資源簡介

2.6　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2.6.1　直線與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　直線與圓的位置關(guān)系
1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是(　　)
A.相交且過圓心　　　　　B.相切
C.相離　　　　　D.相交但不過圓心
2.已知直線l:x-y+2=0與圓C:x2+y2-2y-2m=0相離,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,0)　　　　B.
C.　　　　D.
3.設(shè)m>0,則直線l:(x+y)+1+m=0與圓O:x2+y2=m的位置關(guān)系為　　　　　　.
4.直線l: x-1=m(y-1)和圓x2+y2-2y=0的位置關(guān)系是　　　　　　　.
題組二　圓的切線與弦長問題
5.已知過點P(2,2)的直線與圓x2+(y-1)2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=(　　)
A.-　　　　B.
C.-2　　　　D.2
6.設(shè)圓心在x軸上的圓C與直線l1:x-y+1=0相切,且與直線l2:x-y=0相交于M,N兩點,若|MN|=,則圓C的半徑為(　　)
A.　　　　B.
C.1　　　　D.
7.已知直線l過點P(2,4),且與圓O:x2+y2=4相切,則直線l的方程為　　　　　　　　.
8.已知圓C與x軸相切,圓心在直線y=3x上,且直線y=x被圓C截得的弦長為2,則圓C的方程為　　　　　　　　　.
9.不經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線l:x+y+m=0被曲線C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦長為2,則m的值為　　　　.
題組三　直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
10.已知直線3x+4y-10=0與圓C:x2+y2-2x+4y-20=0相交于A,B兩點,點P在圓C上,且滿足S△PAB=4,則滿足條件的點P的個數(shù)為(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
11.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圓C上存在兩點A,B,使|AB|=2,且AB的中點M在直線2x+y+m=0上,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.[-2,2]　　　　B.[-5,5]
C.(-,)　　　　D.[-,]
12.已知A為直線l:3x-4y+m=0上一點,點B(4,0),若|AB|2+|AO|2=16(O為坐標(biāo)原點),則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.[-4,16]　　　　B.[-16,4]
C.(-4,16)　　　　D.(-16,4)
13.已知圓C:x2+y2=3,從點A(-2,0)觀察點B(2,a),要使視線不被圓C擋住,則a的取值范圍是　　　　.
能力提升練
題組一　直線與圓的位置關(guān)系
1.已知圓x2+y2=1與直線ax+by+1=0(a,b為非零實數(shù))相切,則+的最小值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.10　　B.12　　C.13　　D.16
2.若過定點M(-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點,則k的取值范圍是(　　)
A.0C.03.當(dāng)曲線y=與直線kx-y+2k+4=0有兩個不同的交點時,實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.已知圓M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直線l:y=kx,則下列命題中不正確的是(　　)
A.對任意實數(shù)k和θ,直線l和圓M有公共點
B.對任意實數(shù)θ,必存在實數(shù)k,使得直線l與圓M相切
C.對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l與圓M相切
D.存在實數(shù)k與θ,使得圓M上有3個點到直線l的距離為
5.若圓C:x2+y2-2x+4y-13=0上到直線l:x+y+b=0的距離等于的點只有2個,則實數(shù)b的取值范圍為　　　　　　　　.
題組二　圓的切線與弦長問題
6.過點P(-1,0)作圓C:(x-1)2+(y-2)2=1的兩條切線,設(shè)兩切點分別為A,B,則過點A,B,C的圓的方程是(　　)
A.x2+(y-1)2=2　　　　B.x2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+y2=4　　　　D.(x-1)2+y2=1
7.直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,當(dāng)△AOB的面積最大時,k=　　　　.
8.已知直線y=2x+1與圓x2+y2+ax+2y+1=0交于A,B兩點,直線mx+y+2=0垂直平分弦AB,則m的值為　　　　　　,弦AB的長為　　　　　　.
題組三　直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
9.直線x+7y-5=0截圓x2+y2=1所得的兩段弧長之差的絕對值是(　　)
A.　　　　B.
C.π　　　　D.
10.已知點M(-1,0),N(1,0),若直線上存在點P,使得·=0,則稱該直線為“相關(guān)點直線”.給出下列直線:①y=x+3;②y=x;③y=2;④y=2x+1,其中為“相關(guān)點直線”的是(　　)
A.①③　　B.②④　　C.②③　　D.③④
11.(多選)已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則下列說法錯誤的是(　　)
A.y-x的最大值為-2　　　　
B.x2+y2的最大值為7+4
C.的最大值為　　　　
D.x+y的最大值為2+
12.點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA,PB分別與圓x2+y2=4相切于A,B兩點,則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點)的面積的最小值為(　　)
A.8　　　　B.4
C.24　　　　D.16
13.已知直線l:mx-y-2m+2=0(m∈R),圓C:x2+y2-2x-6y+8=0.
(1)若直線l與圓C相切,求切點的坐標(biāo);
(2)若直線l與圓C交于A,B兩點,且|OA|=|OB|,求△ABC的面積.
14.已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y-29=0相切.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線ax-y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(-2,4) 若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　圓心坐標(biāo)為(1,-1),半徑r=3,圓心到直線3x+4y+12=0的距離d==2.D　由x2+y2-2y-2m=0,得x2+(y-1)2=2m+1,∵直線l:x-y+2=0與圓C:x2+y2-2y-2m=0相離,
∴解得-3.答案　相切或相離
解析　圓心到直線l的距離d=,圓O的半徑r=,∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴d≥r,故直線l和圓O相切或相離.
