資源簡介

2.5.2　圓的一般方程
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　對圓的一般方程的理解
1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓的圓心在(　　)
A.第一象限　　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　　D.第四象限
2.若點A(-1,1)在圓x2+y2-2x-y-a=0外,則實數a的取值范圍為(　　)
A.a<3　　　　B.a<-3
C.3.點M,N在圓x2+y2+kx+2y-4=0上,且點M,N關于直線x-y+1=0對稱,則該圓的面積為　　　　.
4.已知AB為圓C:x2+y2-2x+2y-3=0的直徑,點A的坐標為(0,1),則點B的坐標為　　　　.
題組二　圓的一般方程的求解
5.過點M(-1,1),且圓心與已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圓的一般方程為　　　　　　　　.
6.在平面直角坐標系中,經過三點(0,1),(0,2),(1,3)的圓的方程為　　　　　　　　.
7.圓心在直線y=x上,且經過點A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是　　　　　　　　　.
8.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑為,則圓的一般方程為　　　　　　　　.
題組三　動點的軌跡問題
9.已知點M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是(　　)
A.x2+y2=4　　　　B.x2-y2=4
C.x2+y2=4(x≠±2)　　　　　D.x2-y2=4(x≠±2)
10.當點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是(　　)
A.x2+y2+6x+5=0　　　　
B.x2+y2-6x+8=0
C.x2+y2-3x+2=0　　　　
D.x2+y2+3x+2=0
11.設A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,求點P的軌跡方程.
12.已知△ABC的邊AB的長為4,若BC邊上的中線為定長3,求頂點C的軌跡方程.
能力提升練
題組一　圓的一般方程的求解與應用
1.已知圓C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),則當圓C的面積最小時,圓上的點到坐標原點的距離的最大值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.6　　C.-1　　D.+1
2.已知點P(7,3),圓M:x2+y2-2x-10y+25=0,點Q為圓M上一點,點S在x軸上,則|SP|+|SQ|的最小值為(　　)
A.7　　B.8　　C.9　　D.10
3.如圖,某海面上有O,A,B三個小島(面積大小忽略不計),A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處,B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O為坐標原點,O的正東方向為x軸的正方向,1千米為一個單位長度,建立平面直角坐標系.圓C經過O,A,B三點.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C區域內有未知暗礁,現有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛,若不改變方向,試問該船有沒有觸礁的危險
題組二　動點的軌跡問題
4.已知點M(-3,4),若動點N在圓x2+y2=4上運動,以OM,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,則點P的軌跡是(　　)
A.以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓
B.以(3,-4)為圓心,2為半徑的圓
C.以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點和點
D.以(3,-4)為圓心,2為半徑的圓,除去點和點
5.若平面內兩定點A,B之間的距離為2,動點P滿足|PB|=|PA|,則tan∠ABP的最大值為(　　)
A.　　B.1　　C.　　D.
6.過點P(-5,0)作直線(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂線,垂足為M,已知點N(3,11),則|MN|的取值范圍是　　　　.
7.已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),點B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點(A,P,Q三點均不重合).
(1)求線段AP的中點的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點的軌跡方程.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.D　圓的方程可化為+(y-a)2=-a2-3a,故圓心坐標為,r2=-a2-3a.又∵r2>0,
∴-a2-3a>0,解得-42.D　圓的方程x2+y2-2x-y-a=0可化為(x-1)2+=a+,因為點A(-1,1)在圓x2+y2-2x-y-a=0外,所以解得-3.答案　9π
解析　圓x2+y2+kx+2y-4=0的圓心坐標是,
由圓的性質,知直線x-y+1=0經過圓心,
∴-+1+1=0,解得k=4,
∴圓x2+y2+4x+2y-4=0的半徑為=3,
∴該圓的面積為9π.
4.答案　(2,-3)
解析　由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圓心坐標為(1,-1).設B(x0,y0),又因為A(0,1),所以由中點坐標公式得解得所以點B的坐標為(2,-3).
