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2.7　用坐標方法解決幾何問題
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組　用坐標方法解決幾何問題
1.已知圓x2+y2=1,點A(1,0),△ABC內接于圓,且∠BAC=60°,當B,C在圓上運動時,BC的中點D的軌跡方程是(　　)
A.x2+y2=　　　　
B.x2+y2=
C.x2+y2=　　　　
D.x2+y2=
2.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,點P為Rt△ABO內切圓上任一點,則點P到頂點A,B,O的距離的平方和的最小值為(　　)
A.68　　　　B.70
C.72　　　　D.74
3.有一座圓拱橋,初始時拱橋頂部離水面2 m,水面寬12 m,若水面下降1 m,則水面的寬為　　　　m.
4.已知圓O:x2+y2=4及點P(-1,0),若點Q在圓O上運動一周,PQ的中點M形成軌跡C,則軌跡C的方程為　　　　　　　　.
5.過圓外一點P作圓O:x2+y2=1的兩條切線PM,PN(M,N為切點),若∠MPN=90°,則動點P的軌跡方程是　　　　　　　.
6.已知圓x2+y2=8內一點P(2,-1),AB為過點P的弦,則AB的中點Q的軌跡方程為　　　　　　　　.
7.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的一條弦,且AB⊥CD,E為垂足.利用坐標法證明E是CD的中點.
8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,P為三角形內一點,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求證:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
答案與分層梯度式解析
1.D　如圖所示,因為∠BAC=60°,且圓周角等于圓心角的一半,所以∠BOC=120°,又因為D為BC的中點,|OB|=|OC|,所以∠BOD=60°,在Rt△BOD中,有|OD|=|OB|=,故BC的中點D的軌跡方程是x2+y2=,
繞點A順時針或逆時針旋轉∠BAC,當點B或點C與點A重合時,x=,由∠BAC的極限位置可得,x<.
2.C　設△ABO的內切圓圓心為O',切點分別為D,E,F,則|AD|=|AF|,|BD|=|BE|,|OE|=|OF|,易得|AB|=10,所以內切圓半徑r=EO=(6+8-10)=2.
建立如圖所示的坐標系,則內切圓方程為(x-2)2+(y-2)2=4,設圓上動點P的坐標為(x,y),則|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.因為點P在內切圓上,所以0≤x≤4,所以(|PA|2+|PB|2+|PO|2)min=88-16=72,故選C.
3.答案　2
解析　如圖,建立平面直角坐標系:
設初始水面在AB處,則由已知得A(6,-2),設圓C的半徑為r(r>0),則C(0,-r),故圓C的方程為x2+(y+r)2=r2,將(6,-2)代入,得r=10,所以圓C的方程為x2+(y+10)2=100.①
當水面下降1 m到A'B'時,設A'(x0,-3)(x0>0).將(x0,-3)代入①式,得x0=,所以當水面下降1 m時,水面的寬為2 m.
4.答案　+y2=1
解析　設M(x,y),則Q(2x+1,2y),
因為點Q在圓x2+y2=4上,
所以(2x+1)2+4y2=4,即+y2=1,
所以軌跡C的方程是+y2=1.
5.答案　x2+y2=2
解析　設點P(x,y),則|PO|=,
∵∠MPN=90°,|OM|=|ON|,
∴四邊形OMPN為正方形,∴|PO|=|OM|=,
∴=,即x2+y2=2.
故動點P的軌跡方程為x2+y2=2.
6.答案　x2+y2+y-2x=0
解析　設Q(x,y),當x=2時,易得Q(2,0);當x≠2時,弦AB所在直線的斜率k=,又因為OQ⊥AB,所以kOQ·k=-1,即·=-1,整理得x2+y2+y-2x=0(x≠2),因為(2,0)滿足該方程,所以點Q的軌跡方程為x2+y2+y-2x=0.
7.證明　如圖所示,以O為坐標原點,直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.
設☉O的半徑為r(r>0),|OE|=m,則☉O的方程為
x2+y2=r2,設C(m,b1),D(m,b2).
則有m2+=r2,m2+=r2,
即b1,b2是關于b的方程m2+b2=r2的兩個不等實根,解方程得b=±,
則CD的中點坐標為,即(m,0).故E(m,0)是CD的中點,即E是CD的中點.
8.證明　如圖所示,以C為坐標原點,CA所在的直線為x軸,CB所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則C(0,0),設A(3a,0),B(0,3b),P(x,y),a>0,b>0,x>0,y>0.
因為S△PCA=S△PBC=S△PAB,
所以S△PCA=S△ABC,S△PBC=S△ABC,
即×3a×y=××3a×3b,×3b×x=××3a×3b,所以x=a,y=b.
所以符合條件的點P的坐標為(a,b).
此時,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,
|PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,
所以|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2.
3(共12張PPT)
1.用坐標法解決平面幾何問題的三個步驟
　　第一步:建立適當的平面直角坐標系,用坐標和方程表示問題中的幾何元素,
將平面幾何問題轉化為代數問題.
　　第二步:實施代數運算,求解代數問題.
　　第三步:把代數解轉化為幾何結論.
2.建立平面直角坐標系應堅持的原則
(1)若有兩條相互垂直的直線,一般以它們分別為x軸和y軸.
(2)充分利用圖形的對稱性.
2.7 用坐標方法解決幾何問題
利用坐標法解決幾何問題的基本過程
(3)讓盡可能多的點落在坐標軸上,或關于坐標軸對稱.
(4)關鍵點的坐標易于求得.
求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:根據已知條件,直譯為關于動點間的幾何關系,再利用解析幾何有關公
式(兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等)進行整理、化簡,即把這種關系
“翻譯”成含x,y的等式.
(2)定義法:若動點軌跡滿足已知曲線的定義,可先設方程,再確定其中的基本量,求
出動點的軌跡方程.
(3)相關點法:有些問題中,動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動
求解與圓有關的軌跡問題
點(稱之為相關點)而運動的,如果相關點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,
這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標,根據相關點所滿足的方程即可求得動
點的軌跡方程.
典例　已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角頂點C的軌跡方程;
(2)直角邊BC中點M的軌跡方程.
解析 (1)解法一:設C(x,y),由題意可知AC⊥BC,且A,B,C三點不共線,所以AC,BC
所在直線的斜率存在,且y≠0,
又kAC= ,kBC= ,
所以 · =-1(y≠0),化簡得x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).
因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).
解法二:設C(x,y),由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化簡得x2
+y2-2x-3=0,
又A,B,C三點不共線,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.
因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).
解法三:設AB的中點為D,由中點坐標公式得D(1,0).
由直角三角形的性質知,|CD|= |AB|=2.
由圓的定義知,動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共
線,所以應除去與x軸的交點).
設C(x,y),則直角頂點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).
(2)設點M(x,y),點C(x0,y0),
因為B(3,0),M是線段BC的中點,
所以由中點坐標公式得x= ,y= ,于是有x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知點C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上,
將C(x0,y0)代入該方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).
因此,動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).