4.答案　相交或相切
解析　易知直線l過定點(1,1),設(shè)為A.又∵點A在圓上,∴當(dāng)直線l的斜率存在時,l與圓相交,當(dāng)直線l的斜率不存在時,l與圓相切,∴直線l與圓相交或相切.
5.B　設(shè)圓x2+(y-1)2=5的圓心為C,則C(0,1),半徑r=.因為22+(2-1)2=5,所以點P(2,2)在圓C上,所以過點P的圓C的切線與直線PC垂直,又因為切線與直線ax-y+1=0垂直,所以a=kPC=.故選B.
6.C　直線x-y+1=0與x-y=0間的距離d==,設(shè)圓C的半徑為r,則r2=(r-d)2+,解得r=1.
7.答案　3x-4y+10=0或x=2
解析　因為22+42=20>4,所以點P在圓外.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0.
由題意知圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2.
因為圓心到切線的距離等于半徑,所以=2,解得k=,故直線l的方程為3x-4y+10=0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=2,也滿足條件.
故直線l的方程為3x-4y+10=0或x=2.
易錯警示
　　本題要注意到點P在圓外,因此所求切線有兩條,特別注意當(dāng)直線斜率不存在時的情況,不要漏解.
8.答案　(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9
解析　因為圓C與x軸相切,且圓心C在直線y=3x上,故設(shè)圓C的方程為(x-b)2+(y-3b)2=9b2.
又因為直線y=x被圓C截得的弦長為2,所以+()2=9b2,解得b=±1,故所求圓C的方程為(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
9.答案　-4
解析　由題意知曲線C是圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為2的圓,∴圓心到直線l的距離d=,
∴2=2=2,解得m=0或m=-4.∵直線l:x+y+m=0不經(jīng)過坐標(biāo)原點,∴m=-4.
10.D　圓C的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=25,故圓心為C(1,-2),半徑r=5,則圓心C到直線3x+4y-10=0的距離d==3,|AB|=2=8,設(shè)點P到直線AB的距離為h,則S△PAB=·|AB|·h=4,所以h=1,因為直線AB兩側(cè)圓上的點到直線AB的最大距離分別為8和2,所以滿足條件的點P的個數(shù)為4,故選D.
11.D　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,∴圓心C(-1,2),半徑r=2,∴圓心C到直線2x+y+m=0的距離d==,∵|AB|=2,且AB的中點M在直線2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤,故選D.
12.B　設(shè)A(x,y),由題意得(x-4)2+y2+x2+y2=16,即(x-2)2+y2=4,
又因為點A在直線l上,所以直線l與圓(x-2)2+y2=4有公共點,所以圓心到直線的距離d=≤2,解得-16≤m≤4,故選B.
13.答案　(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析　設(shè)過點A(-2,0)與圓C:x2+y2=3相切的直線為y=k(x+2),則圓心(0,0)到直線的距離為=,解得k=±,故切線方程為y=±(x+2),設(shè)兩條切線分別與直線x=2交于M,N(不妨令M在x軸上方).
當(dāng)點B位于點M上方或點N下方時,滿足題意.
將x=2代入y=(x+2),得y=4,故點M的坐標(biāo)為(2,4);
將x=2代入y=-(x+2),得y=-4,故點N的坐標(biāo)為(2,-4).
故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(4,+∞).
能力提升練
1.D　依題意得=1,所以a2+3b2=1,所以+=(a2+3b2)=10++≥10+6=16,當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=時等號成立,所以+的最小值為16.故選D.
2.A　圓的方程可化為(x+2)2+y2=32,
∴圓心坐標(biāo)為(-2,0),設(shè)為C,半徑r=3.
令x=0,得y=±,
如圖所示,設(shè)A(0,),則kMA==.
∵過點M(-1,0)的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點,∴03.C　對方程y=變形得y2=4-x2(y≥0),即x2+y2=4(y≥0),所以曲線y=表示圓x2+y2=4的上半圓;對直線方程變形得y=k(x+2)+4,該直線過定點(-2,4)(設(shè)為P),且斜率為k,如圖所示.當(dāng)直線kx-y+2k+4=0與半圓y=相切時,=2,解得k=-,當(dāng)直線kx-y+2k+4=0過點(2,0)時,4+4k=0,解得k=-1.由圖可知,當(dāng)曲線y=與直線kx-y+2k+4=0有兩個不同的交點時,k∈.故選C.
4.B　因為圓M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒過定點(0,0),直線l:y=kx也恒過定點(0,0),所以對任意實數(shù)k和θ,直線l和圓M有公共點,故A中命題正確;因為圓M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圓心M(cos θ,sin θ)到直線y=kx的距離d===|sin(θ-φ)|≤1(其中tan φ=k),所以對任意實數(shù)θ,直線l與圓M不一定相切,但是對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l與圓M相切,故B中命題錯誤,C中命題正確;當(dāng)d=時,r-d=,此時圓M上有3個點到直線l的距離為,因此存在實數(shù)k與θ,使得圓M上有3個點到直線l的距離為,故D中命題正確.故選B.