5.答案　x2+y2-4x+6y-12=0
解析　將圓C的方程化為標準方程得(x-2)2+(y+3)2=16,則圓心C的坐標為(2,-3),故所求圓的半徑r=|CM|==5,所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-12=0.
6.答案　x2+y2-3x-3y+2=0
解析　設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因為圓過(0,1),(0,2),(1,3)三點,
所以解得
所以圓的方程為x2+y2-3x-3y+2=0.
7.答案　x2+y2-4x-4y-2=0
解析　設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則圓心坐標是,
由題意知解得
故所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
8.答案　x2+y2+2x-4y+3=0
解析　根據題意,得圓心坐標為.∵圓心在直線x+y-1=0上,∴---1=0,即D+E=-2.①∵半徑r==,
∴D2+E2=20.②
由①②可得或
又∵圓心在第二象限,∴
故圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.
9.C　設P(x,y),由條件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1,
即·=-1,
所以x2+y2=4,
當P,M,N三點共線時,不能構成三角形,
所以x≠±2,故所求軌跡方程為x2+y2=4(x≠±2).
10.C　設P(x1,y1),PQ的中點M的坐標為(x,y),
∵Q(3,0),∴∴
又∵點P在圓x2+y2=1上,
∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0,故選C.
11.解析　設P(x,y),圓(x-1)2+y2=1的圓心為B,則B(1,0),由題意得|PA|2+12=|PB|2,∴(x-1)2+y2=2.
12.解析　以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系(如圖),則A(-2,0),B(2,0),設C(x,y),BC的中點D的坐標為(x0,y0),
∴①
∵|AD|=3,
∴(x0+2)2+=9.②
將①代入②,并整理得(x+6)2+y2=36.
∵點C不能在x軸上,
∴y≠0.
∴頂點C的軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y≠0).
能力提升練
1.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圓心C的坐標為(-1,m),半徑r==≥1,當且僅當m=-2時,半徑最小,面積最小,此時圓心為C(-1,-2),半徑r=1,
圓心到坐標原點的距離d==>r,即原點在圓C外,
所以圓上的點到坐標原點的距離的最大值為d+r=+1.故選D.
2.C　由題意知,圓M的方程可化為(x-1)2+(y-5)2=1,所以圓心為M(1,5),半徑為1.如圖所示:
作點P(7,3)關于x軸的對稱點P'(7,-3),
連接MP',交圓M于點Q,交x軸于點S,此時|SP|+|SQ|的值最小,否則,在x軸上另取一點S',連接S'P,S'P',S'Q.因為點P與點P'關于x軸對稱,所以|SP|=|SP'|,|S'P|=|S'P'|,所以|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|=|P'Q|<|S'P'|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|.
故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=-1=9.
3.解析　(1)由題圖可知A(40,40),B(20,0),
設過O,A,B三點的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
所以圓C的方程為x2+y2-20x-60y=0.
(2)易知D(-20,-20),船D的航線所在直線l的斜率為1,故直線l的方程為x-y+20-20=0,
由(1),知圓C的圓心為C(10,30),半徑r=10,
則圓心C到直線l的距離d==10,則d故該船有觸礁的危險.
4.C　如圖所示,設P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點的坐標為,線段MN的中點的坐標為.
所以從而
又因為點N(x+3,y-4)在圓上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.
當點P在直線OM上時,有x=-,y=或x=-,y=.
因此點P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點和點.故選C.
5.B　以經過A,B的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,
則A(-1,0),B(1,0),設P(x,y),
∵|PB|=|PA|,∴=,
整理,得x2+6x+y2+1=0,即(x+3)2+y2=8,
即動點P的軌跡是以(-3,0)為圓心,2為半徑的圓,
當點P在如圖所示的P1或P2位置時,tan∠ABP的值最大,最大值為==1.故選B.
6.答案　[13-,13+]
解析　由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R),得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令解得所以直線過定點(1,-2),設定點為Q.由題意知,點M在以PQ為直徑的圓上運動,設該圓的圓心為C,易知C(-2,-1),半徑r==,則|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,又因為|CN|==13,所以|MN|的取值范圍是[13-,13+].
