資源簡介

(共13張PPT)
1.對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,有
(1)l1∥l2 k1=k2且b1≠b2;
(2)l1⊥l2 (1,k1)·(1,k2)=1+k1k2=0 k1k2=-1.
2.對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,有
(1)l1∥l2 A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ為非零實數 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1
C2-A2C1≠0);
(2)l1⊥l2 (A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
2.3 兩條直線的位置關系
2.3.1　兩條直線平行與垂直的判定
1 | 兩條直線平行、垂直的判定
1.與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax+By+m=0(m≠C).
2.與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.
3.與直線y=kx+b平行的直線方程可設為y=kx+m(m≠b).
4.與直線y=kx+b(k≠0)垂直的直線方程可設為y=- x+m.
2 | 根據位置關系設直線方程的方法
1.如果兩條直線平行,那么這兩條直線的斜率一定相等嗎
不一定.若兩條直線平行,則它們的斜率相等或都不存在.
2.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線
一定垂直嗎
不一定.只有當兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,這
兩條直線才垂直.
3.已知直線l1的傾斜角為α,直線l2的傾斜角為β,若l1⊥l2,則α-β=90°一定成立嗎
不一定.由l1⊥l2,可得α-β=±90°.
4.直線2x+3y-1=0與直線 + =1平行嗎
平行. + =1可化為2x+3y-6=0,顯然平行.
知識辨析
5.若直線l1的一個方向向量為(-2,3),直線l2的一個法向量為 ,則l1與l2垂直嗎
垂直.由于向量(-2,3)與 共線,所以l1與l2垂直.

1.判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法
(1)利用直線的斜率判斷;
(2)利用直線的法向量判斷.
2.利用k1k2=-1或者A1A2+B1B2=0可判定兩直線垂直.當題目給出的條件是點的坐標
時,注意橫坐標是否相等.
1 兩條直線平行、垂直的判定及簡單應用
典例　已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,若順次連接A,B,C,D四點,試判斷
四邊形ABCD的形狀.
思路點撥　作出圖形,計算斜率,判斷對邊是否平行、鄰邊是否垂直,進而得出結
論.
解析 由題意知A,B,C,D四點在平面直角坐標系的位置如圖所示,

由斜率公式可得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .
因為kAB=kCD,且由圖可知AB與CD不重合,所以AB∥CD.
因為kAD≠kBC,所以AD與BC不平行.
又因為kAB·kAD= ×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四邊形ABCD為直角梯形.
規律總結 利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形的形狀的步驟:

利用直線平行、垂直關系求參數的方法
(1)作出示意圖,確定問題中的平行、垂直關系,利用斜率、方向向量或法向量列
出相關方程,進行求解.
(2)充分分析圖形特征,有多種情況的,要分類依次求解.
(3)解題時要注意斜率不存在的情況是否符合題意.
2 利用兩條直線平行、垂直關系求參數
典例 (1)已知平行四邊形ABCD的三個頂點分別為A ,B ,C
,則點D的坐標為　　 ;
(2)已知四邊形ABCD的頂點A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角梯
形,求m和n的值.
思路點撥 (1)思路一:設出點D的坐標,根據AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列出
方程組求解.
思路二:設出點D的坐標,根據 = ,利用向量的坐標列出方程組求解.
(2)分析直角頂點的位置,利用兩底邊所在直線平行、直角腰與底邊垂直列方程
求解.
解析 (1)解法一:設點D的坐標為(m,n).由題意知,AB∥CD,AD∥BC,
∴kAB=kCD,kAD=kBC,
∴ 化簡,得
解得
∴點D的坐標為 .
解法二:設點D的坐標為(m,n).
由題意知, = ,且 = , = ,
∴ 解得
∴點D的坐標為 .
(2)由四邊形ABCD是直角梯形,且結合圖形得直角梯形有2種情形:
①AB∥CD,AB⊥AD,由圖a可知,A(2,-1),∴m=2,n=-1.

