資源簡介

2.2.2　直線的兩點式方程
基礎過關練
題組一　直線的兩點式方程
1.已知直線l的兩點式方程為=,則l的斜率為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-　　B.　　C.-　　D.
2.若直線l過點(-1,-1)和(2,5),且點(1 009,b)在直線l上,則b的值為(　　)
A.2 019　　B.2 018　　C.2 017　　D.2 016
3.已知△ABC的三個頂點分別為A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),則邊AC所在直線的方程為　　　　,邊AB所在直線的方程為　　　　.
4.已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD交于點E(-1,1),其中A(-2,0),B(1,1).求:
(1)點D的坐標及AD所在直線的方程;
(2)平行四邊形ABCD的面積.
題組二　直線的截距式方程
5.直線-+=-1在x軸、y軸上的截距分別為(　　)
A.2,3　　B.-2,3　　C.-2,-3　　D.2,-3
6.若直線+=1過第一、三、四象限,則(　　)
A.a>0,b>0　　　　B.a>0,b<0
C.a<0,b>0　　　　D.a<0,b<0
7.滿足過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線l的條數為(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
8.直線l經過點P(-4,6),與x軸、y軸分別交于A,B兩點,當P為AB的中點時,直線l的方程為(　　)
A.3x-y-4=0　　　　B.-3x-2y+24=0
C.x-y+8=0　　　　D.3x-2y+24=0
9.已知P(3,2),且直線l過點P.若直線l在兩坐標軸上的截距之和為12,求直線l的方程.
題組三　直線的兩點式和截距式方程的應用
10.某地汽車客運公司規定旅客可隨身攜帶一定質量的行李,如果超過規定,則需要購買行李票,行李票費用y(元)與行李質量x(kg)的關系如圖所示,則旅客最多可免費攜帶行李的質量為(　　)
A.20 kg　　　　B.25 kg
C.30 kg　　　　D.80 kg
11.兩條直線-=1與-=1的圖形可能是(　　)
12.已知A(3,0),B(0,4),直線AB上有一動點P(x,y),則xy的最大值是　　　　.
13.過點P(4,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A,B兩點,O為坐標原點.當|OA|+|OB|取最小值時,求直線l的方程.
14.一束光線從點A發出,射向點B(0,1)后被y軸反射,分別求入射光線和反射光線所在直線的方程.
15.如圖,為了綠化城市,擬在矩形區域ABCD內建一塊矩形草坪,另外△AEF的內部為一文物保護區域,不能占用,經過測量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應該如何設計才能使草坪的面積最大
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.A　解法一:由題意知,直線l過點(-5,0),(3,-3),所以l的斜率為=-.
解法二:直線l的方程可化為y=-(x+5),故l的斜率為-.
2.A　由直線的兩點式方程得直線l的方程為=,即y=2x+1,將(1 009,b)代入方程,得b=2×1 009+1,解得b=2 019.
3.答案　x-2y+8=0;x+y-4=0
解析　由直線的兩點式方程,得邊AC所在直線的方程為=,即x-2y+8=0.
邊AB所在直線的方程為=,即x+y-4=0.
4.解析　(1)由題意,知E為BD的中點,
∴D點坐標為(-3,1),
∴AD所在直線的方程為=,即x+y+2=0.
(2)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,BD∥x軸,且|BD|=1-(-3)=4,作AH⊥BD于點H,則|AH|=1.
因此S ABCD=2S△ABD=2××4×1=4.
5.D　直線方程可化為+=1,因此,直線在x軸、y軸上的截距分別為2,-3,故選D.
6.B　因為直線過第一、三、四象限,所以它在x軸上的截距為正,在y軸上的截距為負,所以a>0,b<0.故選B.
7.B　當直線過原點時,直線方程為y=x;當直線不過原點時,設直線方程為+=1(ab≠0),又因為截距相等,所以b=a,將(2,3)代入有+=1,解得a=5,此時直線方程為x+y-5=0.
綜上,滿足題意的直線有2條.故選B.
易錯警示
　　在解決與兩截距有關的問題時,要注意考慮過原點的直線是否符合題意,防止遺漏導致錯誤.
8.D　設A(a,0),B(0,b),
∵P為AB的中點,∴解得
∴直線l的方程為+=1,整理得3x-2y+24=0,故選D.
