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第2章　平面解析幾何初步
2.1　直線的斜率
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的傾斜角與斜率
1.若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.30°　　 　　B.60°
C.30°或150°　　　　D.60°或120°
2.已知直線l的傾斜角為α-15°,則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.0°≤α<180°　　　　B.15°<α<180°
C.15°≤α<180°　　　　D.15°≤α<195°
3.(多選)如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,傾斜角分別為α1,α2,α3,則下列選項正確的是(　　)
A.k1C.α1<α3<α2　　　　D.α3<α2<α1
4.若兩直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2,則下列命題中正確的是(　　)
A.若α1<α2,則兩直線的斜率k1B.若α1=α2,則兩直線的斜率k1=k2
C.若兩直線的斜率k1D.若兩直線的斜率k1=k2,則α1=α2
5.在平面直角坐標系中,正三角形ABC的邊BC所在直線的斜率是0,則邊AC,AB所在直線的斜率之和為(　　)
A.-2　　　B.0　　C.　　D.2
6.已知直線l經(jīng)過原點,其傾斜角為α,若將直線l繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到直線l1,則直線l1的傾斜角為(　　)
A.α+45°　　　　B.α-135°
C.135°-α　　　　D.α+45°或α-135°
7.設(shè)直線l的斜率為k,且-1≤k<,則直線l的傾斜角α的取值范圍為(　　)
A.∪　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
題組二　直線的斜率公式
8.若A(-2,3),B(3,-2),C三點在同一條直線上,則m的值為(　　)
　　　　　　　　　 　　　　　
A.-2　　B.2　　C.-　　D.
9.如果直線l先沿x軸負方向平移2個單位長度,再沿y軸正方向平移2個單位長度后,又回到原來的位置,那么直線l的斜率是(　　)
A.-2　　　　　B.-1
C.1　　　　　D.2
10.過點A(2,1),B(m,3)的直線的傾斜角α的范圍是,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
11.直線l過點A(1,2),且不經(jīng)過第四象限,則直線l的斜率的取值范圍為(　　)
A.　　B.[0,1]　　C.[0,2]　　D.
12.已知A(2,3),B(-1,2),若點P(x,y)在線段AB上,則的最大值為(　　)
A.1　　B.　　C.-　　D.-3
13.已知函數(shù)f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,則 ,,的大小關(guān)系為(　　)
A.< < 　　　　
B.< <
C.< < 　　　　
D.< <
14.已知點A(-3,2),B(1,3),直線l過定點(-2,0),且直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　.
15.若過點P(1-a,1+a)與Q(4,2a)的直線的傾斜角為鈍角,且m=3a2-4a,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.
16.臺球運動中的反彈球是常見的技法,其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法,主球撞擊目標球后,目標球經(jīng)過臺邊之后按照光線反射的方向彈出,想要讓目標球沿著理想的方向反彈,就要事先根據(jù)需要確認臺邊的撞擊點,同時做到用力適當、方向精確,這樣才能通過反彈來將目標球成功擊入袋中.現(xiàn)有一目標球從點A(-2,3)無旋轉(zhuǎn)射入,經(jīng)過x軸(臺邊)上的點P反彈后,經(jīng)過點B(5,7),則點P的坐標為　　　　.
17.若正方形一條對角線所在直線l的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為　　　　.
18.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三點.
(1)求直線AB和AC的斜率;
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動,求直線AD的斜率的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.D　如圖,直線l有兩種情況,故l的傾斜角為60°或120°.
2.D　由直線傾斜角的范圍知0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°,故選D.
3.AD　由題圖知k2>k3>0,k1<0,則k1α2>α3>0,且α1為鈍角,所以α3<α2<α1.故選AD.
4.D　根據(jù)正切函數(shù)在[0,π)上的定義域和單調(diào)性知A、C錯誤;若α1=α2=90°,則k1,k2均不存在,故B錯誤;若直線l1,l2的斜率k1=k2,則tan α1=tan α2,由α1,α2∈[0,π)可知α1=α2,故D正確.
5.B　由題意得直線BC與x軸平行或重合,又因為三角形ABC為正三角形,所以∠ABC=∠ACB,所以直線AC,AB的傾斜角互為補角.根據(jù)直線斜率的定義,知直線AC,AB的斜率之和為0.故選B.
6.D　由傾斜角的取值范圍知,0°≤α<180°,當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為α-135°.
7.D　直線l的傾斜角為α,則α∈[0,π),由-1≤k<,得-1≤tan α<,∴α∈∪.故選D.
8.D　因為A,B,C三點在同一條直線上,所以kAB=kAC,所以=,解得m=,故選D.
9.B　設(shè)A(a,b)是直線l上任意一點,平移后得到點A',則A'(a-2,b+2),于是直線l的斜率k=kAA'==-1.
10.B　由題意得,當直線的斜率存在,即m≠2時,kAB<-1或kAB>1.又∵kAB==,∴<-1或>1,解得0當直線的斜率不存在,即m=2時,α=符合題意.綜上,實數(shù)m的取值范圍是(0,4).故選B.
易錯警示
　　已知傾斜角的取值范圍確定斜率的范圍時,首先要注意傾斜角的取值范圍中含有90°的情況,此時斜率的范圍分成兩段,如本題中kAB的范圍是“kAB<-1或kAB>1”,而不是“-111.C　如圖,由題意得,當直線l的傾斜角為0°時,斜率k=0,當直線l經(jīng)過原點時,斜率k'=2,
∴直線l的斜率的取值范圍為[0,2],故選C.
12.C　表示過點P(x,y)與點C(3,0)的直線的斜率,而kAC==-3,kBC==-,
因為點P在線段AB上,
所以-3≤≤-,
則的最大值為-.故選C.
13.B　作函數(shù)f(x)=log3(x+2)的大致圖象,如圖所示.
由圖象可知y軸右側(cè)曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小,
因為a>b>c>0,
所以< < ,故選B.
14.答案　(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析　設(shè)C(-2,0),則kAC==-2,kBC==1,由圖可知,直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-2]∪[1,+∞).
15.答案　
解析　設(shè)直線的傾斜角為α,斜率為k,
則k=tan α==,又∵α為鈍角,∴<0,∴-316.答案　
信息提取?、倌繕饲蚪?jīng)過臺邊之后按照光線反射的方向彈出;②射入直線為AP,射出直線為PB.
數(shù)學(xué)建模　將臺球中的無旋轉(zhuǎn)反彈問題轉(zhuǎn)化為光線的反射問題,運用的知識是:①點關(guān)于線對稱,求A點關(guān)于x軸的對稱點A'或求B點關(guān)于x軸的對稱點B';②三點共線,即A',P,B三點共線或A,P,B'三點共線,再利用斜率公式解決問題.
解析　設(shè)P(x,0),A點關(guān)于x軸的對稱點為A'(-2,-3),則kA'P==,kA'B==,∵A',B,P三點共線,∴kA'P=kA'B,即=,解得x=,故點P的坐標為.
17.答案　,-3
解析　解法一:設(shè)直線l的傾斜角為α,α∈[0,π),則tan α=2,則正方形的兩條鄰邊所在直線的傾斜角分別為α+,α-,故tan===-3,
tan===,
所以正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為-3,.
解法二:如圖,
設(shè)O(0,0),A(1,2),則可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAB==,kAD==-3.
所以正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為,-3.
18.解析　(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB==,直線AC的斜率kAC==.
(2)如圖所示,當點D由點B運動到點C時,直線AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直線AD的斜率的取值范圍是.
5(共10張PPT)
1.當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°,當直線與x軸垂直時,傾斜角為90°.
2.直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準傾斜角,有
時要根據(jù)情況分類討論.
注意:直線傾斜角的取值范圍是[0,π).
2.1　直線的斜率
1 | 直線的傾斜角
1.若直線l的傾斜角為α,則α= 時,直線l的斜率不存在;α≠ 時,直線l的斜率k=tan α.
2.已知直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,則直線l的斜率不存在,若x1≠x2,則直
線l的斜率k= .
　　注意:若已知兩點的橫坐標中含有參數(shù),則要對參數(shù)進行分類討論,分類的依
據(jù)便是“兩個橫坐標是否相等”.
2 | 直線的斜率
1.所有直線都一定有傾斜角和斜率嗎
所有直線都一定有傾斜角,但只有不垂直于x軸的直線才有斜率.
2.不同的直線其傾斜角一定不相同嗎
不一定.如平行直線的傾斜角是相同的.
3.當直線的斜率小于0時,其傾斜角α的范圍是90°<α<180°嗎
是.
4.直線的斜率一定隨著傾斜角的增大而增大嗎
不一定.當直線的傾斜角α≠ 時,直線l的斜率k=tan α,由正切函數(shù)圖象的性質(zhì)可
知,當α∈ ∪ 時,函數(shù)k=tan α不單調(diào).
知識辨析
直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系
　　設(shè)直線的傾斜角為α.
(1)當0°≤α<90°時,斜率非負,傾斜角越大,斜率越大;
(2)當90°<α<180°時,斜率為負,傾斜角越大,斜率越大;
(3)k=tan α 的圖象如圖所示.
　　由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,進而得到傾斜角α的范圍;反過來,由傾斜角α的
范圍截取函數(shù)圖象,進而得到斜率k的范圍.
1 傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用
典例　已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的傾斜角α的取值范圍;
(2)求直線l的斜率k的取值范圍.
思路點撥　作出圖形并觀察,可以發(fā)現(xiàn)當直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜
角之間(包括PB與PA的傾斜角)時,直線l與線段AB有公共點.
解析 如圖,由題意可知kPA= =-1,kPB= =1.

