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1.求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo),其關(guān)鍵是解方程組,解二元一次方程組的常用方法有
代入消元法和加減消元法.
(1)若一條直線的方程是斜截式,則常應(yīng)用代入消元法解方程組.
(2)若直線的方程都是一般式,則常應(yīng)用加減消元法解方程組.
2.設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則過l1,l2交
點(diǎn)的直線方程可設(shè)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ為參數(shù)),然后根據(jù)條件求
待定系數(shù).
2.3.2 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1 | 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1.利用方程組解的個(gè)數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系,但是由于運(yùn)算量較大,一般較
少使用.
2.兩條直線相交的判定方法:①聯(lián)立直線方程組成方程組,并解方程組,若有一組解,
則兩直線相交.②兩直線斜率都存在且斜率不相等.③若兩條直線的方程分別
是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2相交 A1B2-A2B1≠0.
2 | 兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)方程組的解
1.若兩直線的方程組成的方程組無解,則兩直線一定平行嗎
一定.
2.若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線一定相交嗎
不一定.兩直線的方程組成的方程組有無數(shù)組解時(shí),兩直線重合.
3.m為何值時(shí),x-y+1=0與x-2my+3=0相交
m≠ .
4.對于直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),當(dāng)
A1B2=A2B1時(shí),直線l1與l2一定沒有交點(diǎn)嗎
不一定.當(dāng)A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1時(shí),方程組 有無數(shù)組解,從而直線
l1與l2重合.
知識辨析
1.常規(guī)解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件求出直
線方程.
2.特殊解法(直線系法):先設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的直線方程,再結(jié)合條件利用待定系
數(shù)法求出參數(shù),最后確定直線方程.
1 求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法
典例　經(jīng)過直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點(diǎn),且經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程是
　　　　 .
3x+19y=0
解析 解法一:聯(lián)立
解得x=- ,y= .
所以直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .
故過點(diǎn) 和原點(diǎn)的直線方程為y=- x,即3x+19y=0.
解法二:設(shè)直線方程為x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(λ∈R),
因?yàn)橹本€過原點(diǎn),所以將(0,0)代入,得4+5λ=0,
解得λ=- ,所以所求直線方程為y=- x,即3x+19y=0.
1.將直線方程轉(zhuǎn)化為y-y0=k(x-x0)的形式,則直線必過定點(diǎn)(x0,y0).
2.應(yīng)用分離參數(shù)的方法,將直線方程轉(zhuǎn)化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0(λ∈R),由
求出定點(diǎn)坐標(biāo).
3.應(yīng)用特殊值法,給方程中的參數(shù)賦兩個(gè)特殊值,可得關(guān)于x,y的兩個(gè)方程,聯(lián)立方
程解出x,y的值即得定點(diǎn)的坐標(biāo).
2 求解直線過定點(diǎn)問題的方法
典例　已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0為直線l的方程,求證:無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定
點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).
思路點(diǎn)撥　可用特殊值法,分別令k=0,1,將得到的直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo),代
入驗(yàn)證即可;也可以利用共點(diǎn)直線系方程來求解.
解析 解法一: 對于方程(k+1)x-(k-1)·y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.
解方程組 得 所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).將(1,-1)代入已知直
線方程的左邊,得(k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.這表明無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).
解法二: 整理直線l的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0,無論k取何實(shí)數(shù),直線l的方程為直線
系l1+λl2=0的形式,因此直線l過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組 的解,解方程
組得 ∴無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).
解法三:由直線l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,變形為(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+
1)(x-1)+(1-k)(y+1)=0.
直線l的方程為過定點(diǎn)(x0,y0)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直線l必過
定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為方程組 的解,解方程組得
∴無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).
1.對稱點(diǎn)的求法
(1)求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)
　　若點(diǎn)M(x1,y1)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對稱點(diǎn)為N(x,y),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

(2)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)
　　設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的對稱點(diǎn)為N(x,y),則點(diǎn)N
的坐標(biāo)可由方程組
求得.