5.答案　(-7,-3)∪(5,9)
解析　圓C:x2+y2-2x+4y-13=0,即(x-1)2+(y+2)2=18,所以圓C的圓心為C(1,-2),半徑r=3,設(shè)圓心C(1,-2)到直線l:x+y+b=0的距離為d,由題意得26.A　由題易知P,A,B,C四點共圓,圓心為PC的中點(0,1),半徑為|PC|=×=,則過點A,B,C的圓的方程是x2+(y-1)2=2.
7.答案　±1
解析　易知圓心為O(0,0),半徑r=1,
直線l的方程y=kx+1可化為kx-y+1=0,
則圓心O(0,0)到直線l的距離d=,
∴|AB|=2=2,
∴S△AOB=×2×==,
又∵|k|+≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)|k|=,即k=±1時取等號,
∴S△AOB≤,∴當(dāng)△AOB的面積最大時,k=±1.
8.答案　;
解析　由題意可知,直線mx+y+2=0與直線y=2x+1垂直,所以2×(-m)=-1,可得m=,所以直線mx+y+2=0為x+y+2=0,即x+2y+4=0.因為方程x2+y2+ax+2y+1=0表示的曲線為圓,所以a2+22-4×1>0,解得a≠0.圓x2+y2+ax+2y+1=0的圓心坐標(biāo)為,易知圓心在直線x+2y+4=0上,所以-+2×(-1)+4=0,解得a=4,所以圓的方程為x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圓心坐標(biāo)為(-2,-1),半徑為2,所以圓心到直線2x-y+1=0的距離d==,所以|AB|=2=2=.
9.C　由題意得圓心到直線的距離d==.又∵圓的半徑r=1,∴直線x+7y-5=0被圓x2+y2=1截得的弦長為2=,∴直線截圓所得的劣弧所對的圓心角為90°,∴劣弧是整個圓周的,∴直線截圓所得的兩段弧長之差的絕對值為整個圓周長的一半,即×2πr=π.
10.B　由題意可知,點P的軌跡是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,其方程是x2+y2=1.
解法一:①把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,∴Δ=9-4×4=-7<0,∴直線與圓相離,
∴直線y=x+3不是“相關(guān)點直線”.
同理,通過聯(lián)立直線和圓的方程,可得直線②y=x,④y=2x+1與圓相交,直線③y=2與圓相離.所以②④符合題意.故選B.
解法二:①圓心(0,0)到直線y=x+3,即x-y+3=0的距離為=>1,∴直線與圓相離,∴直線y=x+3不是“相關(guān)點直線”.
同理,通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小,可得直線②y=x,④y=2x+1與圓相交,直線③y=2與圓相離.所以②④符合題意.
故選B.
解題關(guān)鍵
　　點P在直線上且·=0,說明點P也在圓x2+y2=1上,即直線與圓相交或相切,所以問題轉(zhuǎn)化為判斷直線與圓的位置關(guān)系.
11.CD　方程x2+y2-4x+1=0表示的曲線為圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=3.對于A,設(shè)z=y-x,則y=x+z,z表示直線y=x+z在y軸上的截距,當(dāng)直線與圓(x-2)2+y2=3有公共點時,≤,解得--2≤z≤-2,所以y-x的最大值為-2,故A中說法正確;對于B,x2+y2的幾何意義是圓上的點與原點間距離的平方,易知原點與圓心間的距離為2,則原點與圓上的點間的最大距離為2+,所以x2+y2的最大值為(2+)2=7+4,故B中說法正確;對于C,設(shè)=k,則y=kx,把y=kx代入圓的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,則Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-≤k≤,所以的最大值為,故C中說法錯誤;對于D,設(shè)m=x+y,則y=-x+m,m表示直線y=-x+m在y軸上的截距,當(dāng)直線與圓(x-2)2+y2=3有公共點時,≤,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值為+2,故D中說法錯誤.故選CD.
12.A　因為圓x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑r=2,所以圓心O(0,0)到直線2x+y+10=0的距離d==2>2,所以直線2x+y+10=0與圓x2+y2=4相離.因為點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA,PB分別與圓x2+y2=4相切于A,B兩點,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四邊形PAOB的面積S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×|PA|×r=2|PA|=2,為使四邊形PAOB的面積最小,只需|PO|最小,又因為|PO|min為圓心O(0,0)到直線2x+y+10=0的距離d,所以四邊形PAOB的面積的最小值為2=8.故選A.
13.解析　由x2+y2-2x-6y+8=0,得(x-1)2+(y-3)2=2,
可得圓心C的坐標(biāo)為(1,3),半徑r=.
(1)若直線l與圓C相切,則=,
∴m=1,∴直線l的方程為x-y=0,
聯(lián)立得
∴切點的坐標(biāo)為(2,2).
(2)∵A,B為直線與圓的交點,∴|CA|=|CB|,
取AB的中點D,連接CD,OD,則CD⊥AB,
又∵|OA|=|OB|,∴OD⊥AB,∴O,C,D三點共線.
又∵直線OC的斜率為3,∴直線AB的斜率為-,則m=-,∴直線l的方程為-x-y++2=0,即x+3y-8=0,∴圓心C(1,3)到直線l的距離為=.
在Rt△CAD中,|CA|=r=,|CD|=,
∴|AD|==,∴|AB|=.
