資源簡介

蘇科版·九年級上冊
1.4 用一元二次方程
解決問題
第一章
一元二次方程
章節導讀
學 習 目 標
1
2
能由實際問題抽象出一元二次方程，掌握用一元二次方程解決問題的一般步驟
能用一元二次方程解決圖形面積問題、增長率問題、商品銷售問題、動態幾何問題、數字問題等
知識回顧
1. 用一元一次方程解決問題的一般步驟：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}步驟
注意點
（一）審
審題，明確已知未知，找出等量關系
等量關系關鍵句中找
（二）設
設未知數
一般要帶單位
（三）列
根據等量關系列方程
方程兩邊單位要統一
（四）解
選擇合適的方法解方程
一般不必寫出解方程的過程
（五）驗
檢驗未知數的值是否滿足方程，
檢驗該值在實際問題中是否有意義
若不符合實際意義，要舍去
（六）答
寫出實際問題的答案
注意帶上單位
新知探究
知識要點
類似地，用一元二次方程解決問題的一般步驟：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}步驟
注意點
（一）審
審題，明確已知未知，找出等量關系
等量關系關鍵句中找
（二）設
設未知數
一般要帶單位
（三）列
根據等量關系列方程
方程兩邊單位要統一
（四）解
選擇合適的方法解方程
一般不必寫出解方程的過程
（五）驗
檢驗未知數的值是否滿足方程，
檢驗該值在實際問題中是否有意義
若不符合實際意義，要舍去
（六）答
寫出實際問題的答案
注意帶上單位
典例分析
圖形面積
典例1 如圖，在寬為20m，長為38m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪。要使草坪的面積為540m2，求道路的寬。如果設小路寬為x m，根據題意，所列的方程為_______________________。
【分析】
等量關系：草坪的面積為540m2
解：∵小路寬為x m，
∴種植草坪的部分可合成長為( 38 - x ) m，寬為( 20 - x ) m的矩形，
由題意可得：( 20 - x ) ( 38 - x ) = 540。
( 20 - x ) ( 38 - x ) = 540
新知探究
知識要點
增長率有關公式：
( 1 ) 增長率 = 增長數量原數量 × 100% = 現數量?原數量原數量 × 100%；
( 2 ) 現數量 = 原數量 × ( 1 + 增長率 )。
eg：若原數量為a，每一輪的增長率為x，
則第一輪增長后的數量為a ( 1 + x )；
第二次增長后的數量為a ( 1 + x )2。
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}原數量
第一輪
第二輪
a
a ( 1 + x )
a ( 1 + x )2
典例分析
增長率
典例2 小區新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，則根據題意可列方程為___________________。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}第一天攬件數（單位：件）
第二天攬件數（單位：件）
第三天攬件數（單位：件）
200
200 ( 1 + x )
242
200 ( 1 + x )2
【分析】
等量關系：200 ( 1 + x )2 = 242
200 ( 1 + x )2 = 242
新知探究
知識要點
下降率有關公式：
( 1 ) 下降率 = 下降數量原數量 × 100% = 現數量?原數量原數量 × 100%；
( 2 ) 現數量 = 原數量 × ( 1 - 下降率 )。
eg：若原數量為a，每一輪的下降率為x，
則第一輪下降后的數量為a ( 1 - x )；
第二次下降后的數量為a ( 1 - x )2。
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}原數量
第一輪
第二輪
a
a ( 1 - x )
a ( 1 - x )2
典例分析
下降率
典例3 某一芯片實現國產化后，經過兩次降價，每塊芯片單價由256元降為196元。若兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，則根據題意可列方程為___________________。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}原價
（單位：元/塊）
經第一次降價后的價格
（單位：元/塊）
經第二次降價后的價格
（單位：元/塊）
256
256 ( 1 + x )
196
256 ( 1 - x )2
【分析】等量關系：256 ( 1 - x )2 = 196
256 ( 1 - x )2 = 196
典例分析
商品銷售
典例4 某商店經銷一批小家電，每個小家電成本40元，經市場預測，定價為50元時，可銷售200個，定價每增加1元，銷售量將減少10個，如果商店進貨后全部銷售完，賺了2160元，該小家電定價是____________元。
【分析】
等量關系：每個的銷售利潤 × 銷售數量 = 總利潤2160元
解：設該小家電定價時x元，
則每個的銷售利潤為( x - 40 )元，可銷售[ 200 - 10 ( x - 50 )]個，
由題意可得：( x - 40 ) [ 200 - 10 ( x - 50 ) ] = 2160，整理得：x2 - 110x + 3016 = 0，
解得：x1 = 52，x2 = 58，經檢驗，兩解都成立，
答：該小家電定價是52元或58元。
52或58
典例分析
動態幾何
典例5 如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12cm，BC = 9cm。現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動，如果點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動。設運動的時間為t s，當t為何值時，Rt△CPQ的面積等于5cm2？
解：由題意可得：CP = 12 - 2t，CQ = t，
∴S△CPQ = 12 CP·CQ = 12 ( 12 - 2t ) t = 5，解得：t1 = 1，t2 = 5，
∵當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，
∴2t ≤ 12，解得：t ≤ 6，∴t = 1或t = 5兩解都成立，
答：當t = 1或t = 5時，Rt△CPQ的面積等于5cm2。
?
