資源簡介

本章復習提升
易混易錯練　　　　　　　　　　　　　　　
易錯點1　弄不清直線的斜率與傾斜角間的關系
1.已知直線l過點P(1,0)且與以A(2,1),B(4,-3)為端點的線段AB有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍為　　　　.
易錯點2　忽略直線與圓的方程中的隱含條件
導致計算錯誤
2.兩條直線3x-2y-1=0與6x-4y+1=0間的距離是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.若圓C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0過坐標原點,則實數m的值為 (　　)
A.2或1　　B.-2或-1　　C.2　　D.1
4.已知圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0關于直線y=x對稱,則k的值為(　　)
A.1　　B.-1　　C.-1或1　　D.0
5.已知兩直線l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若l1∥l2,求實數m的值.
易錯點3　應用直線與圓的方程時考慮不全面而致錯
6.已知直線l過點(1,2),且其在縱坐標軸上的截距為其在橫坐標軸上的截距的兩倍,則直線l的方程為(　　)
A.2x-y=0　　　　
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0　　　　
D.2x-y=0或2x+y-4=0
7.已知半徑為1的動圓與圓(x-5)2+(y+7)2=16相切,則動圓圓心的軌跡方程是(　　)
A.(x-5)2+(y-7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y-7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
8.已知直線l過兩直線3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交點,且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.
9.已知圓C:x2+y2-4x+3=0.
(1)求過點M(3,2)的圓C的切線方程;
(2)直線l過點N且被圓C截得的弦長為m,求m的取值范圍;
(3)已知圓E的圓心在x軸上,與圓C相交所得的弦長為,且與圓x2+y2=16內切,求圓E的標準方程.
思想方法練
一、函數與方程思想在直線與圓中的應用
1.若圓上的點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點A'仍在圓上,且直線x-y+1=0被圓所截得的弦長為2,求圓的方程.
2.已知圓M:x2+(y-6)2=16,點P是直線l:x-2y=0上的一個動點,過點P作圓M的切線PA,PB,切點分別為A,B.
(1)當切線長|PA|=4時,求線段PM的長度;
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當點P在直線l上運動時,圓N是否過定點 若過,求出所有定點的坐標,若不過,請說明理由;
(3)求線段AB長度的最小值.
二、分類討論思想在直線與圓中的應用
3.已知圓(x+1)2+(y-a)2=1與圓(x-2)2+(y-4)2=16相切,則實數a的取值個數為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.過點P(-1,6)且與圓(x+3)2+(y-2)2=4相切的直線的方程是　　　　　　　　.
三、轉化與化歸思想在直線與圓中的應用
5.若圓M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3個點到直線l:y-1=k(x-3)的距離為,則k的取值范圍是(　　)
A.[-,0)∪(0,]　　　　
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)　　　　
D.(-∞,-)∪(,+∞)
6.已知圓C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三條公切線,則的最小值為(　　)
A.2　　　　B.1+
C.2-　　　　D.4
四、數形結合思想在直線與圓中的應用
7.已知圓C1:x2+y2=2,圓C2:+y2=4.若過點(0,-2)的直線l與圓C1、C2都有公共點,則直線l斜率的取值范圍是(　　)
A.[-1,]　　　　B.[0,]
C.[-1,0]∪[1,]　　　　D.[1,]
8.已知點P為直線y=x+1上的一點,M,N分別為圓C1:(x-4)2+(y-1)2=4與圓C2:x2+(y-4)2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值為(　　)
A.5　　　　B.6
C.2　　　　D.1
9.已知點P,Q分別在直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,點A(-3,-3),B,則|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為　　　　.
答案與分層梯度式解析
易混易錯練
1.答案　∪
解析　如圖所示.
設直線l過A點時斜率為k1,直線l過B點時斜率為k2,
則k1==1,k2==-1,
所以要使直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為[-1,1],
所以直線l的傾斜角的取值范圍為∪.
易錯警示
　　求直線的斜率或傾斜角的取值范圍時,要注意三點:一是起、止直線的確定,從起始直線到終止直線要按逆時針方向旋轉;二是當有斜率不存在的直線也符合題意時,斜率的范圍將分成兩個區間;三是有傾斜角為0的直線也符合題意時,傾斜角的范圍將分成兩個部分.