7.解析　(1)設線段AP的中點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0),x0≠2,
則∴其中x≠2.
又∵點P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1(x≠2),
故線段AP的中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)設PQ的中點為N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
設O為坐標原點,則O為圓x2+y2=4的圓心,連接ON,則ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故線段PQ的中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.
方法點撥　求與圓有關的軌跡方程問題
(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.
(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.
(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式等.
92.5　圓的方程
2.5.1　圓的標準方程
基礎過關練
　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　對圓的標準方程的理解
1.方程x=表示的圖形是(　　)
A.兩個半圓　　　　B.兩個圓
C.圓　　　　D.半圓
2.圓(2x-1)2+(2y+4)2=9的周長等于(　　)
A.6π　　　　B.3π
C.　　　　D.9π
3.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圓(　　)
A.關于x軸對稱
B.關于y軸對稱
C.關于直線x-y=0對稱
D.關于直線x+y=0對稱
4.方程|y|-1=所表示的曲線的長度是(　　)
A.6π　　　　B.2π
C.2π+4　　　　D.6π+12
題組二　求解圓的標準方程
5.已知點A(3,-2),B(-5,4),以線段AB為直徑的圓的標準方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+1)2=25
B.(x+1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y+1)2=100
D.(x+1)2+(y-1)2=100
6.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的標準方程是(　　)
A.x2+(y-2)2=1　　　　
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1　　　　
D.x2+(y-3)2=1
7.若圓心在x軸上,半徑為的圓C位于y軸左側,且圓心到直線x+2y=0的距離等于半徑,則圓C的方程是　　　　　　　　.
8.圓(x-3)2+(y+1)2=1關于直線x+y-3=0對稱的圓的標準方程是　　　　　　　　.
9.已知點A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)過點A,B且周長最小的圓的標準方程;
(2)過點A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標準方程.
題組三　點與圓的位置關系
10.點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關系是(　　)
A.點P在圓內　　　　　B.點P在圓外
C.點P在圓上　　　　　D.不確定
11.若點(1,1)在圓(x+2)2+y2=m(m>0)上,則圓的標準方程是　　　　　　　　.
12.已知點M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內部,則a的取值范圍為　　　　　.
13.已知點A(2,1)在圓C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,則實數a的取值范圍為　　　　　.
14.已知圓C的圓心為C(-3,-4)且過原點O,求圓C的標準方程,并判斷點M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)與圓C的位置關系.
題組四　圓的標準方程的應用
15.圓(x-1)2+(y-1)2=1上的點到直線x-y=2的距離的最大值是　　　　.
16.已知半徑為1的圓經過點M(3,4),則其圓心到原點O的距離的最小值為　　　　.
17.已知點P是圓C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一點,且點A(-1,0),B(1,0),試求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.
18.如圖所示,河道上有一座圓拱橋,正常水位時,拱圈的最高點距水面9 m,拱圈內水面寬22 m,船體在水面以上的部分高6.5 m,船頂部寬4 m,此時船可以通行無阻.近日水位暴漲了2.7 m,船已經不能通過橋洞,船員必須加重船載,降低船身在水面以上的高度,則船身至少降低多少米才能順利通過橋洞 (精確到0.01 m,參考數據≈99.38)
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.D　根據題意得x≥0,方程兩邊同時平方并整理得x2+y2=1(x≥0),由此確定其表示的圖形為半圓,故選D.
2.B　圓的方程可化為+(y+2)2=,所以圓的半徑為,因此圓的周長為2π×=3π.
3.D　易得圓心坐標為(-a,a),圓心在直線y=-x上,所以該圓關于直線x+y=0對稱.
4.B　由|y|-1=,
得|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1.
將原式變形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3(y≥1或y≤-1),
所以曲線為兩個半徑均為的半圓,
所以曲線的長度為2π×=2π.故選B.
5.B　由題意得圓心坐標為(-1,1),半徑r=|AB|=×=5,
所以圓的標準方程是(x+1)2+(y-1)2=25.故選B.