【分析】等量關系：S△CPQ = 12 CP·CQ = 5cm2
?
典例分析
數字
典例6 一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這兩位數小4，設個位數字為x，則可列方程為_____________________________。
解：由題意可得：十位數字是( x + 4 )，這個兩位數是[ 10 ( x + 4 ) + x ]，
∴x2 + ( x + 4 )2 = 10 ( x + 4 ) + x - 4。
【分析】
等量關系：( 個位數字 )2 + ( 十位數字 )2 = 這個兩位數 - 4
x2 + ( x + 4 )2 = 10 ( x + 4 ) + x - 4
題型探究
【例1】如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長36米的圍欄建兩個面積相同的生態園，由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米。（圍欄寬忽略不計）
( 1 ) 每個生態園的面積為48平方米，求每個生態園的邊長；
( 2 ) 每個生態園的面積能否達到60平方米？請說明理由。
圖形面積問題
題型一
解：( 1 ) 設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為36?3????2米，
由題意可得：x·36?3????2 = 48，整理得：x2 - 12x + 32 = 0，
解得：x1=4，x2=8（不合題意，舍去），∴36?3????2 = 36?3×42 = 12，
答：每個生態園的長為12米，寬為4米。
?
【分析】( 1 ) 等量關系：生態園的面積為48平方米
題型探究
【例1】如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長36米的圍欄建兩個面積相同的生態園，由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米。（圍欄寬忽略不計）
( 1 ) 每個生態園的面積為48平方米，求每個生態園的邊長；
( 2 ) 每個生態園的面積能否達到60平方米？請說明理由。
圖形面積問題
題型一
解：( 2 ) 每個生態園的面積不能達到60平方米，理由如下：
設垂直于墻的一邊長為y米，則平行于墻的一邊長為36?3????2米，
由題意可得：y·36?3????2 = 60，整理得：y2 - 12y + 40 = 0，
∵Δ = ( -12 )2 - 4 × 1 × 40 = -16 < 0，
∴該方程無實數根，即每個生態園的面積不能達到60平方米。
?
【分析】( 2 ) 等量關系：生態園的面積為60平方米
題型探究
增長率 / 下降率問題
題型二
【例2】( 1 ) 某網絡學習平臺2022年的新注冊用戶數為100萬，2024年的新注冊用戶數為169萬，設新注冊用戶數的年平均增長率為x ( x > 0 )，則x = _______；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}2022年的用戶數（單位：萬）
2023年的用戶數（單位：萬）
2024年的用戶數（單位：萬）
100
100 ( 1 + x )
169
100 ( 1 + x )2
解：( 1 ) 由題意可得：100 ( 1 + x )2 = 169，
解得：x1 = 0.3 = 30%，x2 = -2.3（不合題意，舍去）。
【分析】( 1 ) 等量關系：100 ( 1 + x )2 = 169
30%
題型探究
增長率 / 下降率問題
題型二
【例2】( 2 ) 某商品原價每件75元，兩次降價后每件48元，則平均每次的降價百分率是_______。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}原價
（單位：元/件）
經第一次降價后的價格
（單位：元/件）
經第二次降價后的價格
（單位：元/件）
75
75 ( 1 - x )
48
75 ( 1 - x )2
解：( 2 ) 設平均每次的降價百分率是x，
由題意可得：75 ( 1 - x )2 = 48，
解得：x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8（不合題意，舍去），
∴平均每次的降價百分率是20%。
【分析】
( 2 ) 等量關系：75 ( 1 - x )2 = 48
20%
題型探究
商品銷售問題
題型三
【例3】某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元。甲現在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個。乙現在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個。假定甲、乙兩種商品每天賣出的數量和不變（和為36袋），且售價均為整數。
( 1 ) 當甲的售價提高x元，乙的售價為__________元；（用含x的代數式表示）
( 2 ) 當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？
解：( 1 ) 甲商品的售價提高x元，則甲商品每天少賣出2x個，
∵甲、乙兩種商品每天賣出的數量和不變，∴乙商品每天多賣2x個，
又∵售價每降低1元，每天多賣出4個，
∴乙的售價為：14 - 2????4 = 14 - ????2（元）；
?
( 14 - ???????? )
?