2.B　因為3×(-4)-(-2)×6=0,所以直線 3x-2y-1=0與直線 6x-4y+1=0平行,直線 3x-2y-1=0的方程可化為 6x-4y-2=0,故兩直線間的距離是 =,故選B.
易錯警示
　　運用公式求兩平行線之間的距離時,要將一次項系數化相等.
3.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圓,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又∵圓C過坐標原點,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
4.B　圓的方程可化為(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依題意得所以k=-1,故選B.
易錯警示
　　關于圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0的問題,解題時應牢記D2+E2-4F>0.
5.解析　依題意得,1×3m-m2×(m-2)=0,且1×2m-6×(m-2)≠0,化簡,得m(m2-2m-3)=0,且m≠3,所以m=0或m=-1.
故實數m的值為0或-1.
易錯警示
　　解決與直線的一般式方程相關的問題時,一要注意不能默認斜率存在,二要注意排除直線重合的情況.
6.D　①當直線過原點時,由直線經過點(1,2),知所求直線方程為y=2x,即2x-y=0;
②當直線不過原點時,設直線l的方程為+=1,代入(1,2)得+=1,解得a=2,此時直線l的方程為+=1,即2x+y-4=0.
故直線l的方程為2x-y=0或2x+y-4=0.故選D.
易錯警示
　　在利用截距的關系求直線的方程時,要注意截距為0的情況.
7.D　設動圓圓心為(x,y),若動圓與已知圓外切,則=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25;
若動圓與已知圓內切,則=4-1,
∴(x-5)2+(y+7)2=9.
易錯警示
　　兩圓相切包括內切和外切,在不明確具體的相切方式時要分兩種情況討論.
8.解析　解方程組得
即交點坐標為(-1,2).
①當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由題意得=,解得k=-,
所以直線l的方程為y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
②當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,符合題意.
綜上,所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.
9.解析　(1)圓C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圓心為C(2,0),半徑為1.
若切線的斜率不存在,則切線方程為x=3,符合題意.
若切線的斜率存在,設切線斜率為k,則切線方程為 y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,
由圓心到切線的距離等于半徑,得=1,解得k=,此時,切線方程為3x-4y-1=0.
綜上可得,所求切線方程為x=3或3x-4y-1=0.
(2)當直線l⊥CN時,弦長m最短,易知|CN|=,
所以m=2=;
當直線l經過圓心時,弦長m最長,為2.
所以m∈[,2].
(3)設圓E:(x-a)2+y2=r2(r>0),其與圓C相交于A,B兩點(不妨設點A在第一象限),∵|AB|=,∴A,B兩點的縱坐標分別為,-,將y2=代入圓C的方程,得x=或x=,
∴或在圓E上.
∵圓E內切于圓x2+y2=16,
∴圓E經過點(4,0)或(-4,0),
若圓E經過點和(4,0),則其標準方程為+y2=;
若圓E經過點和(4,0),則其標準方程為(x-3)2+y2=1;
若圓E經過點和(-4,0),則其標準方程為+y2=;
若圓E經過點和(-4,0),則其標準方程為+y2=.
思想方法練
1.解析　設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
利用待定系數法求解圓的方程,體現了方程思想.
則圓心為(a,b),半徑為r.
∵點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點A'仍在這個圓上,∴圓心(a,b)在直線x+2y=0上,
∴a+2b=0,①
且(2-a)2+(3-b)2=r2.②
設圓心到直線x-y+1=0的距離為d,
∵直線x-y+1=0被圓所截得的弦長為2,
∴r2-d2=r2-=()2.③
由①②③,解得或
∴所求圓的方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
2.解析　(1)由題意知,圓M的半徑r=|AM|=4,圓心M(0,6),
∵直線PA是圓M的一條切線,∴∠MAP=90°,
∴|PM|==8.
(2)圓N過定點.
設P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴經過A,P,M三點的圓N以MP為直徑,
∴其圓心為N,半徑為=,
∴圓N的方程為(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
根據二元二次方程的特點,分別令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,聯立求解可得圓恒過的定點坐標.
令解得或
∴圓N過定點(0,6)和.
(3)由(2)知,圓N的方程為(x-a)2+=,
即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圓M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得,2ax+(a-6)y+20-6a=0,
此方程即為直線AB的方程.
又∵圓心M(0,6)到直線AB的距離d==,
∴|AB|=2=8,
把|AB|表示為關于a的函數,利用二次函數的最值可得|AB|的最小值.
