資源簡(jiǎn)介

蘇科版·九年級(jí)上冊(cè)
1.2.2 一元二次方程的
解法——配方法

第一章
一元二次方程
章節(jié)導(dǎo)讀
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
掌握用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟
掌握用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的一般步驟
3
運(yùn)用配方法解決比較大小、求最值、求參等問(wèn)題
新知探究
思
考
1. 先填空，再觀察。
( 1 ) x2 + 2x + ____ = ( x + 1 )2；
( 2 ) x2 - 4x + ____ = ( x - 2 )2；
( 3 ) x2 + 6x + ____ = ( x + ____ )2；
( 4 ) x2 - 2px + ____ = ( x - ____ )2
( 5 ) x2 + hx + ____ = ( x + ____ )2。
12
22
32
3
p2
p
????????????
?
????????
?
新知探究
思
考
2. 解方程：x2 + 12x + 27 = 0。
無(wú)法直接開(kāi)平方，怎么辦？
新知探究
思
考
3. 解方程：( x + 6 )2 - 9 = 0，同時(shí)思考該方程與 x2 + 12x + 27 = 0 有何關(guān)聯(lián)。
解：( x + 6 )2 - 9 = 0 的解為：x1 = -3，x2 = -9；
若用完全平方公式展開(kāi) ( x + 6 )2，
則 ( x + 6 )2 - 9 = x2 + 12x + 36 - 9 = x2 + 12x + 27，
∴( x + 6 )2 - 9 = 0 的解就是 x2 + 12x + 27 = 0 的解。
新知探究
x2 + 2·x·6 + 62 = -27 + 62
由此可知：要解方程 x2 + 12x + 27 = 0，可以把它化成 ( x + h )2 = k 的形式，即 ( x + 6 )2 = 9。
x2 + 12x + 27 = 0
x2 + 12x = -27
為了方便配完全平方式，可以先將常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到等式右邊
x2 + 2·x·6 = -27
在方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，即 ( 12 ÷ 2 )2 = 62
( x + 6 )2 = 9
等號(hào)左邊配成一個(gè)完全平方式
新知探究
配方法的定義：
把一個(gè)一元二次方程變形為 ( x + h )2 = k 的形式，
當(dāng) k ≥ 0 時(shí)，就可以用直接開(kāi)平方法求出方程的解，
這種解一元二次方程的方法叫做配方法。
知識(shí)要點(diǎn)
典例分析
典例1 解方程：x2 - 18x + 1 = 0。
解：① 移項(xiàng)：x2 - 18x = -1，
② 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 - 2·x·9 + 92 = -1 + 92，
③ 配方：( x - 9 )2 = 80，
④ 直接開(kāi)方：x - 9 = ±45，
∴ x1 = 45 + 9，x2 = -45 + 9。
?
方法技巧
解題關(guān)鍵：
嚴(yán)格按照步驟計(jì)算。
典例分析
典例2 解方程：x2 - 7x + 6 = 0。
解：① 移項(xiàng)：x2 - 7x = -6，
② 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 - 2·x·72 + 722 = -6 + 722，
③ 配方：( x - 72 )2 = 254，
④ 直接開(kāi)方：x - 72 = ±52，∴ x1 = 6，x2 = 1。
?