∴S△ABC=××=.
14.解析　(1)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z),由于圓與直線4x+3y-29=0相切,且半徑為5,
所以=5,即|4m-29|=25.因為m為整數(shù),故m=1.
故所求圓的方程為(x-1)2+y2=25.
(2)把ax-y+5=0即y=ax+5代入圓的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+(10a-2)x+1=0.
直線ax-y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,故Δ=(10a-2)2-4(a2+1)>0,
即12a2-5a>0,由a>0,解得a>,所以實數(shù)a的取值范圍是.
(3)設(shè)存在符合條件的實數(shù)a,由于a≠0,則直線l的斜率為-,
所以l的方程為y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.
由于直線l垂直平分弦AB,故圓心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=.
因為∈,所以存在實數(shù)a=,使得弦AB的垂直平分線l過點P(-2,4).
92.6.2　圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　圓與圓的位置關(guān)系
1.圓C1:x2+y2+2x-2y+1=0與圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置關(guān)系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.外切　　B.內(nèi)切　　C.相交　　D.外離
2.已知集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,則r的取值范圍是(　　)
A.(0,-1)　　　　B.(0,1]
C.(0,2-]　　　　D.(0,2]
3.已知點M在圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,點N在圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,則|MN|的最大值是(　　)
A.5　　B.7　　C.9　　D.11
4.已知圓A:x2+y2-2x-4y-4=0,圓B:x2+y2+2x+2y-2=0,則兩圓的公切線的條數(shù)是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.已知圓C1:(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)與圓C2:x2+y2-2x-2y=0沒有公共點,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　　　.
6.求圓心在直線x+y=0上,且過兩圓x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.
題組二　圓與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
7.已知半徑為2的圓M與圓x2+y2=5外切于點P(1,2),則點M的坐標(biāo)為(　　)
A.(3,6)　　　　B.(-6,3)
C.(-3,-6)　　　　D.(6,3)
8.設(shè)兩圓C1,C2都與兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(4,1),則兩圓的圓心距|C1C2|為(　　)
A.4　　B.4　　C.8　　D.8
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知兩個圓C1:(x-a)2+(y-1)2=4,C2:(x-1)2+(y-a)2=2相交于A,B兩點,若|OA|=|OB|,則實數(shù)a的值為(　　 )
A.0　　　　B.1
C.2　　　　D.-1
10.已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:(x-4)2+y2=25,則兩圓公切線的方程為　　　　　　.
11.已知圓C1與y軸相切于點(0,3),圓心在經(jīng)過點(2,1)與點(-2,-3)的直線l上.
(1)求圓C1的方程;
(2)若圓C1與圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N兩點,求兩圓的公共弦長.
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　圓與圓的位置關(guān)系
1.已知Rt△PAB的直角頂點P在圓C:(x+)2+(y-1)2=1上,若點A(-t,0),B(t,0)(t>0),則t的取值范圍為(　　)
A.(0,2]　　　　B.[1,2]
C.[2,3]　　　　D.[1,3]
2.若點A(1,0)和點B(4,0)到直線l的距離分別為1,2,則這樣的直線有(　　)
A.1條　　　　B.2條
C.3條　　　　D.4條
3.以圓C1:x2+y2+4x+1=0與圓C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交的公共弦為直徑的圓的方程為(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.+=　　　　
D.+=
4.(多選)已知兩圓方程分別為x2+y2=16與(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),則下列說法正確的是(　　)
A.若兩圓外切,則r=1
B.若兩圓公共弦所在直線的方程為8x-6y-37=0,則r=2
C.若兩圓在交點處的切線互相垂直,則r=3
D.若兩圓有3條公切線,則r=2
5.已知圓O1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓O2:x2+y2-4x-4y-2=0.
(1)試判斷圓O1與圓O2的位置關(guān)系;
(2)在直線O1O2上是否存在不同于O1的一點A,使得對于圓O2上任意一點P都有為同一常數(shù) 若存在,請求出點A的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
題組二　圓與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
6.已知平面內(nèi)一點M(3,4),若圓C上存在點P,使|PM|=3,則稱該圓為點M(3,4)的“3價圓”.下列圓中不是點M(3,4)的“3價圓”的是(　　)
A.x2+y2=1　　　　B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4　　　　D.(x-4)2+(y-3)2=9
7.已知圓C:(x+1)2+(y-4)2=m(m>0)和兩點A(-2,0),B(1,0),若圓C上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則m的取值范圍是(　　)
A.[8,64]　　　　B.[9,64]
C.[8,49]　　　　D.[9,49]
8.已知M,N分別是圓C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的兩個動點,P為直線x+y+1=0上的一個動點,則|PM|+|PN|的最小值為(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.3
9.如圖,Q(0,-3)是圓Q的圓心,圓Q過坐標(biāo)原點O,點L,S均在x軸上,圓L與圓S的半徑都等于2,圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線l過點O.若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d,則d=　　　　.
10.已知圓O的圓心為坐標(biāo)原點,且與直線x+y+4=0相切,則圓O的方程為　　　　　　.若點P在直線x=8上,過點P引圓O的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,如圖所示,則直線AB恒過定點　　　　.
11.已知圓C與圓x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于直線2x-3y-1=0,若圓C過點(-2,3),(1,4),求圓C的方程.