6.A　設圓心坐標為(0,b),則=1,∴b=2,∴圓的標準方程是x2+(y-2)2=1.
7.答案　(x+5)2+y2=5
解析　設圓心坐標為(a,0)(a<0),則=,所以a=-5,故圓C的方程為(x+5)2+y2=5.
8.答案　(x-4)2+y2=1
解析　圓(x-3)2+(y+1)2=1的圓心坐標為(3,-1),設其關于直線x+y-3=0對稱的點的坐標為(a,b),
則解得
故所求圓的標準方程為(x-4)2+y2=1.
9.解析　(1)當AB為直徑時,過A,B的圓的半徑最小,從而周長最小.
即AB的中點(0,1)為圓心,半徑r=|AB|=.
則圓的方程為x2+(y-1)2=10.
(2)解法一:易知直線AB的斜率為-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.
由圓心在直線2x-y-4=0上,得兩直線的交點為圓心,聯立兩直線方程得圓心的坐標是(3,2).
則圓的半徑r==2.
故所求圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法二(待定系數法):
設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
則可得
故所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.
10.B　由(m2)2+52=m4+25>24,得點P在圓外.
11.答案　(x+2)2+y2=10
解析　∵點(1,1)在圓(x+2)2+y2=m(m>0)上,
∴(1+2)2+1=m,∴m=10,故圓的標準方程為(x+2)2+y2=10.
12.答案　[0,1)
解析　由題意知
解得0≤a<1.
13.答案　(-∞,0)∪
解析　由于(x-a)2+(y+a)2=2a2表示圓,故a≠0,因為點A(2,1)在圓C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,所以(2-a)2+(1+a)2>2a2,即-2a+5>0,解得a<,因此實數a的取值范圍為(-∞,0)∪.
14.解析　因為圓C過原點O,圓心為C(-3,-4),所以圓C的半徑r=|OC|==5,因此圓C的標準方程為(x+3)2+(y+4)2=25.因為(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以點M1(-1,0)在圓C內;因為(1+3)2+(-1+4)2=25,所以點M2(1,-1)在圓C上;因為(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以點M3(3,-4)在圓C外.
15.答案　+1
解析　圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d==,故圓上的點到直線x-y=2的距離的最大值為+1.
16.答案　4
解析　設圓心為C(x,y),則=1,即(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|==5,
所以|OC|≥4,即圓心到原點的距離的最小值為4.
17.解析　根據題意,得圓C的圓心C(3,4),半徑r=1.
設P(x,y),坐標原點為O,
則有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2
=2x2+2y2+2=2()2+2
=2[]2+2
=2|OP|2+2,
又因為|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,
所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.
18.解析　在正常水位時,設拱圈所在圓的圓心為C,以水面與橋橫截面的交線所在直線為x軸,過拱圈的最高點且與水面垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示:
則A,B,D三點的坐標分別為(-11,0),(11,0),(0,9),
又因為圓心C在y軸上,故可設C(0,b),b<0.
因為|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,
所以b=-,
所以拱圈所在圓的方程為x2+=.
當x=2時,y≈8.82,8.82-2.7=6.12(m),即水位暴漲后,要想船身能順利通過橋洞,其在水面以上的高度最高為6.12 m,
6.5-6.12=0.38(m),所以船身至少降低0.38 m才能順利通過橋洞.
10(共13張PPT)
1.圓的標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圓心為(a,b),半徑為r.
2.對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0:
當D2+E2-4F<0時,不表示任何圖形;
當D2+E2-4F=0時,表示一個點 ;
當D2+E2-4F>0時,表示以 為圓心,以 為半徑的圓.
　　注意:二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的圖形為圓時,需滿足A=B
≠0,C=0.
2.5　圓的方程
1 | 圓的標準方程與一般方程
點(x0,y0)與 圓的位置關系 判斷方法 圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2 圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0
點在圓內 (x0-a)2+(y0-b)2點在圓上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
點在圓外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
2 | 點與圓的位置關系
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓嗎
不一定.當m=0時,方程表示一個點;當m≠0時,方程表示一個圓.