典例分析
典例3 解方程：x2 + 14x + 49 = 0。
解：① 配方：( x + 7 )2 = 0，
② 直接開(kāi)方：x + 7 = ±0，
∴ x1 = x2 = -7。
方法技巧
解題關(guān)鍵：
直接利用完全平方公式配方。
典例分析
典例4 解方程：x2 + 5x + 7 = 0。
解：① 移項(xiàng)：x2 + 5x = -7，
② 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 + 2·x·52 + 522 = -7 + 522，
③ 配方：( x + 52 )2 = ?34 < 0，
④ 方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
方法技巧
解題關(guān)鍵：
若配方后等號(hào)右邊 < 0，
則方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
新知探究
配方法的一般步驟 ( 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1 )：
① 把原方程化為 x2 + bx + c = 0 的形式；
② 移項(xiàng)：x2 + bx = -c；
③ 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 + 2·x·????2 + ????22 = -c + ????22；
④ 配方：????+????22 = ????2?4????4；
⑤ 若等號(hào)右邊 ≥ 0，則直接開(kāi)平方；若等號(hào)右邊 < 0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
知識(shí)要點(diǎn)
新知探究
探究活動(dòng)
用配方法解一元二次方程 x2 + 2x - 24 = 0，配方的過(guò)程可以用拼圖直觀地表示。
解：把方程 x2 + 2x - 24 = 0 變形為 x2 + 2x = 24，即 x ( x + 2 ) = 24；
配方的過(guò)程，可以看成將一個(gè)長(zhǎng)是 ( x + 2 )，寬是 x，面積是24的矩形割補(bǔ)成一個(gè)正方形。
新知探究
探究活動(dòng)
一個(gè)矩形通過(guò)割、拼、補(bǔ)，成為一個(gè)正方形的過(guò)程
配方的過(guò)程
24
x + 2
x
x ( x + 2 ) = 24
x2 + 2x = 24
x2 + 2x + 12 = 24 + 12
25
x + 1
x + 1
( x + 1 )2 = 25
x
x
1
1
x2
x
x
x
x
1
1
x2
x
x
x
x
1
1
x2
x
x
1
割
補(bǔ)
成
一
個(gè)
正
方
形
配方
x + 1 = ±5
∴ x1 = 4，x2 = -6
典例分析
典例5 解方程：2x2 - x - 3 = 0。
當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，怎么辦？
分析：
把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，即方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)。
典例分析
解：① 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2 - 12x - 32 = 0，
② 移項(xiàng)：x2 - 12x = 32，
③ 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 - 2·x·14 + 142 = 32 + 142，
④ 配方：( x - 14 )2 = 2516，
⑤ 直接開(kāi)方：x - 14 = ±54，∴ x1 = 32，x2 = -1。
?
典例5 解方程：2x2 - x - 3 = 0。
典例分析
典例6 解方程：2x2 + 2x + 12 = 0。
?
解：① 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2 + x + 14 = 0，
② 配方：( x + 12 )2 = 0，
③ 直接開(kāi)方：x + 12 = ±0，∴ x1 = x2 = ?12。
?
典例分析
典例7 解方程：2x2 - x + 1 = 0。
解：① 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2 - 12x + 12 = 0，
② 移項(xiàng)：x2 - 12x = ?12，
③ 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：
x2 - 2·x·14 + 142 = ?12 + 142，
④ 配方：( x - 14 )2 = ?716 < 0，
⑤ 方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
新知探究
配方法的一般步驟 ( 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1 )：
① 把原方程化為 ax2 + bx + c = 0 的形式；
② 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2 + ????????x + c = 0；
③ 移項(xiàng)：x2 + ????????x = ?????????；
④ 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2 + 2·x·????2???? + ????22 = ????????? + ????2????2；
⑤ 配方：????+????2????2 = ????2?4????????4????2；
⑥ 若等號(hào)右邊 ≥ 0，則直接開(kāi)平方；若等號(hào)右邊 < 0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
知識(shí)要點(diǎn)
題型探究
【例1】解方程：x ( x - 6 ) - 7 = 0。
配方法解方程-二次項(xiàng)系數(shù)為1
題型一
解：x2- 6x - 7 = 0，
x2 - 6x = 7，
x2 - 2·x·3 + 32 = 7 + 32，
( x - 3 )2 = 16，
x - 3 = ±4，
∴ x1=7，x2=-1。
題型探究
【例2】解方程：
( 1 ) 2x2 + 4x - 5 = 0； ( 2 ) 4x2 + 12x + 9 = 0；
配方法解方程-二次項(xiàng)系數(shù)不為1
題型二
解：( 1 ) x2 + 2x - 52 = 0，
x2 + 2x = 52，
x2 + 2·x·1 + 12 = 52 + 12，
( x + 1 )2 = 72，
x + 1 = ±142，∴ x1 = ?2+142，x2 = ?2?142；
?
( 2 ) x2 + 3x + 94 = 0，
( x + 32 )2 = 0，
x + 32 = ±0，
∴ x1 = x2 = ?32；
?