9.解析　當l與坐標軸平行或過原點時,不符合題意,所以可設l的方程為+=1(ab≠0),則 或則直線l的方程為+=1或+=1,整理得2x+y-8=0或x+3y-9=0.
10.C　由題圖知點A(60,6),B(80,10).由直線的兩點式方程得=,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免費攜帶30 kg的行李.故選C.
11.B　直線-=1在x軸、y軸上的截距分別是m和-n,直線-=1在x軸、y軸上的截距分別是n和-m,因此四個截距中兩正兩負,對照選項知B正確,故選B.
12.答案　3
解析　直線AB的方程為+=1,則x=3-y,∴xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3,即當P點坐標為時,xy取得最大值3.
13.解析　設直線l的方程為+=1(a>0,b>0).
由點P在直線l上,得+=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,當且僅當=,即a=6,b=3時等號成立,
∴直線l的方程為+=1,即x+2y-6=0.
14.解析　易知入射光線所在直線即為直線AB,其方程為+=1,即2x-y+1=0.由光的反射定律,知A關于y軸的對稱點M在反射光線所在直線上,又因為B(0,1)也在反射光線所在直線上,所以反射光線所在直線的方程為=,即2x+y-1=0.
綜上,入射光線所在直線的方程為2x-y+1=0,反射光線所在直線的方程為2x+y-1=0.
15.解析　當矩形草坪的頂點不在EF上時,
過點F作FM⊥BC于M,
則DF=60 m,S矩形DCMF=100×60=6 000(m2);
過點E作EN⊥DC于N,則CN=70 m,S矩形EBCN=80×70=5 600(m2);
當矩形草坪的頂點在EF上時,建立如圖所示的平面直角坐標系,則E(30,0),F(0,20).
線段EF所在直線的方程為+=1(0≤x≤30).
在線段EF上任取一點P(m,n),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,則矩形PQCR即為要建的矩形草坪,
設矩形PQCR的面積是S m2,則S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因為+=1(0≤m≤30),所以n=20,
故S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30),
當m=5時,S取最大值.
綜上,當矩形草坪的面積最大時,矩形的一個頂點在EF上,此時==5,
即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時,可使草坪的面積最大.
92.2　直線的方程　
2.2.1　直線的點斜式方程
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　直線的點斜式方程
1.已知直線的方程是y+2=-x-1,則由點斜式知該直線經過的定點、斜率分別為(　　)
A.(-1,2),-1　　　　B.(2,-1),-1
C.(-1,-2),-1　　　　D.(-2,-1),1
2.過點(2,-3)、斜率為-的直線在y軸上的截距為(　　)
A.2　　B.-2　　C.4　　D.-4
3.直線y=k(x-1)(k∈R)是(　　)
A.過點(1,0)的一切直線
B.過點(-1,0)的一切直線
C.過點(1,0)且除x軸外的一切直線
D.過點(1,0)且除直線x=1外的一切直線
4.將直線y=x+-1繞其上一點(1,)沿逆時針方向旋轉15°,所得到的直線的點斜式方程是　　　　　　.
5.已知直線l的斜率為,與y的正半軸有交點且與坐標軸圍成的三角形的周長是30,求直線l的方程.
6.已知△ABC的三個頂點都在第一象限內,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直線AB的方程;
(2)直線AC和BC的方程.
題組二　直線的斜截式方程
7.(多選)直線(m2+2m)x+(2m2-m+3)y=4m+1在y軸上的截距為1,則m的值可以是(　　)
A.-2　　　B.-　　C.　　D.2
8.(多選)已知直線l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a,則它們的圖形可能為(　　)
9.(多選)下列說法正確的有(　　)
A.若直線y=kx+b經過第一、二、四象限,則(k,b)在第二象限
B.直線kx-y-2k+3=0必過定點
C.過點(2,-1),斜率為-的點斜式方程為y+1=-(x-2)
D.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3
10.在y軸上的截距為-6,且與y軸相交成30°角的直線的斜截式方程是　　　　　　　　.
11.與直線y=3x+4在y軸上有相同的截距且和它關于y軸對稱的直線方程為　　　　　.
12.已知某直線過點(-10,10),且它與x軸交點的橫坐標是其在y軸上的截距的4倍,求該直線方程.
題組三　直線的點斜式、斜截式方程的應用
13.若直線y=a|x|與y=x+a(a>0)有兩個交點,則a的取值范圍是(　　)
A.a>1　　　　B.0C. 　　　　D.01
14.已知直線l:y=kx+2k+1.