　通過直線與圓的方程和位置關系在實際問題中的應用培養數學運
算和數學建模的核心素養
　　通過建立平面直角坐標系寫出直線和圓的方程,將實際問題轉化為坐標運
算,體現了數學建模的核心素養.通過代數式的變形研究不等式或最值問題,體現
了數學運算的核心素養.
素養解讀
例題　如圖1,某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為2 m的圓柱形花柱,四周
斑馬線的內側連線構成邊長為20 m的正方形.因工程需要,測量員將使用儀器沿
斑馬線的內側進行測量,其中儀器P的移動速度為1.5 m/s,儀器Q的移動速度為1 m
/s.若儀器P與儀器Q的對視光線被花柱阻擋,則稱儀器Q在儀器P的“盲區”中.

(1)如圖2,斑馬線的內側連線構成正方形ABCD,儀器P在點A處,儀器Q在BC上且距
離點C 4 m處,試判斷儀器Q是否在儀器P的“盲區”中,并說明理由;
(2)如圖3,斑馬線的內側連線構成正方形ABCD,儀器P從點A出發向點D移動,同時
典例呈現
儀器Q從點C出發向點B移動,在這個移動過程中,儀器Q在儀器P的“盲區”中的
時長為多少

信息提取 儀器Q在儀器P的“盲區”中要滿足P,Q的連線與圓有公共點,即相交或相切.
解題思路 (1)儀器Q在儀器P的“盲區”中,理由如下:
建立平面直角坐標系,求得點P,Q的坐標,進而求出直線PQ的方程.
建立如圖1所示的平面直角坐標系,則Q(10,6),P(-10,-10),所以kPQ= ,所以直線PQ
的方程為4x-5y-10=0.
通過判斷直線PQ與圓的位置關系即可得出結論.
圓心O到直線PQ的距離d= = <2,所以圓O與直線PQ相交,故儀器Q在儀
器P的“盲區”中.

(2)建立如圖2所示的平面直角坐標系,
則A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10).
依題意知起始時刻儀器Q在儀器P的“盲區”中.
假設儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為t s,用t表示P,Q的坐標,并求出PQ的方
程.
假設儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為t(t≥0)s,則P ,Q(10,10-t),
所以kPQ= = = ,
利用圓心O到直線PQ的距離d≤2可得關于t的不等式,求出t的取值范圍即可得解.
故直線PQ的方程是y-(10-t)= (x-10),即(t-8)x+8y-2t=0,
從而圓心O到直線PQ的距離d= = ≤2,
整理得t2≤t2-16t+128,解得t≤8,
又因為t≥0,所以0≤t≤8.
故儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為8 s.
解決直線與圓的實際應用題的步驟
(1)審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.
(2)建系:建立適當的平面直角坐標系,用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直線與圓的有關知識求出未知.
(4)還原:將運算結果還原到實際問題中去.
思維升華

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