3 常見的對稱問題及應(yīng)用
2.在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的方法
(1)若兩個(gè)定點(diǎn)A,B在直線l的異側(cè),則當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與l的交點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)
的距離之和最小,最小值為|AB|.如圖①,在直線l上任取一點(diǎn)P',則|P'A|+|P'B|≥|AB|=
|PA|+|PB|.
(2)若兩個(gè)定點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),如圖②,則作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A',連接A'B
交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之和最小.

典例　已知直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4),且點(diǎn)P在直線l上.
(1)當(dāng)|PA|+|PB|最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　 ;
(2)當(dāng)||PB|-|PA||最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　 .
思路點(diǎn)撥 (1)易知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),利用對稱性將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩
點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,得出當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時(shí),||PB|-|PA||取得最大
值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(-2,3)
(12,10)
解析 (1)易知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè).設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A'(m,n),
則 解得
故A'(-2,8).
因?yàn)镻為直線l上一點(diǎn),所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,A'三點(diǎn)共線
時(shí),|PA|+|PB|取得最小值,最小值為|A'B|,此時(shí)點(diǎn)P為直線A'B與直線l的交點(diǎn).又直線
A'B的方程為x=-2,所以 所以 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3).
(2)易知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),P是直線l上一點(diǎn),則||PB|-|PA||≤|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,
P三點(diǎn)共線時(shí),||PB|-|PA||取得最大值,最大值為|AB|,此時(shí)點(diǎn)P為直線AB與直線l的交
點(diǎn).又直線AB的方程為y=x-2,所以 解得 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10).2.3.2　兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　兩直線的交點(diǎn)
1.已知直線kx-y+1=0和x-ky=0相交,且交點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0)　　　　B.(0,1]
C.(0,1)　　　　D.(1,+∞)
2.直線l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積為　　　　.
題組二　根據(jù)交點(diǎn)求參數(shù)的值或取值范圍
3.直線3x+my-1=0與4x+3y-n=0的交點(diǎn)為(2,-1),則m+n的值為(　　)
A.12　　B.10　　C.-8　　D.-6
4.已知直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0互相垂直,垂足為(1,p),則m+n-p等于(　　)
A.24　　　　B.20
C.4　　　　D.0
5.已知△ABC的頂點(diǎn)A(6,1),AB邊上的中線CM所在直線的方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=0.求:
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)直線BC的方程.
題組三　求過兩直線交點(diǎn)的直線方程
6.經(jīng)過直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y+1=0的交點(diǎn),且經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程是(　　)
A.2x-y=0　　　　B.2x+y=0
C.x-2y=0　　　　D.x+2y=0
7.斜率為2,且過直線y=4-x和直線y=x+2交點(diǎn)的直線方程為(　　)
A.y=2x+1　　　　B.y=2x-1
C.y=2x-2　　　　D.y=2x+2
8.經(jīng)過兩直線2x+y-8=0與x-2y+1=0的交點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是(　　)
A.x+y+1=0或2x-3y=0　　　　
B.x-y-1=0或2x-3y=0
C.x-y-1=0　　　　
D.2x-3y=0
9.求經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點(diǎn),且垂直于直線3x-2y+4=0的直線的一般式方程.
能力提升練
　　　　　　　　　　　　
題組一　過兩條直線交點(diǎn)的直線系及其應(yīng)用
1.已知集合A=,集合B={(x,y)|ax-y-2=0},且A∩B= ,則a=(　　)
A.2　　　　B.-2
C.-或2　　　　D.或2
2.(多選)已知直線l1:x+ay-a=0和直線l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列說法正確的是(　　)
A.l2始終過定點(diǎn)
B.若l1∥l2,則a=1或a=-3
C.若l1⊥l2,則a=0或a=2
D.若a>0,則l1始終不過第三象限
3.(多選)已知三條直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m的取值可能為(　　)
A.-　　　　B.-
C.　　　　D.2
4.直線l被兩條直線l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的線段的中點(diǎn)為P(-1,2),則直線l的方程為　　　　.