(1)求證:直線l恒過一個定點;
(2)當-315.已知直線l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;
(2)若直線l交x軸的負半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.C　由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直線的斜率為-1,過定點(-1,-2).
2.B　由題意得直線方程為y+3=-(x-2),令x=0,得y=-2.故選B.
易錯警示
　　截距不同于日常生活中的距離,距離是一個非負數,而直線在y軸上的截距為直線與y軸交點的縱坐標,是一個實數,可正、可負、可為零.
3.D　直線y=k(x-1)(k∈R),即y-0=k(x-1)(k∈R)表示過點(1,0),且斜率為k的直線,不包含過點(1,0)且斜率不存在的直線x=1,故選D.
4.答案　y-=(x-1)
解析　由y=x+-1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.∵沿逆時針方向旋轉15°后,傾斜角變為60°,
∴所求直線的斜率為.又∵直線過點(1,),
∴直線的點斜式方程為y-=(x-1).
5.解析　由題意,可設直線l:y=(x+b)(b>0),則與坐標軸的交點分別為,(-b,0),
∴+==30,解得b=12,
∴y=(x+12),整理得5x-12y+60=0.
6.解析　(1)因為A(1,1),B(5,1),所以直線AB平行于x軸,所以直線AB的方程為y=1.
(2)由題意知,直線AC的傾斜角為∠A=45°,
所以kAC=tan 45°=1.
又因為直線AC過點A(1,1),所以直線AC的方程為y-1=x-1,即y=x.
同理可知,直線BC的傾斜角為180°-∠B=135°,
所以kBC=tan 135°=-1.
又因為直線BC過點B(5,1),所以直線BC的方程為y-1=-(x-5),即y=-x+6.
7.CD　令x=0,得y==1,則4m+1=2m2-m+3,即2m2-5m+2=0,解得m=2或m=(均符合題意).
8.AB　選項A,由l1可知,a>0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,可能成立;選項B,由l1可知,a>0,b<0,由l2可知,-b>0,a>0,可能成立;選項C,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,不成立;選項D,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b>0,a>0,不成立.故選AB.
9.ABC　對于A,該直線過第一、二、四象限,則k<0,b>0,故點(k,b)在第二象限,A正確;對于B,直線方程kx-y-2k+3=0可化為點斜式方程y-3=k(x-2),所以直線過定點(2,3),B正確;由點斜式方程的定義知C正確;對于D,由斜截式方程得所求直線方程為y=-2x+3,D錯誤.故選ABC.
10.答案　y=x-6或y=-x-6
解析　由題意得直線的傾斜角為60°或120°,所以斜率為±.
又因為直線在y軸上的截距為-6,
所以直線的方程為y=±x-6.
11.答案　y=-3x+4
解析　由條件知所求直線的斜率為-3,在y軸上的截距為4,所以其方程為y=-3x+4.
12.解析　當直線過坐標原點時,顯然直線的斜率存在,設直線方程為y=k'x,代入(-10,10),得-10k'=10,解得k'=-1,所以直線方程為y=-x;
當直線不過坐標原點時,設直線方程為y-10=k(x+10),所以與x軸交點的橫坐標為--10,在y軸上的截距為10k+10,所以--10=4(10k+10),解得k=-或k=-1(舍去),所以直線方程為y=-x+.
綜上,所求直線方程為y=-x或y=-x+.
13.A　y=x+a(a>0)表示斜率為1,在y軸上的截距為a(a>0)的直線,y=a|x|表示關于y軸對稱的兩條射線.如圖,若直線y=a|x|與y=x+a有兩個交點,且a>0,則a>1.故選A.
14.解析　(1)證明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直線的點斜式方程可知,直線恒過定點(-2,1).
(2)設y=f(x)=kx+2k+1,顯然其圖象是一條直線(如圖所示),
若當-3需滿足即
解得-≤k≤1.
所以實數k的取值范圍是.
15.解析　(1)直線l的方程可化為y=kx+2+4k,則直線在y軸上的截距為4k+2,
要使直線l不經過第四象限,需滿足
解得k≥0,故k的取值范圍是[0,+∞).
(2)令y=0,得x=-,令x=0,得y=4k+2,由題可知k>0,
所以A,B(0,4k+2),
故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,當且僅當4k=,即k=時取等號,故S的最小值為16,此時直線l的方程為y=x+4.