圖a
②AD∥BC,AD⊥AB,由圖b可知,
即
解得 綜上, 或
圖b
易錯警示 已知四邊形三個頂點求另外一個頂點時,注意判斷圖形是否唯一,以
防漏解.2.3　兩條直線的位置關系
2.3.1　兩條直線平行與垂直的判定
基礎過關練
題組一　兩直線平行
1.已知直線l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,則實數m=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.-3　　　　B.-1
C.-1或3　　　　D.1或-3
2.已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直線AB與CD平行,則m的值為(　　)
A.-1　　　　B.0
C.1　　　　D.0或1
3.關于x,y的方程組沒有實數解,則a=　　　　.
4.與直線2x+3y+5=0平行,且在兩坐標軸上的截距之和為的直線的方程為　　　　　　　.
題組二　兩直線垂直
5.已知直線(a+2)x+y+8=0與直線(2a-1)x-(a+2)y-7=0垂直,則a=(　　)
A.-3±　　　　B.0或-2
C.1或-2　　　　D.或-2
6.已知直線l1:y=-x-1,l2:y=k2x-2,則“k=2”是“l1⊥l2”的(　　)
A.充分不必要條件　　　　
B.必要不充分條件
C.充要條件　　　　
D.既不充分也不必要條件
7.已知直線l經過點(2,-3),且與直線2x-y-5=0垂直,則直線l在y軸上的截距為(　　)
A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4
8.直線l1過點A(m,1)和點B(-1,m),直線l2過點C(m+n,n+1)和點D(n+1,n-m),則直線l1與l2的位置關系是　　　　.
題組三　兩直線平行與垂直的應用
9.在平面直角坐標系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)為頂點構造平行四邊形,下列各項中不能作為平行四邊形第四個頂點坐標的是(　　)
A.(-3,1)　　　　B.(4,1)
C.(-2,1)　　　　D.(2,-1)
10.已知△ABC的三個頂點分別是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),則△ABC是　　　　　　.(填“直角三角形”“銳角三角形”或“鈍角三角形”)
11.已知在平行四邊形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求點D的坐標;
(2)試判斷平行四邊形ABCD是不是菱形.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　　　　
題組　兩直線平行與垂直的應用
1.已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一點D滿足CD⊥AB,且CB∥AD,則點D的坐標為(　　)
A.(-2,-3)　　　　B.(2,-3)
C.(2,3)　　　　D.(-2,3)
2.(多選)若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面結論中正確的是(　　)
A.AB∥CD　　　　B.AB⊥AD
C.|AC|=|BD|　　　　D.AC∥BD
3.(多選)已知直線l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列說法正確的是(　　)
A.當a=-1時,直線l與直線x+y=0垂直
B.若直線l與直線x-y=0平行,則a=0
C.直線l過定點(0,1)
D.當a=0時,直線l在兩坐標軸上的截距相等
4.已知點A(2,0)與點B(0,4)關于直線ax+y+b=0對稱,則a,b的值分別為(　　)
A.1,3　　　　B.-,-
C.-2,0　　　　D.,-
5.數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線,已知△ABC的頂點A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,則△ABC的歐拉線方程為(　　)
A.x-2y+3=0　　　　B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0　　　　D.2x-y-3=0
6.已知四邊形MNPQ的頂點M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),則四邊形MNPQ的形狀為　　　　.
7.已知直線l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓,則k=　　　　.
8.一條光線從點P(6,4)射出,與x軸相交于點Q(2,0),經x軸反射后與y軸交于點H.
(1)求反射光線QH所在直線的方程;
(2)求點P關于直線QH的對稱點P'的坐標.
9.如圖所示,一個矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路,已知矩形花園長AD為5 m,寬AB為3 m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點D,問能否在BC上找到一點M,使得兩條小路所在直線AC與DM互相垂直
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.C　由題意,直線l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,可得1×3-m(m-2)=0且2m2-7×3≠0,即m2-2m-3=0且m2≠,解得m=-1或m=3.故選C.
2.D　當直線AB與CD的斜率不存在,即m=0時,直線AB的方程為x=0,直線CD的方程為x=1,顯然AB∥CD,滿足題意;
當直線AB與CD的斜率存在,即m≠0時,直線AB的斜率k1==,直線CD的斜率k2===,因為直線AB與CD平行,所以k1=k2,即=,解得m=1或m=0(舍),當m=1時,直線AB的方程為y=2x+1,直線CD的方程為y=2x-2,顯然AB∥CD,滿足題意.
綜上所述,m=0或m=1.故選D.
3.答案　-4
解析　依題意,得直線2x-ay+1=0與直線x+2y-1=0平行,且a≠0,所以=-,解得a=-4.
4.答案　2x+3y-1=0
解析　設所求直線方程為2x+3y+c=0(c≠5).令x=0,得y=-;令y=0,得x=-,∴-+=,∴c=-1,∴所求直線的方程為2x+3y-1=0.
5.C　由題意得(a+2)(2a-1)-(a+2)=0,整理得(a+2)(a-1)=0,解得a=-2或a=1.故選C.