∴當a=時,線段AB的長度取得最小值,最小值為.
思想總結
　　函數與方程思想是分析和解決解析幾何問題的一種非常重要的數學思想.圓的方程的求解、直線與圓的交點及個數判斷、弦長的求解、圓與圓的交點及個數判斷等都需要借助函數與方程思想.
3.C　設圓(x+1)2+(y-a)2=1的圓心為C1,半徑為R1,圓(x-2)2+(y-4)2=16的圓心為C2,半徑為R2,則C1(-1,a),C2(2,4),R1=1,R2=4,
兩個圓相切要分內切和外切兩種情況進行討論并求解.
當兩圓外切時,有|C1C2|=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;當兩圓內切時,有|C1C2|=R2-R1,即=3,解得a=4.
綜上所述,a=0或a=8或a=4.故選C.
思想總結
　　在直線和圓的位置關系的判斷中需要對直線斜率是否存在進行分類討論,在圓與圓的位置關系的判斷中需要對兩圓心的距離和半徑之間的大小關系以及圓心的位置等進行分類討論.
4.答案　3x-4y+27=0或x=-1
解析　因為不清楚直線的斜率是否存在,所以需要分類討論.
當所求直線的斜率存在時,設所求直線的方程為y-6=k(x+1),
則圓心到直線的距離d==2,解得k=,此時,所求直線的方程為3x-4y+27=0;
當所求直線的斜率不存在時,所求直線的方程為x=-1,驗證可知,符合題意.
綜上所述,所求直線的方程為3x-4y+27=0或x=-1.
5.C　圓M的標準方程為(x-3)2+(y+4)2=52,則圓心M(3,-4),半徑為5,由題意及圓的幾何性質,得圓心M(3,-4)到直線l:y-1=k(x-3)的距離不超過,
將圓上滿足條件的點的個數問題轉化為圓心到直線的距離問題.
則≤,解得k2≥3,即k≥或k≤-.
6.A　圓C1的圓心為C1(a,0),半徑r1=1.
圓C2的圓心為C2(0,b),半徑r2=2.
由圓C1與圓C2有三條公切線知,兩圓外切,
∴|C1C2|==r1+r2=3,
因此a2+b2=9.
設P(a,b),A(3,4),
則P在圓x2+y2=9上,
則|PA|=,
∵|OA|==5,∴|PA|min=|OA|-3=2.
將定點到圓上一動點的距離的最小值問題轉化為定點到圓心的距離問題.
故選A.
思想總結
　　轉化與化歸思想在本章中的應用主要體現在圓上的點到直線的距離的最值問題、直線與圓構成的三角形面積的范圍問題等.
7.D　如圖,由題意可知,過點(0,-2)的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置,即直線介于圖形中的兩直線之間時可滿足題意.
借助幾何圖形找到滿足條件的位置,進而求解.
設直線l的方程為y=kx-2(k≠0),由=,得k=1或k=-1(舍去),由=2,得k=或k=0,由圖知k=0舍去,
所以直線l斜率的取值范圍是[1,].
8.C　如圖所示,由圓C1:(x-4)2+(y-1)2=4,
可得其圓心為C1(4,1),半徑r1=2,
由圓C2:x2+(y-4)2=1,
可得其圓心為C2(0,4),半徑r2=1,
可得兩圓圓心距|C1C2|==5,
所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2,
當且僅當M,N,C1,C2,P共線時,取得最小值2,
利用數形結合思想分析最值與動點、定點之間的關系.
故|PM|+|PN|的最小值為2.故選C.
思想總結
　　與圓有關的最值問題、直線與圓的交點問題、判斷圓與圓的位置關系等都可能用到數形結合思想.利用數形結合思想解決問題,比傳統的解法更形象、更巧妙,并且計算量小.
9.答案　+
解析　如圖,由平行線間的距離公式得|PQ|=.
過點A作垂直于l1的直線,并截取|AA'|=|PQ|,
連接A'B,A'Q,設點A'(x0,y0),
則
因此,點A',則|A'B|=.
則四邊形AA'QP是平行四邊形,
故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.
作圖形,利用對稱性和三角形中邊長之間的關系求解線段之和(或差)的最值.
因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為+.
17

展開更多......

收起↑