2.方程(x+2)2+(y+2)2=5是否表示圓心為(2,2),半徑為 的圓
不是.圓心應為(-2,-2).
3.過原點的圓的標準方程是否可表示為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
可以.設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由原點在圓上得a2+b2=r2≠0,因此過
原點的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).
4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圓嗎
一定.方程可化為x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因為D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-
2ay=0(a≠0)一定表示圓.
知識辨析
1.直接代入法
　　先確定圓心和半徑,再代入圓的標準方程即可.
　　確定圓心和半徑的方法如下:
(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑r.
(2)利用幾何性質確定圓心C(a,b)及半徑r.
①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑r;
③圓的半徑r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過圓心;
⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不
重合)與直線l的交點為圓心.
1 圓的方程的求法
2.待定系數法
(1)根據題意,設所求圓的標準方程或一般方程;
(2)根據已知條件,建立關于參數的方程組;
(3)解方程組,求出參數的值;
(4)將參數代入所設的方程中,即可得到所求圓的方程.
典例　求符合下列條件的圓的方程:
(1)圓心是(4,-1),且過點(5,2);
(2)圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5);
(3)經過A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三點.
解析 (1)解法一 (直接代入法):由題意得,圓的半徑為 = ,
又圓心是(4,-1),故所求圓的方程為(x-4)2+(y+1)2=10.
解法二 (待定系數法):設圓的標準方程為(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=
10,故所求圓的方程為(x-4)2+(y+1)2=10.
(2)解法一:設C為圓心,
因為點C在直線x-2y-3=0上,
所以可設點C的坐標為(2a+3,a).
由于圓經過A,B兩點,
所以|CA|=|CB|,所以
= ,
解得a=-2,因此圓心C的坐標為(-1,-2),半徑r= ,故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2
=10.
解法二:設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由題設條件知
解得
故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
解法三:易得線段AB的中點坐標為(0,-4),kAB= = ,
所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2,
因此弦AB的垂直平分線的方程為y+4=-2x,即2x+y+4=0.
又圓心在直線x-2y-3=0上,
所以圓心是直線2x+y+4=0與直線x-2y-3=0的交點,
聯立 解得
所以圓心坐標為(-1,-2),
因此圓的半徑r= = ,
故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因為點A,B,C在圓上,
所以 解得
故所求圓的方程為x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.
解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3,所以kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是
以∠A為直角的直角三角形,其外心是線段BC的中點,坐標為(1,-1),其外接圓半徑r
= |BC|=5.
故所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=25.
1.點與圓的位置關系的判斷方法
(1)幾何法:計算已知點與圓的圓心之間的距離,與半徑作比較即可判斷.
(2)代數法:把點的坐標代入圓的方程,比較式子兩邊的大小,并作出判斷.
2.點與圓的位置關系的靈活運用
　　若已知點與圓的位置關系,則可利用以上兩種方法列出方程或不等式,求解
參數的值或范圍.
2 點與圓的位置關系
典例 (1)已知兩點P1(3,8)和P2(5,4),求以線段P1P2為直徑的圓的方程,并判斷點
M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在圓上,圓內,還是在圓外;
(2)已知圓C的標準方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0),若點P(3,3),Q(5,3)有一點在圓內,另
一點在圓外,求a的取值范圍.
解析 (1)設圓心為C(a,b),半徑為r.
由C為線段P1P2的中點,得a= =4,b= =6,即C(4,6).
由兩點間的距離公式,得r=|CP1|= = ,故所求圓的標準方程為(x-
4)2+(y-6)2=5.
|CM|= = > ,
|CN|= = ,
|CP|= = < ,
∴點M在圓外,點N在圓上,點P在圓內.
(2)由題意得,圓心C的坐標為(5,6),
∵|PC|= = ,
|QC|= =3,|PC|>|QC|,
∴點P在圓外,點Q在圓內,
∴3

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