資源簡介

(共15張PPT)
　　平面內任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離公式為|AB|= .
2.4　點到直線的距離
1 | 兩點間的距離
點P0(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d= .
2 | 點到直線的距離
　　兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離是d= .
3 | 兩條平行直線間的距離
1.點P1(0,a),P2(0,b)間的距離是a-b嗎
不是.應該是|a-b|.
2.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離是 嗎
不是.直線方程化為一般式為kx-y+b=0,P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 .
3.直線外一點與直線上任一點間的距離的最小值是點到直線的距離嗎
是.由直線外一點與直線上任一點的連線中垂線段最短,知結論成立.
4.兩平行直線間的距離是連接兩條平行直線上任意兩點間的距離嗎
不是.兩平行直線間的距離是兩平行直線間公垂線段的長.
知識辨析
　　利用點到直線的距離公式時,一般先分析確定相應的點和直線,再利用公式
計算求解.當所給條件不能明顯確定所需的點和直線時,可考慮待定系數法,有時
要結合幾何圖形的直觀性,綜合分析解決問題.
1 點到直線的距離公式的應用
典例　已知某正方形的中心為直線2x-y+2=0,x+y+1=0的交點,正方形一邊所在
直線l的方程為x+3y-5=0,求:
(1)正方形的面積;
(2)正方形其他三邊所在直線的方程.
思路點撥 (1)利用正方形中心到一邊的距離為邊長的一半求解.
(2)根據所求的三邊中有一邊所在直線與直線l平行,另兩邊所在直線與直線l垂直,
并結合正方形的中心到四條邊的距離相等求解.
解析 (1)由 得正方形的中心的坐標為(-1,0),則(-1,0)到直線x+3y-5=
0的距離為 = ,∴正方形的邊長為 ,∴正方形的面積為 =
.
(2)設與直線l:x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程為l1:x+3y+C=0(C≠-5).
由點(-1,0)到兩直線l,l1的距離相等,
得 = ,解得C=7或C=-5(舍去),
∴l1:x+3y+7=0.
又∵正方形另兩邊所在直線均與l垂直,
∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等,
∴ = = ,
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,
∴另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+9=0,3x-y-3=0.
∴正方形其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
1.兩條平行直線間的距離的求法
(1)直接利用公式求解.
(2)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點
到另一條直線的距離.
2.兩條平行直線間的距離的應用
　　已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程,一般
先設出直線方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.也可以把兩平行直線間
的距離問題轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離問題,然后利用點到
直線的距離公式求解.
2 平行線間的距離公式的應用
典例 (1)直線l1:3x+4y-5=0關于l:3x+4y+1=0的對稱直線l2的方程為　　　　
;
(2)已知△ABC的兩頂點A,B在直線l1:2x-y+3=0上,點C在直線l2:2x-y-1=0上.若
△ABC的面積為2,則AB邊的長為　　　 .
思路點撥 (1)l1關于和它平行的直線l對稱的直線l2滿足條件:①l1∥l2;②l1,l2與直
線l間的距離相等.
(2)因為直線l1與l2平行,所以直線l1與l2之間的距離與以AB為底時三角形的高相等,
利用三角形面積公式可得AB邊的長.
3x+4y+7=0
解析 (1)設l2的方程為3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1),由條件知l1與l之間的距離等于l2
與l之間的距離,則 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直線l2的方程為3x+4
y+7=0.
(2)由直線l1:2x-y+3=0,直線l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,兩平行直線間的距離d=
= ,根據三角形的面積公式,得 × ×|AB|=2,解得|AB|= .
與距離有關的最值問題的解題策略
(1)利用對稱轉化為兩點之間的距離問題.
(2)利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離問題.
　　一般地,形如 的式子可視為點(x,y)與點(a,b)之間的距離,所以
解決相關的最值問題時,可應用數形結合思想,借助兩點間的距離公式,將其轉化
為點到直線的距離或兩平行線之間的距離.
(3)利用距離公式將問題轉化為一元二次函數的最值問題,通過配方求最值.
3 與距離有關的最值問題
典例 (1)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則 的最小
值為 (　C )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知實數x,y滿足2x+y+3=0,則 的最小值為　　　 .
解析 (1)設P(m,n),Q(a,b),則|PQ|= .
依題意,P,Q兩點分別在直線l1:3x+4y-6=0與l2:3x+4y-1=0上,
則直線l1與l2平行,所以|PQ|的最小值就是兩平行直線間的距離d,又因為d=
=1,
所以 的最小值為1,故選C.