題型探究
商品銷售問題
題型三
【例3】某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元。甲現在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個。乙現在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個。假定甲、乙兩種商品每天賣出的數量和不變（和為36袋），且售價均為整數。( 1 ) 當甲的售價提高x元，乙的售價為( 14 - ????2 )元；（用含x的代數式表示）
( 2 ) 當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？
?
【分析】( 2 ) 等量關系：
甲的銷售利潤 × 甲的銷售數量 + 乙的銷售利潤 × 乙的銷售數量 = 總利潤268元
解：( 2 ) 設甲商品的售價提高x元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元，
由題意可得：( 10 + x - 5 ) ( 30 - 2x ) + ( 14 - ????2 - 7 ) ( 6 + 2x ) = 268，整理得：3x2 - 31x + 76 = 0，
解得：x1 = 4，x2 = 193，∵售價均為整數，∴x = 4。
答：甲商品的售價提高4元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元。
?
題型探究
動態幾何問題
題型四
【例4】如圖，在長方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發，沿折線A-B-C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發，沿CD向點D運動，當其中一個動點到達終點時，另一點也隨之停止運動。
( 1 ) 兩動點運動幾秒時，四邊形PBCQ的面積是長方形ABCD面積的49？
( 2 ) 是否存在某一時刻，使得點P與點Q之間的距離為5cm？若存在，求出該時刻；若不存在，請說明理由。
?
解：( 1 ) 設兩動點運動t秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的49，
由題意可得：CQ = t，BP = 6 - 2t，∴12 ( t + 6 - 2t ) × 2 = 49 × 6 × 2，解得：t = 23，
∵要構成四邊形PBCQ，∴2t < 6，解得：t < 3，∴t = 23成立，
答：兩動點運動23秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的49；
?
【分析】( 1 ) 等量關系：S四邊形PBCQ = 12 ( CQ + BP )·BC = 49 S長方形ABCD= 49 AB·AD
?
題型探究
動態幾何問題
題型四
【例4】如圖，在長方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發，沿折線A-B-C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發，沿CD向點D運動，當其中一個動點到達終點時，另一點也隨之停止運動。
( 2 ) 是否存在某一時刻，使得點P與點Q之間的距離為5cm？若存在，求出該時刻；若不存在，請說明理由。
?
【分析】( 2 ) 需分類討論：
第一種情況：如圖①②，等量關系：PQ = ????????2+????????2 = 5cm
?
解：( 2 ) 存在某一時刻，使得點P與點Q之間的距離為5cm，理由如下：
設兩動點經過t秒，使得點P與點Q之間的距離為5，
如圖①②，當0 < t ≤ 3時，
根據題意得：PE = | 6 - 2t - t |，
∴( 6 - 2t - t )2 + 4 = 5，解得：t = 53或t = 73；
?
題型探究
動態幾何問題
題型四
【例4】如圖，在長方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發，沿折線A-B-C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發，沿CD向點D運動，當其中一個動點到達終點時，另一點也隨之停止運動。
( 2 ) 是否存在某一時刻，使得點P與點Q之間的距離為5cm？若存在，求出該時刻；若不存在，請說明理由。
?
第二種情況：如圖③，等量關系：PQ = ????????2+????????2 = 5cm
?
如圖③，當3 < t ≤ 4時，
由題意可得：PC = 8 - 2t，CQ = t，
∴( 8 - 2t )2 + t2 = 5，整理得：5t2 - 32t + 59 = 0，
∵Δ = 322 - 4 × 5 × 59 = -156 < 0，
∴該方程無實數根；
綜上，當t = 53或t = 73時，點P與點Q之間的距離為5cm。
?
題型探究
數字問題
題型五
【例5】一個兩位數，個位數字比十位數字大3，個位數字的平方剛好等于這個兩位數，則這個兩位數是多少？
解：設個位數字為x，則十位數字是( x - 3 )，這個兩位數是[ 10 ( x - 3 ) + x]，
由題意可得：x2 = 10 ( x - 3 ) + x，整理得：x2 - 11x + 30 = 0，解得：x1 = 5，x2 = 6，
當x = 5時，x - 3 = 2，則這個兩位數是25；
當x = 6時，x - 3 = 3，則這個兩位數是36；
答：這個兩位數是25或36。
【分析】
等量關系：( 個位數字 )2 = 這個兩位數
課堂小結
類似地，用一元二次方程解決問題的一般步驟：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}步驟
注意點
（一）審
審題，明確已知未知，找出等量關系
等量關系關鍵句中找
（二）設
設未知數
一般要帶單位
（三）列
根據等量關系列方程
方程兩邊單位要統一
（四）解
選擇合適的方法解方程
一般不必寫出解方程的過程
（五）驗
檢驗未知數的值是否滿足方程，
檢驗該值在實際問題中是否有意義
若不符合實際意義，要舍去
（六）答
寫出實際問題的答案
注意帶上單位
感謝聆聽!

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