72.2.3　直線的一般式方程
2.2.4　直線的方向向量與法向量
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　直線的一般式方程
1.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的圖形是一條直線,則實數m的取值范圍是　　　　.
2.已知直線Ax+By+C=0的斜率為5,且A-2B+3C=0,則該直線的方程為　　　　　　　　.
3.過點A(-2,)且與直線x-y+5=0成60°角的直線的一般式方程是　　　　　　　　　　　.
題組二　直線三種方程之間的轉化
4.下列有關直線l:x+my-1=0(m∈R)的說法中正確的是(　　)
A.直線l的斜率為-m　　　　
B.直線l的斜率為-
C.直線l過定點(0,1)　　　　
D.直線l過定點(1,0)
5.已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標軸上的截距相等,則實數a=(　　)
A.1　　　　B.-1
C.2或1　　　　D.-2或1
6.直線xsin α+y+1=0(α∈R)的傾斜角的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.∪　　　　D.∪
7.已知直線4x+m2y-m=0(m>0),若此直線在x軸和y軸的截距的和取得最小值,則直線的方程為(　　)
A.4x+2y-=0　　　　B.4x+y-1=0
C.2x-2y+1=0　　　　D.2x+2y-1=0
8.設直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根據下列條件分別確定m的值.
(1)直線l在x軸上的截距為-3;
(2)直線l的傾斜角為45°.
題組三　直線的方向向量與法向量
9.若直線l的傾斜角等于135°,則下列向量中不是直線l的方向向量的是(　　)
A.(2,2)　　　　B.(-3,3)
C.(,-)　　　　D.
10.已知向量a=(1,3)是直線l的一個方向向量,點A(2,7)和點B(-1,y)均在直線l上,則y的值為(　　)
A.-9　　B.10　　C.4　　D.-2
11.若直線l的一個法向量是,則其傾斜角為(　　)
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
12.若直線l經過點P(-2,1),且直線l的一個法向量為v=(2,-1),則直線l的方程為　　　　　　　.
能力提升練
題組　直線三種方程的應用
1.關于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直線(圖中實線)可能是(　　)
2.已知點A(1,3),B(2,1),若直線l:y=k(x+2)-1與線段AB相交,則k的取值范圍是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　
B.
C.∪　　　　
D.
3.(多選)已知直線l過點P(-1,1),且與直線l1:2x-y+3=0以及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形,則下列結論中正確的是(　　)
A.直線l與直線l1的斜率互為相反數
B.直線l與直線l1的傾斜角互補
C.直線l在y軸上的截距為-1
D.這樣的直線l有兩條
4.已知直線l的傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍,且l經過點P(3,2),則直線l的方程為　　　　　　　.
5.已知直線l:2x-2y+1=0,其法向量記為a,直線m的方向向量記為m,=60°,且點A(1,2),B(4,-2)到直線m的距離相等,則直線m的方程為　　　　　　　　.
6.直線l過點(4,1)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,則△AOB面積的最小值為　　　　,當△AOB面積取最小值時,直線l的一般式方程是　　　　　　　.
7.已知△ABC的三個頂點分別為A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求:
(1)BC邊所在直線的方程;
(2)經過BC的中點,且垂直于BC方向向量的直線方程;
(3)經過AB的中點,且方向向量平行于的直線方程.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.答案　m≠0
解析　由題意得m與m2-m不同時為0,故m≠0.
2.答案　15x-3y-7=0
解析　因為直線的斜率存在,所以B≠0.由題意得所以所以該直線的方程為-5x+y+=0,即15x-3y-7=0.
3.答案　x=-2或x+y-1=0
解析　由直線方程x-y+5=0,可得此直線的斜率為,傾斜角為30°,則與該直線成60°角的直線的傾斜角為90°或150°,
又因為所求直線過點A(-2,),
所以所求直線方程為x=-2或y-=-(x+2),
即x=-2或x+y-1=0.
4.D　直線l:x+my-1=0可化為my=-(x-1).當m≠0時,直線l的方程可化為y=-(x-1),其斜率為-,過定點(1,0);當m=0時,直線l的方程為x=1,其斜率不存在,也過點(1,0).故選D.
5.C　依題意可知a≠0,當-2+a=0,即a=2時,直線ax+y-2+a=0化為2x+y=0,此時直線在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意;當-2+a≠0,即a≠2時,直線ax+y-2+a=0化為+=1,由直線在兩坐標軸上的截距相等,可得=2-a,解得a=1或a=2(舍去).綜上所述,a=2或a=1.
