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第4章 一元二次方程
九年級上冊
4.1 一元二次方程
課前小測
1.什么是方程？
含有未知數的等式叫作方程.
2.什么是一元一次方程？
方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1的方程叫作一元一次方程.
3.下列方程哪些是一元一次方程，哪些不是，為什么？
（1）-4x-8y=7 （2）
（3）-2(x+6)-4x=1 （4）8x +4x-3=0
（1）含有兩個未知數，所以不是.
（4）未知數的次數不是1，所以不是.
（3）是一元一次方程.
（2）不是整式，所以不是一元一次方程.
情境引入
每年的6月7日是世界防治荒漠化和干旱日.聯合國環境規劃署的統計資料表明，目前世界荒漠化土地面積已超過3600萬平方千米，占地球陸地面積的1/4，而且正以每年5至7萬平方千米的速度急劇蔓延。我國是世界上荒漠化面積大、分布廣、受危害最嚴重的國家之一.進入21世紀以來，隨著防沙治沙事業的快速發展，我國土地荒漠化的防治工作.取得了舉世矚目的成績，已處于世界領先地位.據國家林業局統計資料介紹，我國2000年共有荒漠化、沙化土地216.5萬平方千米，2002年增長到267.24萬平方千米。2004年我國荒漠化、沙化土地面積減少到263.6萬平方千米，以后逐年減少.
（1）從2000年到2002年的兩年間，我國荒漠化、沙化土地面積的年平均增長率是多少？
（2）從2002年到2004年的兩年間，我國荒漠化、沙化土地的面積平均每年降低百分之幾？
同學們學了這一章，這兩個問題便可以得到解決.
合作探究
探究一：一元二次方程
問題1：
教室的面積為 54m2 ，長比寬的 2 倍少 3 m，如果要求出教室的長和寬，怎樣根據問題中的數量關系列出方程？
可以得到方程____________________ .
設這個教室的寬為 x m，則它的長為 _________m .
x（ 2x - 3） = 54
(2x-3)
可以得到方程 __________________.
合作探究
探究一：一元二次方程
問題2：
直角三角形斜邊的長為 11 cm，兩條直角邊的差為 7 cm . 如果要求出兩條直角邊的長，怎樣根據問題中的數量關系列出方程？
x2 +（ x + 7）2 =112
設較短直角邊的長為 x cm，由兩條直角邊的差為 7 cm 可知，較長直角邊的
長是_____________ cm .
(x+7)
合作探究
探究一：一元二次方程
如下圖，點 C 是線段 AB 上的一點，且
. 如果要求
的值，
怎樣根據問題中的數量關系列出方程？
設 AB = 1， AC = x，由 AC + CB = AB 可知， CB 的長為_______ .
可以得到方程__________________ .
根據問題中的等量關系，
即 AC 2 = AB· CB，
1-x
x2 = 1 - x
問題3：
合作探究
探究一：一元二次方程
把它們分別進行整理，得
2x2 - 3x - 54 = 0，
x2 + 7x - 36 = 0，
x2 + x - 1 = 0 .
你發現方程①②③與整理后的三個方程有哪些共同特征？
1.只含有一個未知數;
3.整式方程．
2.未知數的最高次數是2;
歸納小結
一元二次方程的定義和一般形式
其中
ax2 稱為二次項, a 稱為二次項系數.
bx 稱為一次項, b 稱為一次項系數.
c 稱為常數項.
經過整理，一元二次方程都可以化為
ax2 + bx + c = 0（ a,b,c為常數，a ≠ 0）的形式，稱為一元二次方程的一般形式，
方程的兩邊都是整式，它們都只含有一個未知數，并且整理后未知數的最高次數都是 2，像這樣的方程叫做一元二次方程.
歸納小結
一般式：ax2 + bx + c = 0（ a,b,c為常數，a ≠ 0）
3.當a ≠ 0，b=0，c=0時，則ax2=0，仍是一元二次方程.
2.當a ≠ 0，b=0時，則ax2+c=0，是一元二次方程；
當a=0，b≠ 0時，則bx+c=0，是一元一次方程；
同學們知道a不等于0的原因嗎？b，c呢？
二次項為 x2，一次項為 7x，常數項為 -36；二次項系數為 1，一次項系數為 7 .

二次項為 2x2，一次項為 -3x，常數項為 -54；二次項系數為 2，一次項系數為 -3 .
合作探究
探究一：一元二次方程
問題4：
你能分別說出方程①②③化成一般形式后的二次項、一次項、常數項，以及二次項系數和
一次項系數嗎？
注意：一元二次方程的項和系數一定要包括前面的符號.
二次項為 x2，一次項為 x，常數項為 -1；二次項系數為 1，一次項系數1 .
x2 + x - 1 = 0 .
x2 + 7x - 36 = 0，
2x2 - 3x - 54 = 0，
典例分析
[例1]
把方程（ 2x + 1）（ 3x - 2） = x2 + 2 化為一元二次方程的一般形式，
寫出它的二次項、一次項、常數項及二次項系數、一次項系數.
解 將原方程去括號，得 6x2 + 3x - 4x - 2 = x2 + 2 .
移項，合并同類項，得 5x2 - x - 4 = 0 .
方程的二次項為 5x2，一次項為 -x，常數項為 -4；
二次項系數為 5，一次項系數為 -1 .