5.已知兩直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(06.已知直線l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0.
(1)求證:無論m為何實(shí)數(shù),直線l恒過定點(diǎn)M;
(2)過定點(diǎn)M作一條直線l1,使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分,求直線l1的方程.
題組二　對稱問題及其應(yīng)用
7.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分線所在直線方程為y=x+1,則AC所在直線方程為(　　)
A.y=2x+4　　　　B.y=x-3
C.x-2y-1=0　　　　D.3x+y+1=0
8.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱,則直線l2恒過定點(diǎn)(　　)
A.(4,-2)　　　　B.(0,4)
C.(-2,4)　　　　D.(0,2)
9.入射光線在直線l1:2x-y-3=0上,先經(jīng)過x軸反射到直線l2上,再經(jīng)過y軸反射到直線l3上,則直線l3的方程為(　　)
A.x-2y+3=0　　　　B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0　　　　D.2x-y+6=0
10.將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙對折,使點(diǎn)A(0,2)與B(4,0)重合,若此時(shí)點(diǎn)C(0,4)恰與點(diǎn)D重合,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是　　　　.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　易得k≠±1.聯(lián)立kx-y+1=0與x-ky=0,
得x=,y=,則解得-1故選A.
2.答案　9
解析　易知直線l1,l2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,12),(0,3).
由解得
故所求三角形的面積S=×(12-3)×|-2|=9.
3.B　將(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,將(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.
4.D　由兩直線垂直得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以原直線mx+4y-2=0可寫為10x+4y-2=0,又因?yàn)榇棺?1,p)同時(shí)滿足兩直線方程,所以將(1,p)代入兩直線方程,得解得所以m+n-p=10-12+2=0,故選D.
5.解析　(1)易得BH所在直線的斜率kBH=,
∴AC邊所在直線的斜率kAC=-2,
∴AC邊所在直線的方程為y-1=-2(x-6),即2x+y-13=0,
解方程組得故頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
(2)設(shè)B(m,n),∵AB的中點(diǎn)為M,A(6,1),
∴M.
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程2x-y-5=0,得2m-n+1=0,①
把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線方程x-2y-5=0,得m-2n-5=0,②
由①②解得故點(diǎn)B.
易知直線BC的方程為=,
化簡,得46x-41y-43=0.
6.D　聯(lián)立解得則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1),
∴過點(diǎn)(-2,1)與原點(diǎn)(0,0)的直線方程為x+2y=0.
7.A　解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),又因?yàn)樗笾本€的斜率為2,所以所求直線的方程為y-3=2(x-1),整理,得y=2x+1.故選A.
8.B　由解得所以直線2x+y-8=0與直線x-2y+1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).當(dāng)所求直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),直線的方程為y=x,即2x-3y=0;當(dāng)所求直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為+=1(λ≠0),把(3,2)代入,得3-2=λ,所以λ=1,此時(shí),直線的方程為x-y-1=0.
綜上,所求直線方程為x-y-1=0或2x-3y=0.故選B.
9.解析　由方程組解得所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2).因?yàn)樗笾本€垂直于直線3x-2y+4=0,故所求直線的斜率k=-,由點(diǎn)斜式得,所求直線方程為y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.
能力提升練
1.D　由=2可得2x-y-1=0(x≠2),故A={(x,y)|2x-y-1=0,x≠2},故集合A表示的是直線2x-y-1=0上除點(diǎn)(2,3)外的點(diǎn)構(gòu)成的集合.①當(dāng)直線ax-y-2=0與直線2x-y-1=0平行時(shí),滿足A∩B= ,此時(shí)a=2;②當(dāng)直線ax-y-2=0過點(diǎn)(2,3)時(shí),滿足A∩B= ,則2a-5=0,解得a=.