故選C.
6.D　將直線方程xsin α+y+1=0(α∈R)化為斜截式為y=-sin α·x-,故直線的斜率k=-sin α,∵sin α∈[-1,1],∴k∈,∴直線的傾斜角的取值范圍為∪.故選D.
7.D　直線方程4x+m2y-m=0(m>0)可化為+=1,則此直線在x軸和y軸上的截距分別為,,且>0,>0,所以+≥2=1,
當且僅當m=2時,+取得最小值1,此時直線方程為4x+4y-2=0,即2x+2y-1=0.故選D.
8.解析　(1)由題意得解得m=-.
故當m=-時,直線l在x軸上的截距為-3.
(2)由題意得解得m=.
故當m=時,直線l的傾斜角為45°.
9.A　由題意得直線l的斜率k=tan 135°=-1,因此直線l的方向向量是m(1,-1)(m∈R,m≠0),故選A.
10.D　由題意可知,=(-3,y-7),設=λa(λ∈R且λ≠0),∵a=(1,3),∴解得故選D.
11.C　由題意得直線l的一個方向向量為,因此其斜率k==-,則其傾斜角等于120°.
12.答案　2x-y+5=0
解析　由題意得kl=2,則直線l的方程為 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.
能力提升練
1.D　由題意得直線的斜率為a,在y軸上的截距為-,直線的斜率和它在y軸上的截距的乘積為-1.對于A、C,直線的斜率和它在y軸上的截距同號,所以排除A、C;對于B,直線的斜率小于1,在y軸上的截距大于-1且小于0,所以排除B;對于D,直線的斜率小于-1,在y軸上的截距大于0且小于1,所以D可能成立.故選D.
D　直線l:y=k(x+2)-1恒過點P(-2,-1),則kPA==,kPB==,結合圖形可得k的取值范圍是.故選D.
3.ABC　由于直線l與l1及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形,所以l與l1的傾斜角互補,斜率互為相反數,故A,B均正確;易知直線l的方程為y-1=-2(x+1),因此其在y軸上的截距為-1,故C正確;易知這樣的直線l只有一條,故D錯誤.
4.答案　8x-15y+6=0
解析　設所求直線的傾斜角為θ,直線x-4y+3=0的傾斜角為α,則θ=2α,故tan α=,
故tan θ=tan 2α==,
從而可得直線l的方程為8x-15y+6=0.
5.答案　(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0
解析　由已知得a可以是(2,-2),
當直線m的斜率不存在時,不滿足=60°,
故直線m的斜率存在,設為k,所以m=(1,k),
則cos===,解得k=2+或2-.易求得kAB==-,顯然直線m不與直線AB平行.
故直線m過線段AB的中點,
所以直線m的方程為y=(2+)或y=(2-),
即(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0.
6.答案　8;x+4y-8=0
解析　設直線l的方程為+=1(a>0,b>0).
由點(4,1)在直線上得+=1.
∵a>0,b>0,∴1=+≥2=,當且僅當=,即a=8,b=2時取等號.
從而≥4,即ab≥16,∴S△AOB=ab≥8,
∴△AOB面積的最小值為8,此時直線l的方程為+=1,即x+4y-8=0.
7.解析　(1)BC邊所在直線方程為=,整理得x+2y-5=0.
(2)易得BC的中點坐標為,因為所求直線垂直于BC的方向向量,所以=(-2,1)是所求直線的法向量,設所求直線方程為-2x+y+m=0,把代入,得m=,所以所求直線方程為-2x+y+=0,即4x-2y-5=0.
(3)易知AB的中點坐標為(1,0),
所求直線的方向向量為=(-2,1),
又因為1×(-2)+2×1=0,可知所求直線的法向量為(1,2),設所求直線方程為x+2y+n=0,把(1,0)代入,得n=-1,故所求直線方程為x+2y-1=0.