合作探究
探究二：估計一元二次方程的根
定義：一元二次方程的根
將數代入一元二次方程，使方程左右相等，則是方程的根，反之，不是.
使一元二次方程的兩邊相等的未知數的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.
判斷方法：
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
x 2 +（ x + 7） 2 = 112 . ②
你能估計出這個方程的根嗎？
解：∵它一定為正值，并且小于斜邊的長，
∴可以估計x的范圍是0 < x < 11 .
∵直角邊小于斜邊的長，
∴x + 7 < 11，解得x < 4 ；
∵兩直角邊的和大于斜邊，
∴x +（ x + 7） > 11，解得x > 2 .
∴可以估計x的范圍是2 < x < 4 .
（1）要估計出方程 ② 的根，可以先估計出方程根的一個大致范圍. 結合方程 ② 的實際意義，你能說出適合方程 ② 的 x 的一個大致范圍嗎？
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
（2）怎樣才能進一步縮小估計的范圍呢？
將方程 ② 化為 x 2 + 7x = 36 . ④
利用二分法，取 2 和 4 的中間值 3，分別計算當 x = 2， 3， 4 時，填寫下表：
x 2 3 4
x 2 + 7x 18 30 44
與36比較 小于36 小于36 大于36
這說明，在 3 和 4 之間有方程 ④ 的根. 并由此可知，這個根的整數部分是 3.
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
（3）取 3 和 4 的中間值 3.5，借助計算器計算當 x = 3.5 時 x2 + 7x的值，并比較它的值與 36 的大小，填寫下表：
x 3 3.5 4
x 2 + 7x
與36比較
這說明方程的根在哪兩個數之間呢？
在3和3.5之間有方程的根.
36.75
大于36
30
小于36
44
大于36
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
（4）取 3 和 3.5 的中間值 3.3，重復以上過程，填寫下表：
x 3 3.3 3.5
x 2 + 7x 30 36.75
與36比較 小于36 大于36
這說明方程的根在哪兩個數之間呢？
在3.3和3.5之間有方程的根.
33.99
小于36
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
（5）同樣地，再取 3.3 和 3.5 的中間值 3.4，填寫下表：
x 3.3 3.4 3.5
x 2 + 7x 36.75
與36比較 大于36
33.99
小于36
35.36
小于36
這說明方程的根在哪兩個數之間呢？
并由此可知這個根的十分位上的數字是 4，即x = 3.4
在3.4和3.5之間有方程的根.
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
于是，便求出了方程 ④ 的根的精確到 0.1 的近似值為 x ≈ 3.4 或 x ≈ 3.5 .
由于方程 ④ 的根就是方程 ② 的根，這樣就能用估計的方法求出方程② 的根的精確到 0.01， 0.001， 的近似值.
借助計算器繼續做下去，可以陸續確定方程 根的百分位、千分位上的數字
合作探究
探究二:估計一元二次方程的根
（6）如果不考慮方程 x2 + 7x = 36 的根的實際意義，你會估計方程的根嗎？
∵x≥ 4時，方程的左邊x 2 + 7x > 36，∴原方程不可能有大于或等于4的根.
> 36 . 所以在-12和0的之間還有原方程的根，這個根是負根.
當 x < 0 時， x 2 是正數， 7x 是負數. 當 x 的絕對值較大時，例如當 x= -12時， x 2 + 7x = 60
當 0 ≤ x ≤ 3 時， 0 ≤ x 2 + 7x < 36，∴原方程在 0 和 3 范圍內也不可能有根.
這就是說，方程④有一個根在 3 和 4 之間，這個問題已在上面得到解決，并且不可能有其他的正根.
可以按照上面的“二分法”得到第二個根的估計值.
歸納小結
估算一元二次方程根的方法（二分法）步驟：
四.繼續上一步，確定出百分位上的數字；
三.繼續縮小范圍，取中間值，確定出十分位上的數字；
二.取范圍內的中間值，直到確定出根的整數部分；
一.先根據實際意義確定根的大致范圍；
五.……
探究二：估算一元二次方程的根
[例2]
典例分析
根據方程x2-3x-5=0可列表如下
x -3 -2 -1 … 4 5 6
x2-3x-5 13 5 -1 … -1 5 13
則x的取值范圍是（　 　）
A. -1分析：觀察表格可知，x2-3x-5的值在-2至-1之間由正到負，在4至5之間由負到正，故可判斷x2-3x-5=0時，對應的x的值在-2至-1之間或4至5之間.所以選D.
D
隨堂檢測
一元二次方程 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
D
C
隨堂檢測
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29
B
1
1
隨堂檢測
1
-5
-3
2021
課堂小結
1.一元二次方程的定義
方程的兩邊都是整式，它們都只含有一個未知數，并且整理后未知數的最高次數都是 2，像這樣的方程叫做一元二次方程.
3. 估計一元二次方程的根，采用“二分法”.
注意：一元二次方程的項和系數必須一定要包括前面的符號.
2. 一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（ a ≠ 0），其中
ax2 稱為二次項, a 稱為二次項系數.
bx 稱為一次項, b 稱為一次項系數.
c 稱為常數項.
作業布置
詳見教材練習題
P126 T1-2
P128 T1-2
謝
謝

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