(1)直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角)時滿足
題意,又PB的傾斜角是 ,PA的傾斜角是 ,∴直線l的傾斜角α的取值范圍是 ≤
α≤ .
(2)根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系,知直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
易錯警示 本題易錯誤地認為-1≤k≤1,結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于直線PB
與直線PA的傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α(0≤α
<π)的圖象(如圖所示)得到k的取值范圍是k≤-1或k≥1.

1.若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點的坐標都可以確定這條直
線的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC),則直線
AB與AC(或AB與BC,或AC與BC)的傾斜角相同,又過同一點A(或B,或C),因此
點A,B,C在同一條直線上.
2.形如 的范圍(最值)問題,可以利用 的幾何意義[過定點(a,b)與動點(x,y)
的直線的斜率],借助于圖形,將求范圍(最值)問題轉(zhuǎn)化為求斜率的范圍(最值)問
題,從而簡化運算過程.
2 直線斜率的應(yīng)用
典例　已知點(x,y)是y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的圖象上一點,試求 的最大值和
最小值.
思路點撥 可以看成是過定點(-2,-3)和(x,y)的直線的斜率,結(jié)合圖形求出斜
率的最大值和最小值即可.
解析 如圖所示,y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的圖象為曲線AB, 可以看成經(jīng)過定點P
(-2,-3)與曲線AB上任意一點(x,y)的直線的斜率k,
可知kPA≤k≤kPB,
由已知可得A(1,1),B(-1,5),
則kPA= = ,kPB= =8,
所以 ≤k≤8,
所以 的最大值為8,最小值為 .

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