8(共13張PPT)
2.2　直線的方程
1 | 直線的方程形式與適用條件
名稱 點斜式 斜截式 兩點式 截距式方程 一般式
方程 形式 y-y0= k(x-x0) y=kx+b (y2-y1)(x-x1)-
(x2-x1)·(y-y1)=
0 = (x2≠x 1且y2≠y1) + =1(ab ≠0) Ax+By+C=0
(A,B不同時
為0)
已知 條件 直線上一定
點(x0,y0),斜
率k 斜率k,直線在y軸上的截距b 直線上兩點(x1,y1),(x2,y2) 直線在x軸上的非零截距a,直線在y軸上的非零
截距b 系數A,B,C
適用范圍 不垂直于x軸 的直線 不垂直于x
軸的直線 過任意兩點
的直線 不平行于x
軸和y軸的
直線 不平行于x
軸和y軸,且
不過原點的
直線 任何位置的
直線
1.與直線平行、垂直的非零向量分別稱為該直線的方向向量、法向量,直線的方
向向量和法向量不唯一.
2.斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的非零實數倍,直線Ax+By+C=0的法向量可取
(A,B).
2 | 直線的方向向量、法向量
1.方程k= 與y-y0=k(x-x0)表示的意義相同嗎
不相同.方程k= 表示的圖形中不含點(x0,y0).
2.直線y-3=k(x+1)是否恒過定點
是.恒過定點(-1,3).
3.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點到原點的距離嗎
不是.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點的縱坐標,而不是距離.
4.直線y=kx+b一定是一次函數y=kx+b的圖象嗎
不一定.當k≠0時,y=kx+b為一次函數;當k=0時,y=b,不是一次函數,所以只有直線
方程y=kx+b中的k≠0時,該直線才是一次函數的圖象.
知識辨析
5.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程在任何情況下都可以與一般式
方程進行互化嗎
不是.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程均可以化為一般式方程,但
一般式方程轉化為其他形式時,必須要在適用范圍內.
直線方程的幾種常見設法
(1)若已知一點的坐標,則一般選用點斜式,再由其他條件確定直線的斜率.
(2)若已知直線的斜率,則一般選用斜截式,再由其他條件確定直線在y軸上的截距.
(3)若已知兩點坐標,則一般選用兩點式或點斜式,當兩點是直線與坐標軸的交點
時,選用直線的截距式方程.
　　無論選用怎樣的直線方程,都要注意各自方程的適用范圍,對特殊情況下的
直線要單獨討論.
1 直線方程的選擇和求解
典例　寫出滿足下列條件的直線的方程:
(1)經過點(2,-3),傾斜角是直線y= x的傾斜角的2倍;
(2)經過點(5,-2),且與y軸平行;
(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點;
(4)過點A(3,4),且在兩坐標軸上的截距互為相反數.
解析 (1)∵直線y= x的斜率為 ,
∴直線y= x的傾斜角為30°,
∴所求直線的傾斜角為60°,
∴所求直線的斜率為 .
∴所求直線方程為y+3= (x-2),
即 x-y-2 -3=0.
(2)與y軸平行的直線,其斜率不存在,但直線上點的橫坐標均為5,故直線方程為x=
5.
(3)解法一:所求直線方程為 = ,整理得x+y-1=0.
解法二:kPQ= = =-1.
∵直線過點P(-2,3),
∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(4)①當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時,可設直線方程為 + =
1.
又直線過點A(3,4),
所以 + =1,
解得a=-1.
所以直線方程為 + =1,
即x-y+1=0.
②當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數且為0,即直線過原點時,設直線方程為
y=kx,因為直線過點(3,4),
所以4=k·3,
解得k= ,
所以直線方程為y= x,
即4x-3y=0.
綜上,直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.
易錯警示 若題目中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反
數”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m(m>0)倍”等條件時,可采用
直線的截距式方程,但一定要注意考慮截距為0的情況.
1.對于含參數的直線方程,可將方程整理成點斜式或斜截式,利用系數的幾何意
義,結合圖形探求和證明過定點問題.
2.根據斜截式中k,b的幾何意義,可確定對應函數的大致圖象.
2 如何利用直線方程中系數的幾何意義解決相關問題
典例　已知直線l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:無論a為何值,直線l總經過第一象限;
(2)為使直線l不經過第二象限,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:將直線l的方程整理為y- =a ,
∴直線l的斜率為a,且過定點 ,設為A,又點A在第一象限,∴無論a為何值,直線
l總經過第一象限.
(2)由(1),知kOA= =3.如圖所示,要使l不經過第二象限,需滿足a≥kOA,∴a≥3.

規律總結 已知含參直線的一般式方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0),求參數的值
或范圍的步驟:

展開更多......

收起↑