12.已知圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(O為坐標(biāo)原點),且|BC|=2,求直線l的方程;
(3)設(shè)點T(t,0)滿足“圓M上存在兩點P,Q,使得+=”,求實數(shù)t的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　圓C1:x2+y2+2x-2y+1=0的圓心為C1(-1,1),半徑r1=1;圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圓心為C2(3,4),半徑r2=4.兩圓的圓心距|C1C2|=5=r1+r2,∴兩圓外切,故選A.
2.C　由M∩N=N得N M,∴圓(x-1)2+(y-1)2=r2內(nèi)切或內(nèi)含于圓x2+y2=4,∴2-r≥,∴03.C　由題意知圓C1的圓心為C1(-3,1),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(1,-2),半徑r2=2,所以兩圓的圓心距d==5>r1+r2=4,所以兩圓外離,從而|MN|的最大值為5+2+2=9.故選C.
4.B　圓A的方程x2+y2-2x-4y-4=0可化為(x-1)2+(y-2)2=9,可得其圓心為A(1,2),半徑R=3,
圓B的方程x2+y2+2x+2y-2=0可化為(x+1)2+(y+1)2=4,可得其圓心為B(-1,-1),半徑r=2,
則圓心距|AB|==,
又因為R+r=5,R-r=1,所以R-r<|AB|5.答案　04
解析　圓C1的圓心為C1(a,a),半徑r1=2,
圓C2的圓心為C2(1,1),半徑r2=,
圓心距|C1C2|==|a-1|,因為兩圓沒有公共點,所以兩圓外離或內(nèi)含,則|C1C2|>r1+r2或|C1C2|3或|a-1|<,又因為a>0,所以04.
6.解析　解法一:解方程組
得或
所以兩圓的交點坐標(biāo)分別為(0,2),(-4,0).
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a,-a),半徑為r,
則有==r,
解得a=-3,r=,
因此,所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.
解法二:同解法一,得兩圓的交點坐標(biāo)分別為(0,2),(-4,0),
設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
因此,所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.
解法三:設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,
因為這個圓的圓心在直線x+y=0上,
所以--=0,解得λ=-2,
因此,所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.
7.A　設(shè)點M的坐標(biāo)為(a,b),
圓x2+y2=5的圓心為(0,0),半徑為,
由圓M的半徑為2,且圓M與圓x2+y2=5外切于點P(1,2),
得所以
所以點M的坐標(biāo)為(3,6).故選A.
8.C　∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過點(4,1),
∴兩圓圓心均在第一象限且兩圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.
設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a)(a>0),(b,b)(b>0),
則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的兩個不相等的實數(shù)根,
∴a+b=10,ab=17,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|===8.
9.D　圓C1的圓心為C1(a,1),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(1,a),半徑r2=,易知AB的垂直平分線為直線C1C2,
又因為|OA|=|OB|,所以O(shè),C1,C2三點共線,所以=,所以a2=1,解得a=±1.
當(dāng)a=1時,兩圓圓心重合,兩圓為同心圓,不符合題意;當(dāng)a=-1時,C1(-1,1),C2(1,-1),∴|C1C2|==2,∴r1-r2<|C1C2|10.答案　x=-1
解析　圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑為1;
圓C2:(x-4)2+y2=25的圓心為C2(4,0),半徑為5.
易知兩圓內(nèi)切,切點為(-1,0),
又因為兩圓圓心都在x軸上,
所以兩圓公切線的方程為x=-1.
11.解析　(1)經(jīng)過點(2,1)與點(-2,-3)的直線l的方程為=,即y=x-1,
因為圓C1與y軸相切于點(0,3),
所以圓心在直線y=3上,
聯(lián)立解得可得圓心坐標(biāo)為(4,3),
故圓C1的半徑為4,
故圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為2x+3y-4=0,
圓C1的圓心到直線2x+3y-4=0的距離
d==,
所以兩圓的公共弦長為2=2.
能力提升練
1.D　由題意得P在以AB為直徑的圓M:x2+y2=t2上(去掉A,B兩點).又因為點P在圓C:+(y-1)2=1上,所以圓C與圓M有交點,
因為|CM|==2,所以|t-1|≤2≤|t+1|,所以1≤t≤3.故選D.
2.C　以點A為圓心,1為半徑的圓的方程為(x-1)2+y2=1,以點B為圓心,2為半徑的圓的方程為(x-4)2+y2=4,
∵|AB|=3=1+2,∴圓A與圓B外切,
∴兩圓的公切線有3條,即滿足題意的直線有3條,故選C.
3.B　兩圓的方程相減可得公共弦方程為2x-2y=0,即x-y=0,∵圓C1:x2+y2+4x+1=0的圓心C1的坐標(biāo)為(-2,0),半徑為,圓C2:x2+y2+2x+2y+1=0的圓心C2的坐標(biāo)為(-1,-1),半徑為1,∴直線C1C2的方程為x+y+2=0,∴聯(lián)立解得可得以公共弦為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(-1,-1).∵(-2,0)到公共弦的距離d==,∴以公共弦為直徑的圓的半徑r==1,∴以公共弦為直徑的圓的方程為(x+1)2+(y+1)2=1,故選B.
4.ABC　兩圓圓心分別為(0,0),(4,-3),半徑分別為4,r,所以圓心距為5.
