待定系數法求解即可；
（2）先說明，如圖：作軸交于點Q，結合已知條件可得，進而得到，即，設點．可得，根據二次函數的性質可得當時，的最大值為4，最后確定點P的坐標即可；
（3）先求出原拋物線的頂點坐標，平移后的解析式為，然后分點M在直線的下方和上方兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點、點兩點，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：∵拋物線的解析式為，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖：作軸交于點Q，
∵，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為，
設點．
∴，
∴，
∴當時，的最大值為4，
∴當的最大值時，，
∴．
（3）解：如圖：
∵，
∴拋物線的對稱軸為，頂點坐標，
∴將原拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位得到的解析式為，
當點在直線的下方時，點為直線的延長線與新拋物線的交點，
設直線的解析式為：，
則，解得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立，解得：或2（舍棄），
∴，
∴；
當點在直線的上方時，作點N關于點C的對稱點，則，點為直線的延長線與新拋物線的交點，
設直線的解析式為：，
則，解得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立，解得：或（舍棄），
∴，
∴．
綜上，點M的坐標為或．
5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，交軸于點和點，交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點是直線上方拋物線上一動點，連接，求面積最大值及此時點的坐標；
(3)將原拋物線沿軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線，新拋物線與軸的負半軸交于點，點為平移后的新拋物線上一動點，當，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的基本性質、待定系數法求函數表達式、一次函數和二次函數的圖象交點等知識．
（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）過點P作軸交于點E，求出直線的解析式為，得到，，則，當時，取得最大值，得到取得最大值，此時，即可得到答案；
（3）求出，再求出點的坐標為，當時，，進一步求出直線的解析式為，聯(lián)立直線和平移后的拋物線解析式得到或，則點的坐標是，當時，，則直線經過點的關于軸對稱點，求出直線的解析式為，聯(lián)立直線和平移后的拋物線解析式得到或，即可得到點的坐標是．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，交軸于點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過點P作軸交于點E，

當時，，
∴，
設直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
，
，則，
∵，且 ，
當時，取得最大值，
取得最大值，
此時，
此時；
（3）∵，
∴將原拋物線沿軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線，則：
，
當時，，解得或，
∴點的坐標為，
如圖，當時，，

∵直線的解析式為，
∴可設直線的解析式為，
把點代入得到，，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得到，
解得或，
∴點的坐標是，
當時，，
∴直線與直線關于軸對稱，
∴直線經過點的關于軸對稱點，
設直線的解析式為，
把點的坐標為，點代入，得
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得到，
解得，或，
∴點的坐標是，
綜上可知，點的坐標為或．
6．已知拋物線經過點和．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，如圖．
①求的面積；
②點在拋物線上，點在線段上（不與端點，重合），若，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，求拋物線與坐標軸的交點，角度問題；
（1）待定系數法求解析式，即可求解；
（2）①分別令求得的坐標，根據三角形的面積公式，即可求解；
②先求出點坐標，當點在線段上時:是△DCE的外角，，而，所以此時，有，可求出所在直線的解析式，設點坐標，再根據兩點距離公式，，得到關于的方程，求解的值，即可求出點坐標；當點在線段的延長線上時，根據題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長至，取，此時，，從而證明是要找的點，應為，為等腰直角三角形， 點和關于點對稱，可以根據點坐標求出點坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點和．
∴
解得：
∴拋物線解析式為
（2）解：①在中，當時，，則有，
令，則有，
解得：，
∴，則
∴
②∵點在拋物線上
∴
∴點坐標
設所在直線解析式為，其過點、
有，
解得
∴所在直線的解析式為：
當點在線段上時，設
而
∴
∴
，，
∴
解得：，
所以點的坐標為:
7．如圖，二次函數與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C．已知點，拋物線的對稱軸為直線．
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接，點P是拋物線上一點，在直線下方移動，過點P分別向x軸，y軸作垂線，與交于E，F兩點，求的最大值并求出此時點P的坐標；
(3)將拋物線沿著射線的方向平移個單位，點M是平移后拋物線對稱軸上任意一點，若，直接寫出點M的坐標．
【答案】(1)二次函數的表達式為
(2)，此時點P的坐標為
(3)點M的坐標為或
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的的關鍵：
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）求出的坐標，設，將轉化為二次函數求最值即可；
（3）求出平移后的解析式，進而求出平移后的對稱軸，分點在的上方和下方兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過，對稱軸為直線，
∴，解得：，
∴；
（2）∵點關于直線對稱，，
∴，
∵，
∴當時，，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，
設，
∵軸，軸，
∴，軸，，
∴，，
∴，
∴，
∴當時，有最大值為，此時；
（3）∵，由（2）知：為等腰直角三角形，
∴將拋物線沿著射線的方向平移個單位，即向右，向上各平移1個單位，
∴新的拋物線的解析式為：，
∴新的拋物線的對稱軸為直線，
延長交軸于點，
∵，，
∴①當點在直線上方時，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴同（2）法可得：直線的解析式為：，
∴當時，，即：；
②當點在直線下方時，，則：，
∴，
∴
同理：直線的解析式為：，
∴當時，，即：；
綜上：或．中小學教育資源及組卷應用平臺
【培優(yōu)專題】 二次函數中的角度存在性問題的四類綜合題型
類型一、二次函數中的等角存在性問題
知識點：1. 二次函數圖像性質，如對稱軸、頂點坐標、單調性，用于確定點的位置關系；2. 等角的幾何判定，包括等腰三角形性質（等邊對等角）、平行線性質（同位角/內錯角相等）、全等/相似三角形對應角相等。 解題技巧：1. 構造輔助線，如作對稱點、平行線或垂線，轉化等角為已知角或易求角；2. 代數化處理，設點坐標，利用三角函數（正切值相等）或斜率表示角的關系，列方程求解。
例1．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，將沿著翻折，使點落在點處．