(2) = ,設N(x,y),A(-1,0),則 表示點N與點A
之間的距離,
又點N(x,y)在直線l:2x+y+3=0上,所以 的最小值即為點A到直線l的
距離d,又d= = ,故所求最小值為 .2.4　點到直線的距離
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　兩點間的距離
1.已知△ABC的三個頂點分別為A(2,4),B(3,-6),C(5,2),則BC邊上的中線的長為(　　)
A.　　B.2　　C.11　　D.3
2.已知點M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,則實數m等于(　　)
A.1　　B.3　　C.1或3　　D.-1或3
3.已知點P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),則|PQ|的最大值為(　　)
A.　　B.2　　C.4　　D.2
題組二　點到直線的距離
4.已知直線l1:ax+y-1=0與l2:x-y+5=0互相垂直,則點(1,2)到直線l1的距離為(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.2
5.若直線l經過點P(1,2),且點A(2,3),B(0,-5)到直線l的距離相等,則直線l的方程為　　　　　.
6.若點P在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離為,則點P的坐標為　　　　　.
題組三　兩條平行直線間的距離
7.若直線x-y-m=0與直線mx+y-4=0平行,則它們之間的距離為(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
8.設P,Q分別是直線3x+4y-10=0與直線6x+8y+5=0上的任意一點,則|PQ|的最小值為(　　)
A.3　　B.6　　C.　　D.
9.若直線l與其平行直線x-2y+4=0之間的距離和原點到直線l的距離相等,則直線l的方程是　　　　.
題組四　距離公式的綜合應用
10.已知直線l過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點Q,且點P(0,4)到直線l的距離為2,則這樣的直線l的條數為(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
11.已知直線l1:ax+by+a=0,l2:x+ay+b=0,若l1∥l2,且這兩條直線間的距離為1,則點P(a,b)到坐標原點的距離為(　　)
A.2　　B.3　　C.12　　D.27
12.若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是2,則直線l1關于直線l2對稱的直線方程為(　　)
A.x-2y-13=0　　　　B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0　　　　D.x-2y-6=0
13.已知△ABC的三個頂點分別是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).
(1)求BC邊所在直線的方程;
(2)求△ABC的面積.
能力提升練
題組　距離公式的綜合應用
1.已知直線l1,l2分別過點P(-1,3),Q(2,-1),若它們分別繞點P,Q旋轉,但始終保持平行,則l1,l2之間的距離d的取值范圍為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,5]　　　　B.(0,5)
C.(0,+∞)　　　　D.(0,]
2.若動點A,B分別在直線l1:x+y-6=0和l2:x+y-2=0上,則AB的中點M與坐標原點之間的距離的最小值為(　　)
A.　　B.2　　C.3　　D.4
3.已知點A(3,0),B(0,3),從點P(0,2)射出的光線經x軸反射到直線AB上,又經過直線AB反射到P點,則光線所經過的路程為(　　)
A.2　　B.6　　C.　　D.2
4.已知直線l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,則原點到直線l的距離的最大值等于　　　　.
5.已知平面上一點M(5,0),若直線上存在點P使|PM|=4,則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中,是“切割型直線”的有　　　　.(填序號)
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
6.著名數學家華羅庚曾說過“數無形時少直覺,形少數時難入微”,事實上,很多代數問題都可以轉化為幾何問題加以解決,如:可以轉化為平面上點M(x,y)與點N(a,b)之間的距離,結合上述觀點,可得+的最小值為　　　　.
7.已知△ABC的頂點分別為A(1,1),B(m,),C(4,2),18.已知三條直線l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1與l2之間的距離是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一點P,使得P點同時滿足下列三個條件:①P是第一象限的點;②P點到l1的距離是P點到l2的距離的;③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶ 若能,求出P點的坐標;若不能,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　設BC邊的中點為D(x,y),則x==4,y==-2,即D(4,-2),
所以|AD|==2,故選B.
2.C　因為|MN|==,所以=2,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故選C.
3.B　∵P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),
∴|PQ|=
=
=
=.
∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].
故選B.
4.C　∵l1⊥l2,∴a×1+1×(-1)=0,解得a=1.
此時直線l1的方程為x+y-1=0,
∴點(1,2)到直線l1的距離d==.
5.答案　4x-y-2=0或x=1
解析　當直線l的斜率不存在時,方程為x=1,顯然點A(2,3),B(0,-5)到直線l的距離相等,符合題意;當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根據題意,得=,即|k-1|=|7-k|,可得k-1=±(7-k),解得k=4,∴直線l的方程為4x-y-2=0.
綜上,直線l的方程為4x-y-2=0或x=1.
6.答案　(1,2)或(2,-1)
解析　設點P的坐標為(x,5-3x),
則由點到直線的距離公式,得=,
即|4x-6|=2,∴4x-6=±2,∴x=1或x=2,
∴點P的坐標為(1,2)或(2,-1).