若兩圓外切,則4+r=5,解得r=1,此時兩圓有3條公切線,故A正確,D錯誤;
當(dāng)兩圓相交時,兩圓公共弦所在直線的方程為8x-6y-41+r2=0,若-41+r2=-37,則r=2(負(fù)值舍去),故B正確;
若兩圓在交點處的切線互相垂直,則一個圓在此處的切線必過另一個圓的圓心,所以兩圓的圓心的連線及該交點與兩圓圓心的連線組成一個直角三角形,故52=42+r2,解得r=3(負(fù)值舍去),故C正確.故選ABC.
5.解析　(1)解法一:由x2+y2+2x+8y-8=0得(x+1)2+(y+4)2=25,則圓O1的圓心為O1(-1,-4),半徑r1=5;
由x2+y2-4x-4y-2=0得(x-2)2+(y-2)2=10,則圓O2的圓心為O2(2,2),半徑r2=,
所以兩圓的圓心距|O1O2|==3,又因為5-<3<5+,所以兩圓相交.
解法二:由
得或所以兩圓相交.
(2)存在.易得直線O1O2的方程為y=2x-2,設(shè)A(a,2a-2)(a≠-1),P(x,y),結(jié)合題意,設(shè)==λ(λ>0,λ≠1),化簡得x2+y2+x+y+=0,
顯然上式與圓O2的方程為同一方程,
所以所以
故點A的坐標(biāo)為.
6.A　因為|PM|=3,所以點P在以M為圓心、3為半徑的圓上,又因為P為圓C上一點,所以P為圓M與圓C的公共點.問題轉(zhuǎn)化為判斷圓M與圓C的位置關(guān)系.x2+y2=1表示以(0,0)為圓心、1為半徑的圓,該圓與圓M的圓心距d==5>3+1=4,所以兩圓相離,所以x2+y2=1表示的圓不是點M(3,4)的“3價圓”.
同理可判斷圓M與選項B、C、D中的圓都相交.
故選項B、C、D中的圓均是點M(3,4)的“3價圓”.
故選A.
7.D　設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),因為|PA|=2|PB|,A(-2,0),B(1,0),所以=2,
化簡得(x-2)2+y2=4,又因為點P在圓C:(x+1)2+(y-4)2=m(m>0)上,所以|-2|≤≤+2且m>0,解得9≤m≤49,故選D.
8.D　圓C1的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=1,圓心C1(2,2),半徑r1=1,
圓C2的方程可化為(x-1)2+y2=1,圓心C2(1,0),半徑r2=1.
設(shè)圓C2關(guān)于直線x+y+1=0對稱的圓為C'2,其圓心C'2(a,b).
依題意得解得
∴C'2(-1,-2).∴|C1C'2|==5,
∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-1-1=3,故選D.
9.答案　
解析　由題意知圓L與圓S關(guān)于原點對稱,設(shè)S(a,0)(a>0),則=2+3,∴a=4,
∴S(4,0),L(-4,0).
設(shè)直線l的方程為y=kx(k≠0),則圓心S,L,Q到該直線的距離分別為d1=,d2=,d3=,則d2=4(4-)=4(4-)=4(9-),
即4-=4-=9-,
解得k2=,
則d2=4×=,即d=.
10.答案　x2+y2=16;(2,0)
解析　根據(jù)題意得圓心(0,0)到直線x+y+4=0的距離d等于半徑r,∴r=d==4,∴圓O的方程為x2+y2=16.連接OA,OB,∵PA,PB是圓O的兩條切線,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴A,B在以O(shè)P的中點為圓心、|OP|為直徑的圓上.設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,b),b∈R,則線段OP的中點坐標(biāo)為,
∴以|OP|為直徑的圓的方程為(x-4)2+=42+,化簡得x2+y2-8x-by=0,∵AB為圓x2+y2=16和x2+y2-8x-by=0的公共弦,∴直線AB的方程為8x+by=16,即8(x-2)+by=0,由得∴直線AB恒過定點(2,0).
11.解析　由題意可得公共弦所在直線的斜率為,所以兩圓圓心所在直線的斜率為-.又因為圓x2+y2-7y+10=0的圓心坐標(biāo)為,故兩圓圓心所在直線的方程為y-=-x,即3x+2y-7=0.
設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
所以圓C的方程為x2+y2+2x-10y+21=0.
12.解析　(1)圓M的方程可化為(x-6)2+(y-7)2=25,
∴圓M的圓心為M(6,7),半徑為5,
由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0),
∵圓N與x軸相切,與圓M外切,
∴圓N的半徑為y0,且7-y0=5+y0,解得y0=1,
∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直線l平行于OA,∴直線l的斜率為=2,
設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,
則圓心M到直線l的距離d==,
∵|BC|=2,且|MC|2=d2+,
∴25=+5,解得m=5或m=-15,
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵A(2,4),T(t,0),+=,
∴①
∵點Q在圓M上,∴(x2-6)2+(y2-7)2=25,②
將①代入②得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,
于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓(x-t-4)2+(y-3)2=25上,
∴圓M與圓(x-t-4)2+(y-3)2=25有公共點,
∴5-5≤≤5+5,
解得2-2≤t≤2+2,
∴實數(shù)t的取值范圍為[2-2,2+2].