綜上所述,a=2或a=.故選D.
2.ACD　易得l2:a(x-2y)+3y-1=0過定點(diǎn),故A正確;
當(dāng)a=1時(shí),l1,l2重合,故B錯(cuò)誤;
由l1⊥l2,得1×a+a×(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正確;
若a>0,則l1:y=-x+1始終過(0,1),且斜率為負(fù),∴l(xiāng)1始終不過第三象限,故D正確.
故選ACD.
3.ABC　設(shè)三條直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分別為l1,l2,l3,斜率分別為k1,k2,k3,且k1=,k2=-,k3=m,當(dāng)l3∥l1時(shí),k3=k1,即m=,此時(shí)l1,l2,l3不能構(gòu)成三角形;當(dāng)l3∥l2時(shí),k3=k2,即m=-,此時(shí)l1,l2,l3不能構(gòu)成三角形;由解得所以直線l1與l2的交點(diǎn)為,當(dāng)直線l3過直線l1,l2的交點(diǎn)時(shí),l1,l2,l3不能構(gòu)成三角形,此時(shí)-m+-1=0,解得m=-.
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值集合為,故選ABC.
4.答案　3x+y+1=0
解析　設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0,y0),直線l與l2的交點(diǎn)為B.由已知條件,得直線l與l2的交點(diǎn)為B(-2-x0,4-y0).聯(lián)立
即解得即A(-2,5),所以直線l的方程為=,即3x+y+1=0.
5.答案　;
解析　設(shè)l1,l2的斜率分別為k1和k2,
∵0兩直線l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2(y-2),都恒過點(diǎn)C(2,2),如圖所示:
易知直線l1與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2-a),直線l2與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2+a2,0),
∴S四邊形OACB=S△OAC+S△OCB=(2-a)×2+×(2+a2)×2=a2-a+4=+.
∴當(dāng)a=時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為.
6.解析　(1)證明:直線l的一般式方程整理,得(x-y+2)+m(2x+y+7)=0,
令解得
故無論m為何實(shí)數(shù),直線l恒過定點(diǎn)M(-3,-1).
(2)當(dāng)直線l1的斜率不存在或等于零時(shí),顯然不符合題意.
當(dāng)直線l1的斜率存在,且不為零時(shí),設(shè)直線l1的方程為y=k(x+3)-1(k≠0),
設(shè)直線l1與y軸、x軸的交點(diǎn)分別為A,B,
令x=0,則y=3k-1;令y=0,則x=-3,
∴A(0,3k-1),B.
∵夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分,
∴點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),
∴解得k=-,
則直線l1的方程為y=-x-2,即x+3y+6=0.
7.C　設(shè)B關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為B'(x,y),
則解得∴B'(1,0).
易知B'在直線AC上,
∴直線AC的方程為=,即x-2y-1=0.
8.D　由l1:y=k(x-4),得直線l1過定點(diǎn)A(4,0).
又∵l1與l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱,因此,點(diǎn)A(4,0)關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱的點(diǎn)B(x0,y0)一定在直線l2上.
則解得
∴直線l2恒過定點(diǎn)(0,2),故選D.
B　設(shè)直線l1:2x-y-3=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A,B,則A,B(0,-3).如圖所示,則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1(0,3)均在直線l3上,其方程為+=1,即2x-y+3=0,故選B.
10.答案　
解析　設(shè)對折前線段AB的中點(diǎn)為M,則M(2,1).
又∵kAB==-,∴線段AB的垂直平分線的斜率為2,因此,線段AB的垂直平分線方程為y-1=2(x-2).
設(shè)D(a,b),則kCD==-,
∴a=-2b+8.①
又∵線段CD的中點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上,
∴-1=2,即b=2a-10.②
由①②解得因此D.
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