(1)求二次函數的表達式及點的坐標．
(2)求直線的表達式．
(3)為拋物線上一點，連接，當時，請直接寫出點的坐標．
【變式1-1】如圖所示，已知拋物線，與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點D，且滿足，頂點為C．
(1)求m的值；
(2)①求拋物線頂點C的坐標；
②若將該拋物線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，直接寫出平移后的拋物線的解析式；
(3)已知點P為異于點A的該拋物線上的一個點，并且，求點P的坐標．
【變式1-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，交軸于點和點．交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點是直線上方拋物線上一動點．連接，．求面積最大值及此時點的坐標；
(3)將原拋物線沿軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線，新拋物線與軸的負半軸交于點．點為平移后的新拋物線上一動點，當．請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
類型二、二次函數中的倍角存在性問題
知識點：1. 三角函數倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan α)），通過角的正切值關系轉化代數等式；2. 幾何構造中倍角與等腰三角形關系（如外角等于不相鄰內角2倍）。 解題技巧：1. 代數法：設點坐標表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 幾何法：構造含倍角的等腰三角形，利用對稱性或全等轉化角的關系，結合函數圖像找點。
例2．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，A點坐標為，與y軸交于點．
(1)求二次函數的表達式；
(2)在直線上方的拋物線上存在點Q，使得，求點Q的坐標．
【變式2-1】如圖1，拋物線經過兩點，與軸交于點為第四象限內拋物線上一點．

(1)求拋物線的函數表達式；
(2)設四邊形的面積為，求的最大值；
(3)如圖2，過點作軸于點，連接與軸交于點，當時，求點的坐標．
【變式2-2】如圖，拋物線M過點，與x軸交于點A和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點D的坐標為．
(1)求拋物線M的表達式和點A的坐標；
(2)點F是線段上一動點，求周長的最小值；
(3)平移拋物線M得到拋物線N，已知拋物線N過點D，頂點為P，其對稱軸與拋物線M交于點Q，若，直接寫出點P的坐標．
類型三、二次函數中的特殊角存在性問題
知識點：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函數值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立線段比例關系；2. 二次函數與坐標幾何結合，如兩點間距離公式、直線斜率與傾斜角關系。 解題技巧：1. 幾何構造：過動點作坐標軸垂線，構造含特殊角的直角三角形，利用邊角比表示坐標關系；2. 代數轉化：設點坐標，用斜率或距離公式表示角的三角函數值，結合函數解析式列方程求解。
例3．已知直線與軸相交于點，與拋物線相交于、兩點．
(1)求點、點的坐標及拋物線的解析式；
(2)求的面積；
(3)若點是軸上一點．且．求點坐標．
【變式3-1】如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值和直線對應的函數表達式；
(2)P點是對稱軸上的一點，當的值最小時，求點P的坐標；
(3)Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標．
【變式3-2】如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點和，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點M是拋物線的頂點，求出的面積；
(3)如圖2．連接，點P是拋物線上的一動點，且滿足，請直接寫出點P坐標．
一、解答題
1．如圖，拋物線與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，．
(1)求該拋物線的函數解析式；
(2)在拋物線上是否存在點P，使．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2．如圖，拋物線經過點、，交軸于點，點是拋物線上一動點．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)若，求點的坐標．
3．已知拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，對稱軸為直線．
(1)求的長；
(2)點為上方拋物線上的一動點，若的面積是面積的一半，求點的橫坐標；
(3)過點的直線與拋物線的另一個交點為，若，求點的坐標．
4．如圖，拋物線與軸交于點，點，交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點在直線上方拋物線上運動，過點作，軸于點，求的最大值，以及此時點的坐標；
(3)將原拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位得到，點是原拋物線的頂點，問在平移后的拋物線上是否存在點，使得，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，交軸于點和點，交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點是直線上方拋物線上一動點，連接，求面積最大值及此時點的坐標；
(3)將原拋物線沿軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線，新拋物線與軸的負半軸交于點，點為平移后的新拋物線上一動點，當，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
6．已知拋物線經過點和．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，如圖．
①求的面積；
②點在拋物線上，點在線段上（不與端點，重合），若，求點的坐標．
7．如圖，二次函數與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C．已知點，拋物線的對稱軸為直線．
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接，點P是拋物線上一點，在直線下方移動，過點P分別向x軸，y軸作垂線，與交于E，F兩點，求的最大值并求出此時點P的坐標；
(3)將拋物線沿著射線的方向平移個單位，點M是平移后拋物線對稱軸上任意一點，若，直接寫出點M的坐標．

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