14(共33張PPT)
　設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0),則圓心C(a,b)
到直線l的距離d= ,由 消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)
的一元二次方程,其判別式為Δ.
位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點個數(shù) 2 1 0
幾何法 dr
代數(shù)法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
2.6　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1 | 直線與圓的位置關(guān)系
1.代數(shù)法:聯(lián)立方程后,得出方程組解的個數(shù)為0,1,2時,分別對應(yīng)圓與圓內(nèi)含或外
離、內(nèi)切或外切、相交,不僅計算復(fù)雜且情況也復(fù)雜,因此一般利用幾何法進行
分析判斷.
2.幾何法:通過方程得出兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓心之間的距離d,按下表
中的標(biāo)準(zhǔn)進行判斷.
位置 關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
d與 r1,r2 的關(guān)系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|2 | 圓與圓的位置關(guān)系
1.如果直線的方程與圓的方程組成的方程組有解,則直線和圓的位置關(guān)系有哪
些
相交或相切.
2.若直線與圓相交,則相交弦的垂直平分線與圓心什么關(guān)系
過圓心.
3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線方程與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元
二次方程是否有解
無解.
4.經(jīng)過圓內(nèi)一點(非圓心)的最長弦與最短弦所在直線位置關(guān)系如何
垂直.經(jīng)過圓內(nèi)一點(非圓心)的最長弦即為經(jīng)過該點的直徑,最短弦和該條直徑垂
直.
知識辨析
5.若兩條直線被同一個圓截得的弦長相等,則這兩條直線一定平行嗎
不一定.也可能相交.
6.若兩個圓沒有公切線,則它們的位置關(guān)系如何
內(nèi)含.
7.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓的位置關(guān)系是什么
外切或內(nèi)切.
8.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則這兩圓一定相交嗎
不一定.
9.若兩圓有公共點,則兩圓的圓心距d和兩圓的半徑r1,r2需滿足什么條件
|r1-r2|≤d≤r1+r2.

　　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷主要有幾何法和代數(shù)法兩種方法.幾何
法側(cè)重圖形的幾何性質(zhì),較代數(shù)法步驟簡捷,所以一般選用幾何法.
1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷
典例1　已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當(dāng)k分別為何值時,直線與圓:(1)相交;(2)相
切;(3)相離.
解析 解法一(代數(shù)法):聯(lián)立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
(1)當(dāng)直線與圓相交時,Δ>0,即- (2)當(dāng)直線與圓相切時,Δ=0,即k=± ;
(3)當(dāng)直線與圓相離時,Δ<0,即k<- 或k> .
解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d= = .
由題意知,圓的半徑r=1.
(1)當(dāng)直線與圓相交時,d解得- (2)當(dāng)直線與圓相切時,d=r,即 =1,解得k=± ;
(3)當(dāng)直線與圓相離時,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
典例2　已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.
(1)當(dāng)圓C1與圓C2外切時,求m的值;
(2)當(dāng)圓C1與圓C2內(nèi)含時,求m的取值范圍.
思路點撥　計算兩圓的圓心距,與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和比較,列
出方程或不等式,求出參數(shù)的值或取值范圍.
解析 易得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圓心C1(m,-2),半徑r1=3;圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圓心
C2(-1,m),半徑r2=2.
(1)若圓C1與圓C2外切,則|C1C2|=r1+r2,即 =3+2,整理得m2+3m-10=
0,解得m=2或m=-5.
(2)若圓C1與圓C2內(nèi)含,則|C1C2|<|r1-r2|,即 <|3-2|,整理得m2+3m+2<
0,解得-21.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
(1)當(dāng)點P在圓上時,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜
率為- ;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.
(2)當(dāng)點P在圓外時,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半
徑r,解出k即可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).
2.切線長的求法
　　過圓外一點P可作圓的兩條切線,我們把點P與切點之間的線段的長稱為切
線長.切線長可由勾股定理來計算.如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0)的切線,則切線長為 .
2 與圓有關(guān)的切線問題

3.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論
(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;
(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)·(x0-a)+(y-b)
(y0-b)=r2;
(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y
0y+D· +E· +F=0.
典例 (1)已知圓的方程為x2+y2=13,它與斜率為- 的直線相切,則該切線方程為
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0　;
(2)過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,其切線長為　 4　 .
解析 (1)解法一:設(shè)所求切線方程為y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因為圓x2+y2=13與直線2x+3y-3b=0相切,所以圓心(0,0)到直線2x+3y-3b=0的距離d
= = ,解得b=± .
所以所求圓的切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
解法二:設(shè)所求切線方程為y=- x+b.
聯(lián)立
消去y,整理得 x2- x+b2-13=0,
令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求圓的切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)由題意知圓心C的坐標(biāo)為(3,1),半徑為1.
設(shè)切點為B,則△ABC為直角三角形,
易得|AC|= = ,|BC|=1,
所以|AB|= = =4,
所以切線長為4.
1.直線與圓相交時的弦長求法
幾何法 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的
關(guān)系r2=d2+ 解題
代數(shù)法 若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出,求出交點坐標(biāo)后,
直接用兩點間的距離公式計算弦長
弦長 公式法 設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),
將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)
的關(guān)系得弦長
l= |x1-x2|
= ·
3 直線與圓相交的弦長及圓的中點弦問題
(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標(biāo);
(2)設(shè)出弦的兩個端點的坐標(biāo),代入圓的方程,利用作差法求出斜率,此法即為點差
法;
(3)利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直.
