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專題強(qiáng)化練5　直線與方程的綜合應(yīng)用
1.已知直線l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x軸、y軸上的截距相等,則直線l1與直線l2:x+y-1=0之間的距離為(　　)
A.　　　　B.
C.或　　　　D.0或
2.過點(diǎn)A(a,4)和點(diǎn)B(b,2)的直線與直線x+y+m=0垂直,則|AB|=(　　)
A.4　　B.4　　C.2　　D.2
3.已知直線l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,則l2的傾斜角的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.已知兩定點(diǎn)A(-3,5),B(2,8),動(dòng)點(diǎn)P在直線x-y+1=0上,則|PA|+|PB|的最小值為(　　)
A.5　　　　B.
C.5　　　　D.2
5.(多選)已知直線l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下結(jié)論正確的是(　　)
A.無論a為何值,l1與l2都互相垂直
B.當(dāng)a變化時(shí),l1與l2分別經(jīng)過定點(diǎn)A(0,1)和B(-1,0)
C.無論a為何值,l1與l2都關(guān)于直線x+y=0對稱
D.若l1與l2交于點(diǎn)M,則|MO|的最大值是
6.已知線段AB的兩端點(diǎn)分別為A(-2,3)和B(4,2),若直線l:x+my+m-1=0與線段AB有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.
7.若某直線被兩平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y+3=0所截得的線段的長為2,則該直線傾斜角的大小為　　　　.
8.已知點(diǎn)P(m,n)在直線2x+y+1=0上運(yùn)動(dòng),則m2+n2的最小值為　　　　.
9.某學(xué)校在平面圖為矩形的操場ABCD內(nèi)進(jìn)行體操表演,其中|AB|=40,|BC|=15,O為AB上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且|BO|=10,線段OC,OD,MN為表演隊(duì)列所在位置(M,N分別在線段OD,OC上),△OCD內(nèi)的點(diǎn)P為領(lǐng)隊(duì)位置,且點(diǎn)P到OC,OD的距離分別為,,記|OM|=d,我們知道當(dāng)△OMN面積最小時(shí)觀賞效果最好.
(1)當(dāng)d為何值時(shí),P為隊(duì)列MN的中點(diǎn)
(2)求觀賞效果最好時(shí)△OMN的面積.
答案與分層梯度式解析
1.B　∵直線l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x軸、y軸上的截距相等,∴=,∴m=2,∴直線l1:2x+2y-4-2=0,即x+y-3=0,∴直線l1與直線l2平行,則直線l1與直線l2之間的距離為=.
2.C　因?yàn)檫^點(diǎn)A(a,4)和點(diǎn)B(b,2)的直線與直線x+y+m=0垂直,所以kAB==1,即a-b=2,
所以|AB|===2.
3.C　當(dāng)cos2α≠0時(shí),=-.
∵l1⊥l2,∴·=-1,∴=.
∵0設(shè)l2的傾斜角為θ,θ∈[0,π),則tan θ≥,∴≤θ<.
當(dāng)cos2α=0時(shí),直線l1的斜率為0,傾斜角為0,
∵l1⊥l2,∴l(xiāng)2的傾斜角為.
綜上,θ∈,故選C.
易錯(cuò)警示
　　利用斜率解決傾斜角問題時(shí)要注意斜率不存在的情況,若斜率不存在的直線適合題意,則要將斜率不存在的直線及其對應(yīng)的傾斜角的值補(bǔ)充進(jìn)去,防止遺漏.
4.D　如圖所示,點(diǎn)A,B在直線x-y+1=0的同側(cè),且直線x-y+1=0的斜率為1,
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點(diǎn)為B'(a,b),
則解得即點(diǎn)B'(7,3),
由對稱性可知|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|==2,故選D.
5.ABD　對于A,a×1+(-1)×a=0,故l1與l2互相垂直恒成立,故A正確;
對于B,直線l1:ax-y+1=0,當(dāng)a變化,x=0時(shí),y=1恒成立,所以l1恒過定點(diǎn)A(0,1),
l2:x+ay+1=0,當(dāng)a變化,y=0時(shí),x=-1恒成立,所以l2恒過定點(diǎn)B(-1,0),故B正確;
對于C,在l1上任取一點(diǎn)(x,ax+1),其關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-ax-1,-x),
代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不滿足無論a為何值,2ax=0成立,故C不正確;
對于D,聯(lián)立解得
即M,
所以|MO|==≤,
所以|MO|的最大值是,故D正確.
6.答案　
解析　直線l:x+my+m-1=0,即x-1+m(y+1)=0,恒過定點(diǎn)P(1,-1),則kAP=-,kBP=1.當(dāng)m=0時(shí),直線l的方程為x=1,與線段AB有交點(diǎn),符合題意;當(dāng)m≠0時(shí),直線l的斜率為-,則-∈∪[1,+∞),解得-1≤m<0或07.答案　15°或75°
解析　由兩平行直線的距離公式,可得直線l1與l2的距離d==,又因?yàn)橹本€被兩平行直線l1與l2所截得的線段的長為2,所以該直線與直線l1所成的角為30°,又因?yàn)橹本€l1的傾斜角為45°,所以該直線傾斜角的大小為15°或75°.
8.答案　
解析　∵P(m,n)是直線2x+y+1=0上的任意一點(diǎn),m2+n2的幾何意義為直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離的平方,
∴m2+n2的最小值為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線2x+y+1=0的距離的平方,
∴所求最小值為=.
9.解析　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則C(10,15),B(10,0),D(-30,15),
∴直線OC的方程為y=x,
直線OD的方程為y=-x.
設(shè)P(a,b)(a<0,b>0),M(-2m,m),N(m>0,n>0).
(1)由題意得∴
∴P.∵P為MN的中點(diǎn),∴解得∴M,∴d=|OM|=,
∴當(dāng)d=時(shí),P為隊(duì)列MN的中點(diǎn).
(2)由M,N,P三點(diǎn)共線,得=,即5m+n=4mn,亦即+=4,
∴S△OMN=|OM|×+|ON|×=m+n,
又∵×=+×≥+×2×=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立,
∴觀賞效果最好時(shí)△OMN的面積為.
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