6.A　當k=2時,直線l2:y=4x-2,因為×4=-1,所以l1⊥l2,充分性成立;當l1⊥l2時,因為直線l1的斜率存在,且不為0,所以×k2=-1,解得k=±2,必要性不成立,所以“k=2”是“l1⊥l2”的充分不必要條件.故選A.
7.B　易知2x-y-5=0的斜率為2,故直線l的斜率為-,根據點斜式可得直線l的方程為y-(-3)=-(x-2),整理得y=-x-2,故直線l在y軸上的截距為-2,故選B.
8.答案　垂直
解析　①當m=1時,直線l1過點A(1,1)和點B(-1,1),直線l2過點C(1+n,n+1)和點D(n+1,n-1).此時直線l1的斜率k1=0,直線l2的斜率不存在,因此l1⊥l2;
②當m=-1時,直線l1過點A(-1,1)和點B(-1,-1),直線l2過點C(-1+n,n+1)和點D(n+1,n+1).
此時直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2;
③當m≠±1時,直線l1的斜率k1=,直線l2的斜率k2=.此時k1·k2=-1,∴l1⊥l2.
綜上可知,直線l1與l2的位置關系是垂直.
9.A　由題意得,kOA=1,kAB=-,kOB=0.
設第四個頂點為C,當點C的坐標為(-3,1)時,kOC=-≠kAB,所以四邊形OBAC不是平行四邊形;當點C的坐標為(4,1)時,kAC=0=kOB,kBC=1=kOA,所以四邊形OBCA是平行四邊形,同理可驗證點C的坐標為(-2,1)或(2,-1)時,滿足題意.故選A.
10.答案　直角三角形
解析　因為AB邊所在直線的斜率kAB==2,CB邊所在直線的斜率kCB==,AC邊所在直線的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
11.解析　(1)設D(a,b),∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,
∴解得∴D(-1,6).
(2)∵kAC==1,kBD==-1,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四邊形ABCD為菱形.
能力提升練
1.D　設D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD,
則解得
所以D(-2,3).故選D.
2.ABC　kAB==-,kCD==-,且C不在直線AB上,∴AB∥CD,故A正確;
又∵kAD==,∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD,故B正確;
∵=(16,4),=(-4,16),
∴|AC|=4,|BD|=4,∴|AC|=|BD|,故C正確;
又∵kAC==,kBD==-4,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,故D錯誤.故選ABC.
3.AC　對于A,當a=-1時,直線l的方程為x-y+1=0,顯然與直線x+y=0垂直,所以A正確;
對于B,若直線l與直線x-y=0平行,則(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B不正確;
對于C,當x=0時,y=1,所以直線過定點(0,1),所以C正確;
對于D,當a=0時,直線l的方程為x-y+1=0,在x軸、y軸上的截距分別是-1,1,所以D不正確.故選AC.
4.B　kAB==-2,若點A(2,0)與B(0,4)關于直線ax+y+b=0對稱,則直線AB與直線ax+y+b=0垂直,直線ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)·(-2)=-1,解得a=-.線段AB的中點(1,2)在直線ax+y+b=0上,則a+2+b=0,解得b=-,故選B.
5.D　根據題意,得線段AB的中點為M(2,1),kAB=-,∴線段AB的垂直平分線方程為y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.∵|AC|=|BC|,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上,∴△ABC的歐拉線方程為2x-y-3=0,故選D.
6.答案　矩形
解析　∵kMN==-1,kPQ==-1,且P不在直線MN上,∴MN∥PQ.
又∵kMQ==1,kNP==1,
且N不在直線MQ上,∴MQ∥NP,
∴四邊形MNPQ為平行四邊形.
又∵kMN·kMQ=-1,∴MN⊥MQ,
∴平行四邊形MNPQ為矩形.
7.答案　±1
解析　如圖所示,直線l1:x+3y-5=0分別交x軸、y軸于A,B兩點,直線l2:3kx-y+1=0過定點C(0,1).
由點C在線段OB上知l2⊥l1或l2與x軸交于D點,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知,1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得,∠BAD=∠OCD.
設直線l1的傾斜角為α1,l2的傾斜角為α2,則α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,
∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°) α1=270°-α2 tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=== tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1 k=-1.
綜上所述,k的值為±1.
8.解析　(1)點P(6,4)關于x軸的對稱點P0的坐標為(6,-4),
則反射光線所在的直線過點P0和Q,
所以==-1,
所以直線P0Q的方程為y=-(x-2).
所以反射光線QH所在直線的方程為y=-x+2.
(2)設P'(m,n),根據P點和P'點關于直線QH對稱,得直線PP'與直線QH的斜率之積為-1,且線段PP'的中點在直線QH上,
則解得
所以P點關于直線QH的對稱點P'的坐標為(-2,-4).
9.解析　如圖所示,以點B為坐標原點,BC、BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.
由|AD|=5 m,|AB|=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).設點M的坐標為(x,0)(x>0),
因為AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,
即·=-1,解得x==3.2,
所以當|BM|=3.2 m時,兩條小路所在直線AC與DM互相垂直.
8

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