7.C　∵直線x-y-m=0與直線mx+y-4=0平行,
∴m≠0,且=≠,解得m=-1,故直線x-y+1=0與直線x-y+4=0之間的距離為=,故選C.
8.D　根據題意,知=≠,所以兩直線平行,直線方程6x+8y+5=0可化為3x+4y+=0,所以兩平行直線間的距離即為|PQ|的最小值,即|PQ|min==,故選D.
9.答案　x-2y+2=0
解析　根據題意,設直線l的方程為x-2y+c=0(c≠4),則=,解得c=2,
故直線l的方程為x-2y+2=0.
10.C　由解得即直線l過點Q(1,2).因為|PQ|==>2,所以滿足條件的直線l有2條.故選C.
11.A　∵l1∥l2,∴a2=b,若a=0,則b=0,不符合題意,∴a≠0,∴直線l2的方程可化為ax+by+ab=0,∴l1與l2之間的距離d==1,解得b=3或b=0(舍去),∴P(a,b)到坐標原點的距離為==2,故選A.
12.A　因為l1與l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又因為l1與l2之間的距離是2,所以=2,又因為m>0,所以m=7,即直線l1:x-2y+7=0,設直線l1關于直線l2對稱的直線方程為x-2y+c=0(c≠7),則2=,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直線方程為x-2y-13=0,故選A.
13.解析　(1)由題可知,直線BC過點B(2,3),C(3,-2),∴BC邊所在直線的方程為=,化簡得5x+y-13=0,
∴BC邊所在直線的方程為5x+y-13=0.
(2)由題可知|BC|==,A(1,1)到直線BC的距離d==,∴S△ABC=·|BC|·d=××=.
能力提升練
1.A　易知兩直線之間的最大距離為P,Q兩點間的距離,由兩點間的距離公式得|PQ|==5.故l1,l2之間的距離d的取值范圍為(0,5].
2.B　根據題意,可得M的集合為與直線l1和l2距離都相等的直線,則中點M與坐標原點之間的距離的最小值為原點到該直線的距離,設點M所在直線的方程為l:x+y+m=0(m≠-2,m≠-6),由=,可得|m+6|=|m+2|,解得m=-4,故l:x+y-4=0,所以中點M與坐標原點之間的距離的最小值為=2.故選B.
3.C　直線AB的方程為x+y=3,點P(0,2)關于x軸的對稱點為P1(0,-2),
設點P1(0,-2)關于直線AB的對稱點為P2(a,b),在x軸上的反射點為點Q,在直線AB上的反射點為點M,如圖,
則kAB·=-1·=-1①,且線段P1P2的中點在直線x+y=3上,
所以+=3②,聯立①②,解得a=5,b=3,
即P2(5,3),
根據反射原理,知光線所經過的路程為
|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|==.故選C.
4.答案　
解析　根據題意,設原點到直線l的距離為d.直線l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,即m(x-y+1)+x+y-3=0,則有解得即直線l恒過定點(1,2),記為M.
則d≤|OM|==,故原點到直線l的距離的最大值等于.
5.答案　②③
解析　可通過求點M到直線的距離d來分析.①d==3>4,④d==>4,故①④中直線上不存在點P使|PM|=4,故①④不是“切割型直線”;②d=2<4,所以在該直線上可以找到兩個不同的點,使其與點M之間的距離等于4,故②是“切割型直線”;③d==4,所以該直線上存在一點,使其與點M之間的距離等于4,故③是“切割型直線”.
6.答案　5
解析　設f(x)=+,
則f(x)=+,∴f(x)的幾何意義為點M(x,0)與兩定點A(2,4),B(1,3)之間的距離之和.如圖所示:
設點A(2,4)關于x軸的對稱點為A',則A'的坐標為(2,-4).要求f(x)的最小值,可轉化為求|MA|+|MB|的最小值,利用對稱思想可知|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|==5,即f(x)=+的最小值為5.
7.解析　根據題意,得|AC|==,直線AC的方程為=,即x-3y+2=0.
因為點B(m,)到直線AC的距離d=,所以△ABC的面積S=|AC|·d=|m-3+2|=.
因為1所以0<≤,所以0所以當=,即m=時,△ABC的面積S最大.
8.解析　(1)l2的方程即為2x-y-=0,
∴l1與l2之間的距離d==,
∴=.∵a>0,∴a=3.
(2)設點P(x0,y0),若點P滿足條件②,則點P在與l1和l2平行的直線l':2x-y+c=0上,
且=×,解得c=或c=.
∴l':2x-y+=0或2x-y+=0.
若點P滿足條件③,由點到直線的距離公式,得
=·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵點P在第一象限,∴3x0+2=0不符合題意.
聯立方程
解得x0=-3,y0=,應舍去.
聯立解得x0=,y0=.
∴P即為同時滿足三個條件的點.
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