題型探究
【例2】解方程：
( 3 ) 3x2 - 8x + 7 = 0。
配方法解方程-二次項(xiàng)系數(shù)不為1
題型二
解：x2 - 83x + 73 = 0，
x2 - 83x = ?73，
x2 - 2·x·43 + 432 = ?73 + 432，
( x -43 )2 = ?59 < 0，
∴ 方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
題型探究
【例3】( 1 ) 已知 m = 2b + 2022，n = b2 + 2025，
則 m 和 n 的大小關(guān)系中正確的是（　　）
A．m > n B．m ≥ n C．m < n D．m ≤ n
配方法的應(yīng)用-比較大小
題型三
解：( 1 ) ∵ m = 2b + 2022，n = b2 + 2025，
∴ n - m
= b2 - 2b + 3
= b2 - 2b + 1 + 2
= ( b -1 )2 + 2 > 0，
∴ n > m。
C
解題方法與策略：作差法
① 作差
② 配完全平方式，使得差變形為“a ( )2 + c”的形式
③根據(jù)完全平方式的非負(fù)性判斷差的正負(fù)
題型探究
【例3】( 2 ) 若A = x2 + 2x + 2y，B = -y2 + 4x - 3，則A、B的大小關(guān)系為（　　）
A．A > B B．A < B C．A = B D．無(wú)法確定
配方法的應(yīng)用-比較大小
題型三
解：∵ A - B = x2 + 2x + 2y + y2 - 4x + 3
= x2 + 2x + 1 + ( y2 + 2y + 1 ) + 1
= ( x + 1 )2 + ( y + 1 )2 + 1 > 0，
∴ A > B。
A
題型探究
【例4】( 1 ) 求代數(shù)式 x2 - 10x + 5 的最小值。
配方法的應(yīng)用-求最值
題型四
解：x2 - 10x + 5
= x2 - 10x + 25 - 20
= ( x - 5 )2 - 20，
當(dāng) ( x - 5 )2 = 0，即 x = 5 時(shí)，
代數(shù)式取最小值為-20。
解題方法與策略：
① 配完全平方式，使得代數(shù)式變形為“a ( )2 + c”的形式
② 根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，
當(dāng)a ( )2 = 0時(shí)，代數(shù)式取最值c
題型探究
【例4】( 2 ) 求代數(shù)式 -2x2 + 10x + 1 的最大值。
配方法的應(yīng)用-求最值
題型四
解：-2x2 + 10x + 1
= -2 ( x2 - 5x ) + 1 = -2 ( x2 - 5x + 254 - 254 ) + 1 = -2 ( x2 - 5x + 254 ) + 252 + 1
= -2 ( x - 52 )2 + 272，
當(dāng) -2 ( x - 52 )2 = 0，即 x = 52 時(shí)，代數(shù)式取最大值為272。
?
題型探究
【例5】已知 x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = 0，
求 ( x - y )2025 的值。
配方法的應(yīng)用-“0 + 0 = 0”模型
題型五
解：∵ x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = 0，
∴ x2 - 4x + 4 + ( y2 - 6y + 9 ) = 0，
∴ ( x - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 0，
∴ x = 2，y = 3，
∴ ( x - y )2025 = ( 2 - 3 )2025 = -1。
解題方法與策略：
① 配完全平方式，使得等式變形為“a ( )2 + b ( )2 = 0”的形式
②根據(jù)完全平方式的非負(fù)性可得：a ( )2 = b ( )2 = 0
課堂小結(jié)
配方法的定義：
把一個(gè)一元二次方程變形為 ( x + h )2 = k 的形式，
當(dāng) k ≥ 0 時(shí)，就可以用直接開(kāi)平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。
課堂小結(jié)
配方法的一般步驟 ( 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1 )：
① 把原方程化為 ax2 + bx + c = 0 的形式；
② 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2 + ????????x + c = 0；
③ 移項(xiàng)：x2 + ????????x = ?????????；
④ 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2 + 2·x·????2???? + ????22 = ????????? + ????2????2；
⑤ 配方：????+????2????2 = ????2?4????????4????2；
⑥ 若等號(hào)右邊 ≥ 0，則直接開(kāi)平方；若等號(hào)右邊 < 0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)解。
?
感謝聆聽(tīng)!

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