2.解決與中點弦有關(guān)的問題,有下列三種常見方法
典例1　已知圓x2+y2-4x+6y-12=0內(nèi)一點A(4,-2),求以A為中點的弦所在直線的方
程.
思路點撥　思路一:根據(jù)斜率是否存在分類討論,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的
關(guān)系列方程求解.
思路二:根據(jù)中點坐標(biāo)公式,采用“設(shè)而不求,整體代換”的策略求解.
思路三:利用圓的幾何性質(zhì),即弦的中點與圓心的連線和弦所在的直線垂直求解.
解析 解法一:當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線的斜率為k,則過點A的直線方程為y+2=k(x-
4),代入圓的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
因為1+k2≠0,Δ>0,所以可設(shè)兩個交點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
則x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以所求直線的方程為2x+y-6=0.
當(dāng)斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.
綜上,所求直線的方程為2x+y-6=0.
解法二:易知直線斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.
設(shè)兩個交點的坐標(biāo)分別為B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,則x1+x2=8,y1+y2=-4,直線AB的斜率
k= .
把B,C兩點的坐標(biāo)代入圓的方程,
得
①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2) -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所
求直線的方程為2x+y-6=0.
解法三:當(dāng)斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.
設(shè)圓心為M,所求直線的斜率為k.
因為圓心M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2,所以所求直線的方程為2x+y-6=0.
典例2　已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直線l'過點A(2,3)且被圓C截得的弦長為2 ,求直線l'的方程;
(2)若直線l過點B(1,0)且與圓C相交于P,Q兩點,求△CPQ的面積的最大值,并求出
此時直線l的方程.
解析 圓C的圓心坐標(biāo)為(3,4),半徑R=2.
(1)∵直線l'被圓C截得的弦長為2 ,
∴由勾股定理得圓心C到直線l'的距離為1.
①當(dāng)直線l'的斜率不存在時,l':x=2,顯然滿足;
②當(dāng)直線l'的斜率存在時,設(shè)l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
由圓心C到直線l'的距離為1,得 =1,解得k=0,故直線l'的方程為y=3.
綜上所述,直線l'的方程為x=2或y=3.
(2)∵直線與圓相交,∴l(xiāng)的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
即kx-y-k=0,
則圓心C到直線l的距離d= ,
∴△CPQ的面積S= ×d×2 =d = = ,
當(dāng)d= 時,S取最大值,為2.
由d= = ,得k=1或k=7,
∴直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.
利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法
(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析
幾何的有關(guān)知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:
①關(guān)于x,y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;
②關(guān)于x,y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;
③關(guān)于x,y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離.
(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.
(3)利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè) (θ為參
數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最大(小)值.
4 與圓有關(guān)的最值問題
典例　已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 (1)令4x-3y=m,則 可以看作直線在x軸上的截距,要使m最大(或最小),只需
直線在x軸上的截距最大(或最小).由圖1知,當(dāng)直線4x-3y=m與圓x2+y2=4相切時,m
分別取得最大值和最小值.
由圓心(0,0)到4x-3y-m=0的距離等于圓的半徑,得 =2,所以|m|=10,解
得m=±10.故mmax=10,mmin=-10,
即4x-3y的最大值為10,最小值為-10.

圖1
(2)令 =k,則k表示圓x2+y2=4上一點(x,y)與點(-2 ,-2)的連線的斜率.
由圖2知,當(dāng)直線y+2=k(x+2 )與圓x2+y2=4相切時,k分別取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= .
故kmax= ,kmin=0,
即 的最大值為 ,最小值為0.

圖2
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則 表示圓上一點(x,y)與點(4,-3)的距離.如圖3,由點(4,-3)到
圓心(0,0)的距離為5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+
(y+3)2的最大值為49,最小值為9.

圖3
1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法
　　設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -
4F2>0).
　　聯(lián)立
　　①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
　　設(shè)兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,
因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.
　　當(dāng)兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共
弦所在直線的方程.
　　當(dāng)兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線
5 兩圓的公共弦問題
方程.
　　當(dāng)兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.
　　若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂
直平分線的方程.
2.兩圓公共弦長的求法
(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點的坐標(biāo),再利用兩點間的距離公式求出弦長.
(2)幾何法:①將兩圓的方程作差,求出公共弦所在的直線方程;②求出其中一個圓
的圓心到公共弦的距離;③利用勾股定理求出公共弦長.
3.求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程的方法
　　一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓的方
程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他條件
求出λ即得圓的方程.
典例　求圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的
方程及公共弦長.
解析 聯(lián)立
兩式相減并化簡,得x-2y+4=0,即兩圓的公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0.
解法一:設(shè)兩圓相交于A,B兩點,則A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組

解得 或
所以|AB|= =2 ,
即公共弦長為2 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圓心坐標(biāo)為(1,-5),半徑為5 ,
則圓心到直線x-2y+4=0的距離為 =3 .
設(shè)公共弦長為2l(l>0),
則50=(3 )2+l2,
所以l= ,
故公共弦長為2l=2 .
易錯警示 只有在兩圓相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圓C1:x2
+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公
共弦所在直線的方程.

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